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1、课时作业(五十八)一、选择题1如图所示,ABCDEFGH为边长等于1的正方体,若点P在正方体的内部且满足.则点P到直线AB的距离为()A.B.C. D.答案A解析建立空间坐标系,则B(0,1,0),D(1,0,0),A(0,0,0),E(0,0,1)(,),P点到AB的距离为.2如图,二面角AB的大小为60,PQ平面,PQB45,若PQ4,则点P到平面的距离为()A2 B.C2 D3答案B解析过P向平面引垂线,垂足为M,则PM为P到的距离,过M向AB引垂线MN,连结PN.则PNAB,PNM为AB的平面角,在RtPQN中,PQN45,PN2,在RtPMN中,PNM60,PM.3(2011湖北八校
2、)如图,正方体A1B1C1D1ABCD中,O1是上底面A1B1C1D1的中点,若正方体的棱长为2,则O1到平面ABC1D1的距离为()A. B.C. D.答案C解析过A1点作A1EAD1,有为垂足,则A1E,即为点A1到平面ABC1D1的距离又O1为A1C1的中点,O1点到平面ABC1D1的距离为.4(09湖北)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中ACB90,ACC160,BCC145,侧棱CC1的长为1,则该三棱柱的高等于()A. B.C. D.答案A解析设C1在底面ABC上的射影为H,连接C1H,作C1DAC于D,连接HD,作C1EBC于E,连接HE,又ACB90,则易知四边形HDCE为矩形
3、在RtC1DC中,C1D,在RtC1EC中,CE,所以DHCE,则C1H,故选A.5如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,若E、F分别是BC、DD1的中点,则B1到平面ABF的距离为()A. B.C. D.答案D解析建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,1),B1(1,1,0),设F(0,0,),E(,1,1),B(1,1,1)(0,1,0),(,0,1),(1,0,)(1,0,)(,0,1)0,又,平面ABF,平面ABF的法向量为(,0,1),(0,1,1)B1到平面ABF的距离为.6如图所示,平面平面,A,B,AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂
4、线,垂足为A、B,则ABAB等于()A21 B31C32 D43答案A解析在RtABB中,ABABsinAB.在RtABA中,AAABsinAB.在RtAAB中,ABAB.ABAB2:1.二、填空题7如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,AB1.若二面角CABC1的大小为60,则点C1到直线AB的距离为_答案解析如图,作CDAB,连结C1D,则C1DC就是二面角C1ABC的平面角,即C1DC60,在RtC1CD中,CD,则C1Dcos60得C1D,即C1到直线AB的距离为.8如图,正方体ABCDA1B1C1D1,若AB1,则点C到平面A1BD的距离为_答案解析由对称性,点C到平面A1BD的距离
5、等于点A到平面A1BD的距离,后得等于AC1.评析这个快法是“距离化归”;也可用“体积法”;这两个方法都是“几何法”本题也可以用“向量法”求解三、解答题9(2011苏北四市)已知斜三棱柱ABCA1B1C1,ACBC,ACBC2,A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D,又知BA1AC1.(1)求证:AC1A1C;(2)求CC1到平面A1AB的距离;(3)求二面角AA1BC的大小解析解法一(1)A1D平面ABC,平面AA1C1C平面ABC,又BCAC,BC平面AA1C1C,BCAC1,又BA1AC1,BA1BCB,AC1平面A1BC,又A1C平面A1BC,AC1A1C.(2)因为AC1A1C,所
6、以四边形AA1C1C为菱形,故AA1AC2,CC1平面A1AB,又D为AC的中点,知A1AC60.取AA1的中点F,则AA1平面BCF,从而平面A1AB平面BCF,过C作CHBF于H,则CH平面A1AB,在RtBCF中,BC2,CF,故CH,即CC1到平面A1AB的距离为CH.(3)过H作HGA1B于G,连结CG,则CGA1B,从而CGH为二面角AA1BC的平面角,在RtA1BC中,A1CBC2,所以CG,在RtCGH中,sinCGH,故二面角AA1BC的大小为arcsin.解法二(1)如图,取AB的中点E,连结DE,则DEBC,因为BCAC,所以DEAC,又A1D平面ABC,以DE,DC,D
7、A1为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则A(0,1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t)(t0),(0,3,t),(2,1,t),(2,0,0),由0,知AC1CB,又BA1AC1,从而AC1平面A1BC.所以AC1A1C.(2)由3t20,得t.设平面A1AB的一个法向量为n(x,y,z),(0,1,),(2,2,0),所以,设z1,则n(,1),所以点C1到平面A1AB的距离d.(3)设平面A1BC的法向量为m(x,y,z),(0,1,),(2,0,0),所以,设z1,则m(0,1),故cos,根据法向量的方向,可知二面角AA1BC的大小为arc
8、cos.10如图所示,四棱锥PABCD中,ABAD,CDAD,PA平面ABCD,PAADCD2AB2,M为PC的中点求:(1)BM与AD所成的角;(2)BM与平面PBD所成角的正弦值;(3)C点到平面PBD的距离;(4)二面角CBDP的余弦值解析以A点为原点建立空间直角坐标系(如图所示),则B(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),M(1,1,1)(1)cos,故BM与AD所成的角为45.(2)设平面PBD的一个法向量n(x,y,z),则n(x,y,z)(1,2,0)x2y0,x2y.n(x,y,z)(0,2,2)2y2z0,zy.取y1,则n(2,1,1),co
9、s.设BM与平面PBD所成的角为,则sincos即为所求(3)C点到平面PBD的距离d|.(4)由于平面PBD的一个法向量n(2,1,1),平面BCD的一个法向量为(0,0,2),而cos.显然二面角CBDP的平面角为钝角,故所求角的余弦值为.评析本题既可以用空间向量方法求解,也可以用传统几何方法求解,而用空间向量方法求解要简单一些11如右图所示,已知:ABCD为边长是4的正方形,E、F分别为AB、AD的中点,GC垂直于ABCD所在的平面,且GC2,求B点到平面EFG的距离答案解法一连结BF、BG,SBEFBEFA222,又E、F分别为AB、AD中点,EFBD2.CHAC.GH,SGEF22V
10、BEFG2hh,VGBEF22h.解法二E、F分别为AB、AD的中点,EFBDB到平面GEF的距离为BD上任一点到平面GEF的距离BDAC交于O,EFBD,EFAC,又GC平面ABCD.EF平面ABCD.EFGC,EF平面GEF,面GEF平面GCH,过O点作OOHG,则OO平面GEF,OO为O到平面GCH的距离,即B到面GEF的距离OHAC,由解法一知GH,由HOOHCG得,OO.解法三如图建立空间直角坐标系Dxyz则F(2,0,0),E(4,2,0),B(4,4,0),G(0,4,2)(2,2,0),(2,4,2),(0,2,0)设平面GFE的法向量为n(x,y,z)则即取x1,y1,z3,
11、n(1,1,3)点B到平面FEG的距离为d评析求点到平面距离是重点,其方法有:直接作出点到面的垂线段,再计算平行转移法即通过线面平行,转化其它点到平面的距离体积法利用向量12已知:正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E、F分别为棱AB、BC的中点(1)求证:平面B1EF平面BDD1B1;(2)求点D1到平面B1EF的距离(1)证明建立如右图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,2,0),E(2,0),F(,2,0),D1(0,0,4),B1(2,2,4)(,0),(2,2,0),(0,0,4),0,0.EFDB,EFDD1,DD1BDD,EF平面BDD1B
12、1.又EF平面B1EF,平面B1EF平面BDD1B1.(2)解析由(1)知(2,2,0),(,0),(0,4)设平面B1EF的法向量为n,且n(x,y,z)则n,n即n(x,y,z)(,0)xy0,n(x,y,z)(0,4)y4z0,令x1,则y1,z,n(1,1,),D1到平面B1EF的距离d.13如图,四棱柱PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,PBBC,PDCD,且PA2,E为PD的中点(1)求证:PA平面ABCD;(2)求二面角EACD的大小;(3)在线段BC上是否存在点F,使得点E到平面PAF的距离为2?若存在,确定点F的位置;若不存在,请说明理由解析解法一(1)底面ABCD
13、为正方形,BCAB,又BCPB,BC平面PAB,BCPA,同理CDPA.PA平面ABCD.(2)设M为AD的中点,连结EM.又E为PD的中点可得EMPA.从而EM底面ABCD.过M作AC的垂线MN,垂足为N,连结EN.由三垂线定理知ENAC.ENM为二面角EACD的平面角在RtEMN中,可求得EM1,MN,tanENM二面角EACD的大小为arctan(3)由E为PD的中点可知,要使得点E到平面PAF的距离为,即要求点D到平面PAF的距离为.过D作AF的垂线DG,垂足为G,PA平面ABCD,平面PAF平面ABCD.DG平面PAF,即DG为点D到平面PAF的距离DG.AG.设BFx,由ABF与DGA相似可得.2,即x1.在线段BC上存在点F,且F为BC的中点,使得点E到平面PAF