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1、衡阳市八中2012届高三第四次月考试卷数学（理科）第卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、若，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2、如图是导函数的图像，则下列命题错误的是 （ ）A导函数在处有极小值B导函数在处有极大值C函数处有极小值D函数处有极小值3、已知函数，则使方程有解的实数的取值范围是（ ）A（1，2）B C D4、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为 （ ）5、已知椭圆 的一个焦点是圆的圆心,且短轴长为8 ，则椭圆的左顶点为 （ ）A
2、 B C D6、已知等差数列的前n项和为，若，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点），则 （ ） A 2009 B C D7、已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是 （ ）A B C2 D18、将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是 （ ）ABCD与的值有关的数二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答卷的横线上）9、设复数的共轭复数为，若（为虚数单位）则的值为_10、设则_11、垂直于直线，且与曲线相切的直线的方程是_12、已知则的最小值为_13、已知数列中，且对于任意的正整数都
3、有，则数列的通项公式为_14、若实数满足，则目标函数的最大值为_15、对于任意正整数j，k，定义，如.对于任意不小于2的正整数m、n，则= ； =_第卷三、解答题（本大题共7小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、（本题满分12分）在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin() 求cos C的值；() 若ABC的面积为，且sin2 Asin2Bsin2 C，求c的值17、（本题满分12分）已知圆,是轴上的动点,、分别切圆于两点（1）求四边形的面积的最小值（2）若点的坐标为（1，0），求切线、及直线AB的方程18、（本题满分12分）如图，圆柱的高为2，底面半径
4、为3,AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形。（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值。19、（本题满分13分）某工厂有214名工人, 现要生产1500件产品, 每件产品由3个A型零件与1个B型零件配套组成, 每个工人加工5个A型零件与3个B型零件所需时间相同. 现将全部工人分为两组, 分别加工一种零件, 同时开始加工. 设加工A型零件的工人有x人, 在单位时间内每人加工A型零件5k个 (kN*), 加工完A型零件所需时间为g(x), 加工完B型零件所需时间为h (x). (). 试比较与大小, 并写出完成总任务的时间的表达式；(). 怎样分组才能
5、使完成任务所需时间最少?20、（本题满分13分）已知函数，曲线在点处的切线方程为（）求函数的解析式；（）设，若函数与轴有两个交点，求实数的取值范围；21、（本题满分13分）函数的图像在点处的切线与轴交点的横坐标为（为正整数），其中设正整数数列满足：，当时，有 （） 求的值； （）试猜想数列的通项公式并加以证明； （） 记，证明：对任意，第四次月考题一、选择题1、若，则是的（ A ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2、如图是导函数的图像，则下列命题错误的是（ C ）A导函数在处有极小值B导函数在处有极大值C函数处有极小值D函数处有极小值3、已知函数，则使方
6、程有解的实数的取值范围是（ D ）A（1，2）B C D4、将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如右图所示，则该几何体的左视图为 （ D ）5、已知椭圆 的一个焦点是圆的圆心,且短轴长为8 ，则椭圆的左顶点为 （ D ）A B C D6、已知等差数列的前n项和为，若，且A、B、C三点共线（O为该直线外一点），则（ B ） A 2009 B C D7已知点，点是圆上的动点，点是圆上的动点，则的最大值是 （ C ）A B C2 D18、将面积为2的长方形ABCD沿对角线AC折起，使二面角D-AC-B的大小为，则三棱锥D-ABC的外接球的体积的最小值是（ C ）ABCD与的值有关的数二、填空题9、设
7、复数的共轭复数为，若（为虚数单位）则的值为 10、设则_11、垂直于直线，且与曲线相切的直线的方程是_12、已知则的最小值为_13、已知数列中，且对于任意的正整数都有，则数列的通项公式为_14、若实数满足，则目标函数的最大值为_15、对于任意正整数j，k，定义，如.对于任意不小于2的正整数m、n，则= ； = 三、解答题16、在ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知sin() 求cos C的值；() 若ABC的面积为，且sin2 Asin2Bsin2 C，求c的值） , 5分 () 由() ， 又 sin2 Asin2Bsin2 C， 即 .由余弦定理 12分17、已知圆,是轴上的动
8、点,、分别切圆于两点（2）若点的坐标为（1，0），求切线、的方程（1）求四边形的面积的最小值【解析】（1）设过点的圆的切线方程为，则圆心到切线的距离为1， 或0，切线、的方程分别为和 （ 8分）（2）， （4分）18、如图，圆柱的高为2，底面半径为3,AE、DF是圆柱的两条母线，B、C是下底面圆周上的两点,已知四边形ABCD是正方形。（）求证：；（）求直线与平面所成角的正弦值。解：（1） AE是圆柱的母线底面BEFC, 又面BEFC 又ABCD是正方形 又面ABE 又面ABE 4分（2）四边形为矩形，且ABCD是正方形 EFBC 四边形EFBC为矩形 BF为圆柱下底面的直径 设正方形ABCD的
9、边长为，则AD=EF=AB=在直角中AE=2，AB=，且BE2+AE2= AB2，得BE2=2-4 在直角中BF=6，EF=，且BE2+EF2= BF2，的BE2=36-2 解得=，即正方形ABCD的边长为 6分解法一：如图以F为原点建立空间直角坐标系,则A(，0，2),B(，4，0),E(，0，0),(，0， 2),(，4，0), (，0，0) 8分设面AEF的法向量为(，)，则 令，则即(，) 10分设直线与平面所成角的大小为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为。 12分解法二：如图以E为原点建立空间直角坐标系,则A(0，0，2),B(4，0，0),F(0，0),(-4，0), (0，-2
10、),(0，0) 8分设面AEF的法向量为(，)，则 令，则即(，) 10分设直线与平面所成角的大小为，则 所以直线与平面所成角的正弦值为。 12分19、某工厂有214名工人, 现要生产1500件产品, 每件产品由3个A型零件与1个B型零件配套组成, 每个工人加工5个A型零件与3个B型零件所需时间相同. 现将全部工人分为两组, 分别加工一种零件, 同时开始加工. 设加工A型零件的工人有x人, 在单位时间内每人加工A型零件5k (kN*), 加工完A型零件所需时间为g(x), 加工完B型零件所需时间为h (x). (). 试比较与大小, 并写出完成总任务的时间的表达式；(). 怎样分组才能使完成任
11、务所需时间最少?解：() 由题意知, A型零件共需要4500个, B型零件共需要1500个, 加工B型零件的工人有214x人, 单位时间内每人加工B型零件3k个, 所以 3分 0x214,且xN*. 当1x137(xN*)时, g(x)h(x); 当138x213(xN*)时, g(x)h(x). （ 其中xN*). 6分() 即求当x为何值时, f(x)最小. 又为减函数, 为增函数, 而1, 则x=137时f(x)最小, 即加工A型零件137人, 加工B型零件77人, 完成任务所需时间最少. 12分20、已知函数，曲线在点处的切线方程为（）求函数的解析式；（）设，若函数与轴有两个交点，求实数的取值范围；（）证明：曲线上任意一点的切线与直线和直线所围成的三角形面积为定值，并求出此定值.解：（），由，即，
