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1、排 列 组 合方法 精讲 思维方法的衍生法或派生法我们在高中数学中已经学了排列组合的基础知识了，因此大家对“排列组合”这概念应该不会是陌生的。宇宙中的万事万物严格地说就是元素、分子、细胞等基本单元排列组合的结果，如所有分子都是由原子排列组合而成的，复杂的化学反应也是由简单的化学反应排列组合而成的；所有生物都是由不同的细胞排列组合而成的，可见排列组合知识是多么的重要 !为此下面就简单介绍一下高中代数中所讲到的排列组合的一些基础知识 元 素 通常人们把被取的对象 (不管它是什么)叫做元素。 如若我们研究对象为数字 (如1、2、3、4、5等)那么，这些数字也叫做元素；若我们研究的对象为地名(如：北京
2、、上海、广州、南京等)，那么这些地名也一样可叫做元素；若我们研究的对象为字母(如：a、b、c、d等)，那么这些字母也可叫做元素；若我们研究的对象为分子(如：Cl、Br2、H2、HCl等)，那么这些分子也一样可叫做元素；若我们研究的对象为一个人(如：张三、李四、王五等)，那么这些人也可叫做元素 排 列 那么，一般地说，从 n个不同元素中，任取m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，这就叫做从几个不同元素中取m个元素的一个排列。 例如：已知 a、b、c、d这四个元素，写出每次取出3个元素的所有排列。 对于初学者可以先画下图来算出： 看上图 V所指的字母及第二排字母三个排成一列即可得到下列排列(这
3、就是a、b、c、d这四个元素中每次取3个元素所得的所有排列)： 有共 24个排列，这个数值24是可以根据乘法原理算出来的。数学中的乘法原理为：做一件事，完成它需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm2m1m3mn种不同的方法。据此从a、b、c、d这四个元素中每次取出三个排成三位数的方法共有N种。 数学中有一个排列数公式： 从 n个不同元素中取出m(m - n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数。用符号Pnm表示，(P是“排列”一词的英文Permatation的第一个字母)，在数学课
4、本中根据乘法原理可推出排列数的公式为： Pmnn(n）(n）(nm） 公式中的 n,mN,且m n 例如：从 8个元素中每次取3个元素出来排列，所得的排列数则为 38（）（） (种) 例如：从 8个元素中每次取5个元素出来排列所得的排列数为 58（）（）（）（） 例如：从 8个元素中每次取2个元素出来排列，所得的排列数为 28（） 例如：从 8个元素中每次取4个元素出来排列，所得的排列数为P48（）（）（） 在排列数公式中，当 mn时，有： nnn（n）（n） 这表明， n个不同元素全部取出来排列的排列数等于自然数1到n的连乘积。n个不同元素，全部取出的一个排列叫做n个不同元素的一个全排列。自
5、然数1到n的连乘积叫做n的阶乘，用n!表示，所以n个不同元素的全排列数公式则为： nnn! 前面所讲的排列数公式可作如下变形： mnn（n）（n）（nm） 因此排列数公式还可写成下列形式： (注意：为了使这个公式在mn时也成立，我们规定0!1，这时nnn!)例如，从8个元素中全部取出来的排列数则为：8的阶乘。 P88 从上述几个例子的分析可见，从 8个元素中分别取2、3、4、5、6、7、8个出来排到所得的排列数的总和高达数万。要是我们将几个思维法进行排列，也会得出许许多多不同思维顺序的新思维法；要是我们思考问题时使用几种思维法去思维，若这几种思维法的使用先后顺序不同，也会产生许许多多不同的思维
6、效果。可见，排列是一种很重要的方法。组 合 一般地说，从 n个不同元素中，任取m(m n)个元素出来拼成一组，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。 从 n个不同元素中取出m(m n)个元素的所有组合的个数，就叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示，C是“组合”的英文Combination的第一个字母。 例如，前面讲到的从 a、b、c、d这四个元素中取3个元素出来的排列与组合的关系如下：组合数 排列数 由上分析可以看出，对于每一个组合都有 6个不同的排列，因此，求从4个不同元素中取3个元素出来排列的排列数为P34，可接下列两步来考虑。 第一步：从 4个不同元素中取出
7、3个元素作组合，共有C34个组合； 第二步：对每一个组合中的 3个不同元素作全排列，各有P336个排列。 这样，再根据乘法原理即得： P343433； 而从上式得： 将上述公式变成通式： 一般地说，求从 n个不同元素中取出m个元素排列的排列数为Pmn，可按下列两步来考虑： 第一步：先求出从这 n个不同的元素中取出m个元素的组合数为Cmn； 第二步：求每一个组合中 m个不同元素的全排列数Pmm。根据乘法原理则得到： Pmnmnmm 因此而得： 即 注意：这里的 n,mN，且m n，这个公式就叫做组合数公式。又因为所以上述组合数公式还可以写成： 例如：从 8个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合
8、数为：例如：从 4个元素中每次取3个元素出来组合所得的组合数为： 例如：从 8个不同元素中每次取5个元素出来组合所得的组合数为： 显见，这个组合数与前面从 8个不同元素中每取3个元素出来组合所得的组合数是相等的，即C5838，同理C1434、C62C46、C52C35、 因此有公式： CnmCn-mn(这为组合数的性质定理1) (注意：为了使这个公式在nm时也成立，我们规定C0n) 这是组合数的其中一个性质，此外，组合数还有另一个性质为： CmnCmnCm-1n(这为组合数的性质定理2)。 例如：计算 C98100和C320C220 解：由组合数的性质定理 1可得：而由组合数的性质定理 2可得
9、：下面我们就详细算一算从 5个不同元素中每次分别取1、2、3、4、5种元素出来组合所得的组合数： 这 5个不同元素进行不同的组合所得的组合数共为5我们从5种不同元素中每次分别取出1、2、3、4、5种元素出来排列所得的排列数分别为：P15 P25P35P45 P55 这样从 5种不同元素中每次每1、2、3、4、5种元素出来排列所得的排列总数为：5。 从上分析可见， 5种不同元素进行不同形式的组合的组合数为31，排列数为325。若是从更多的元素中进行不同形式的组合和排列，其组合数和排列数都将非常之巨大。要是我们将排列组合方法真正运用到学习、科学研究和创造发明活动中去，其效果之巨大必定会使人难以想象
10、。 我们在数学中从学过的二元坐标中可知，坐标平面上的任何一个点都是由 x轴和y轴上的一个点共同组合成的；而在三元坐标中，坐标的立体空间中的任何一个点都是由x、y、z轴上的一个点共同组合成的；同理，在四元坐标，五元坐标及多元坐标的空间中任何一个点都分别是由4个、5个及多个点共同组合成的。可见二元和三元坐标上不过是组合法中的一个范例。前段时间我浏览了一下中国思维魔王一书，这本书实为发明“思维魔球”的发明人许国泰的传记，因为许国泰发明了“思维魔球”而名躁一时。其实，细心的读者，一定会发现，许先生的“思维魔球”也就是我刚才讲的多元坐标(即多个点共同组合成一个点)的一个应用范例；还有在我国策划界小有名气
11、的陈放先生著的创意的革命和智能原子弹等书中讲的什么拉线相干法等一大堆创意法等等没一种不是排列组合法的翻板或变形或延伸。在此我要提醒广大读者，虽然目前新方法不断涌现，层出不穷，有的大都是名称非常玄的，甚至有令人耳目一新的感觉，但细细想来都不外是排列组合法的缩影或直接翻板或变形或延伸。认真细想起来，这些方法实质上根本没有一点新意，也没有一点创意。有的只不过是外表的翻新而已，实为一种换汤不换药的做法。而在这个重视包装的年代里，旧方法被人拿来重新包装，然后隆重推出去，引起一片掌声也是常有的事。当然这对人们重新认识一种旧方法也是很有好处的，若旧方法不被人重新包装，就往往会被人们遗忘了，从而慢慢地被消失在
12、人们的脑海中。从这一角度说，旧方法被重新包装也是件好事。 在宇宙中，任何事物都可以看成是一种元素，大至银河系等星系、星球，小至原子和分子等都可以看成是一种种元素。这样能供我们进行各种各样排列组合的元素就多了，多至无穷无尽，这样我们将宇宙中万事万物进行各种各样不同层次或跨层次的排列组合，产生的组合数或排列数就多得数不胜数，以到无穷无尽，而在这无穷无尽的排列组合中就必定会产生一些新发现、新发明、新创造，提出一些新假说、新原理、新理论等等。如录音机与收音机组合可产生一种新发明收录机，而目前出现的许多方法其实也是由排列组合法产生的，因此我认为方法也像化学中的化学反应方程式一样，虽然看似千变万化、错综复
13、杂，但它们都只不过是几种简单反应排列组合的产物。我在化学新思想中讲到所有元素看似各不相同，但它们都是由氢元素的三种不同的同位素氕、氘、氚进行不同形式的组合的结果；而所有单质和化合物多得数不胜数、错综复杂，但它们都无一不是由这百来种元素排列组合的结果；而我们人、动物和植物等生物体看似各不相同、丰富多彩，实质上也只不过是由不同细胞等元素进行各种各样排列组合的结果；我们的日常用品也相当丰富多彩，如：彩电、冰箱、洗衣机、电饭锅、电炒锅、电烫斗、电话、手机、传真机、电脑、打印机、办公桌等等，细细想起来，无一不是排列组合的产物。严格地说，世界上没有绝对单一纯净的东西，所有东西都是由不同元素按一定顺序排列组合而成的；就是我们现在读的图书也是由纸张、文字、胶水、薄膜、线或钉及各种色彩组合而成的；就是我们的汉字，虽然数以万计，但无非也是由点、横、竖、撇、捺等笔画排列组合而得的；我们学习的英文单词多得数不胜数，但无非也是由 26个字母中取某几个出来进行不同排列组合的结果；其它任何文字也都一样，都是排列组合的结果，无一例外。可见，世界上万事万物都是排列组合之结果。 要是我们将我们所见过的万事万物 (即各种不同的元素)进行各式各样不同层次的排列组合，我们肯定会在十分有趣
