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1、课时作业(五十八)一、选择题1如图所示，ABCDEFGH为边长等于1的正方体，若点P在正方体的内部且满足.则点P到直线AB的距离为()A.B.C. D.答案A解析建立空间坐标系，则B(0,1,0)，D(1,0,0)，A(0,0,0)，E(0,0,1)(，)，P点到AB的距离为.2如图，二面角AB的大小为60，PQ平面，PQB45，若PQ4，则点P到平面的距离为()A2 B.C2 D3答案B解析过P向平面引垂线，垂足为M，则PM为P到的距离，过M向AB引垂线MN，连结PN.则PNAB，PNM为AB的平面角，在RtPQN中，PQN45，PN2，在RtPMN中，PNM60，PM.3(2011湖北八校
2、)如图，正方体A1B1C1D1ABCD中，O1是上底面A1B1C1D1的中点，若正方体的棱长为2，则O1到平面ABC1D1的距离为()A. B.C. D.答案C解析过A1点作A1EAD1，有为垂足，则A1E，即为点A1到平面ABC1D1的距离又O1为A1C1的中点，O1点到平面ABC1D1的距离为.4(09湖北)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中ACB90，ACC160，BCC145，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于()A. B.C. D.答案A解析设C1在底面ABC上的射影为H，连接C1H，作C1DAC于D，连接HD，作C1EBC于E，连接HE，又ACB90，则易知四边形HDCE为矩形
3、在RtC1DC中，C1D，在RtC1EC中，CE，所以DHCE，则C1H，故选A.5如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，若E、F分别是BC、DD1的中点，则B1到平面ABF的距离为()A. B.C. D.答案D解析建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B1(1,1,0)，设F(0,0，)，E(，1,1)，B(1,1,1)(0,1,0)，(，0,1)，(1,0，)(1,0，)(，0,1)0，又，平面ABF，平面ABF的法向量为(，0,1)，(0,1，1)B1到平面ABF的距离为.6如图所示，平面平面，A，B，AB与两平面、所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂
4、线，垂足为A、B，则ABAB等于()A21 B31C32 D43答案A解析在RtABB中，ABABsinAB.在RtABA中，AAABsinAB.在RtAAB中，ABAB.ABAB2：1.二、填空题7如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，AB1.若二面角CABC1的大小为60，则点C1到直线AB的距离为_答案解析如图，作CDAB，连结C1D，则C1DC就是二面角C1ABC的平面角，即C1DC60，在RtC1CD中，CD，则C1Dcos60得C1D，即C1到直线AB的距离为.8如图，正方体ABCDA1B1C1D1，若AB1，则点C到平面A1BD的距离为_答案解析由对称性，点C到平面A1BD的距离
5、等于点A到平面A1BD的距离，后得等于AC1.评析这个快法是“距离化归”；也可用“体积法”；这两个方法都是“几何法”本题也可以用“向量法”求解三、解答题9(2011苏北四市)已知斜三棱柱ABCA1B1C1，ACBC，ACBC2，A1在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，又知BA1AC1.(1)求证：AC1A1C；(2)求CC1到平面A1AB的距离；(3)求二面角AA1BC的大小解析解法一(1)A1D平面ABC，平面AA1C1C平面ABC，又BCAC，BC平面AA1C1C，BCAC1，又BA1AC1，BA1BCB，AC1平面A1BC，又A1C平面A1BC，AC1A1C.(2)因为AC1A1C，所
6、以四边形AA1C1C为菱形，故AA1AC2，CC1平面A1AB，又D为AC的中点，知A1AC60.取AA1的中点F，则AA1平面BCF，从而平面A1AB平面BCF，过C作CHBF于H，则CH平面A1AB，在RtBCF中，BC2，CF，故CH，即CC1到平面A1AB的距离为CH.(3)过H作HGA1B于G，连结CG，则CGA1B，从而CGH为二面角AA1BC的平面角，在RtA1BC中，A1CBC2，所以CG，在RtCGH中，sinCGH，故二面角AA1BC的大小为arcsin.解法二(1)如图，取AB的中点E，连结DE，则DEBC，因为BCAC，所以DEAC，又A1D平面ABC，以DE，DC，D
7、A1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，1,0)，C(0,1,0)，B(2,1,0)，A1(0,0，t)，C1(0,2，t)(t0)，(0,3，t)，(2，1，t)，(2,0,0)，由0，知AC1CB，又BA1AC1，从而AC1平面A1BC.所以AC1A1C.(2)由3t20，得t.设平面A1AB的一个法向量为n(x，y，z)，(0,1，)，(2,2,0)，所以，设z1，则n(，1)，所以点C1到平面A1AB的距离d.(3)设平面A1BC的法向量为m(x，y，z)，(0，1，)，(2,0,0)，所以，设z1，则m(0，1)，故cos，根据法向量的方向，可知二面角AA1BC的大小为arc
8、cos.10如图所示，四棱锥PABCD中，ABAD，CDAD，PA平面ABCD，PAADCD2AB2，M为PC的中点求：(1)BM与AD所成的角；(2)BM与平面PBD所成角的正弦值；(3)C点到平面PBD的距离；(4)二面角CBDP的余弦值解析以A点为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，M(1,1,1)(1)cos，故BM与AD所成的角为45.(2)设平面PBD的一个法向量n(x，y，z)，则n(x，y，z)(1,2,0)x2y0，x2y.n(x，y，z)(0,2，2)2y2z0，zy.取y1，则n(2,1,1)，co
9、s.设BM与平面PBD所成的角为，则sincos即为所求(3)C点到平面PBD的距离d|.(4)由于平面PBD的一个法向量n(2,1,1)，平面BCD的一个法向量为(0,0,2)，而cos.显然二面角CBDP的平面角为钝角，故所求角的余弦值为.评析本题既可以用空间向量方法求解，也可以用传统几何方法求解，而用空间向量方法求解要简单一些11如右图所示，已知：ABCD为边长是4的正方形，E、F分别为AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC2，求B点到平面EFG的距离答案解法一连结BF、BG，SBEFBEFA222，又E、F分别为AB、AD中点，EFBD2.CHAC.GH，SGEF22V
10、BEFG2hh，VGBEF22h.解法二E、F分别为AB、AD的中点，EFBDB到平面GEF的距离为BD上任一点到平面GEF的距离BDAC交于O，EFBD，EFAC，又GC平面ABCD.EF平面ABCD.EFGC，EF平面GEF，面GEF平面GCH，过O点作OOHG，则OO平面GEF，OO为O到平面GCH的距离，即B到面GEF的距离OHAC，由解法一知GH，由HOOHCG得，OO.解法三如图建立空间直角坐标系Dxyz则F(2,0,0)，E(4,2,0)，B(4,4,0)，G(0,4,2)(2,2,0)，(2,4,2)，(0，2,0)设平面GFE的法向量为n(x，y，z)则即取x1，y1，z3，
11、n(1，1,3)点B到平面FEG的距离为d评析求点到平面距离是重点，其方法有：直接作出点到面的垂线段，再计算平行转移法即通过线面平行，转化其它点到平面的距离体积法利用向量12已知：正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点(1)求证：平面B1EF平面BDD1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离(1)证明建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2，2，0)，E(2，0)，F(，2，0)，D1(0,0,4)，B1(2，2，4)(，0)，(2，2，0)，(0,0,4)，0，0.EFDB，EFDD1，DD1BDD，EF平面BDD1B
12、1.又EF平面B1EF，平面B1EF平面BDD1B1.(2)解析由(1)知(2，2，0)，(，0)，(0，4)设平面B1EF的法向量为n，且n(x，y，z)则n，n即n(x，y，z)(，0)xy0，n(x，y，z)(0，4)y4z0，令x1，则y1，z，n(1,1，)，D1到平面B1EF的距离d.13如图，四棱柱PABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PBBC，PDCD，且PA2，E为PD的中点(1)求证：PA平面ABCD；(2)求二面角EACD的大小；(3)在线段BC上是否存在点F，使得点E到平面PAF的距离为2？若存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由解析解法一(1)底面ABCD
13、为正方形，BCAB，又BCPB，BC平面PAB，BCPA，同理CDPA.PA平面ABCD.(2)设M为AD的中点，连结EM.又E为PD的中点可得EMPA.从而EM底面ABCD.过M作AC的垂线MN，垂足为N，连结EN.由三垂线定理知ENAC.ENM为二面角EACD的平面角在RtEMN中，可求得EM1，MN，tanENM二面角EACD的大小为arctan(3)由E为PD的中点可知，要使得点E到平面PAF的距离为，即要求点D到平面PAF的距离为.过D作AF的垂线DG，垂足为G，PA平面ABCD，平面PAF平面ABCD.DG平面PAF，即DG为点D到平面PAF的距离DG.AG.设BFx，由ABF与DGA相似可得.2，即x1.在线段BC上存在点F，且F为BC的中点，使得点E到平面PAF
