第2章 完全信息静态博弈.ppt

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1、博弈论 完全信息静态博弈staticgamesofcompleteformation 第二章 完全信息静态博弈 各博弈方同时决策 且所有博弈方对博弈中的各种情况下的得益 payoffs 都完全了解的博弈问题 1 基本分析思路和方法2 纳什均衡3 无限策略博弈分析 1 基本分析思路和方法 1 1优势策略均衡1 2箭头法1 3画线法1 4严格劣势反复消去法 1 1优势策略均衡 不管其他博弈方选择什么策略 一博弈方的某个策略给他带来的得益始终高于其他策略 就称此策略为 优势 一策略组合中的策略都是博弈方的优势策略 则称该策略为 优势策略均衡 如 囚徒困境 1 2箭头法 思路是 判断各博弈方能否通过单

2、独改变自己的策略而改善自己的得益 如能 则引一箭头 对可能的策略组合都考察过后 根据箭头反映的情况来判断博弈的结果 囚徒1 囚徒2 小猪 大猪 王菲 李亚鹏 某策略组合只有指向的箭头 没有指离的箭头 则为稳定性的策略组合 猜硬币方 盖硬币方 博弈方2 博弈方1 1 3画线法 由于决策的原则是使自己的得益尽可能的大 同时由于一方的得益取决于其他方的策略 因此 一博弈方首先做的就是根据其他博弈方的每种策略找出自己的最佳应对策略 画线法就是在上述最佳应对策略下画线 囚徒1 囚徒2 小猪 大猪 王菲 李亚鹏 某策略组合中所有的得益都有下划线则为稳定性的策略组合 博弈方2 博弈方1 猜硬币方 盖硬币方

3、1 4严格劣势反复消去法 选择法排除法不管其他博弈方选择什么策略 一博弈方的某个策略给他带来的得益始终不高于其他策略 就称此策略为 劣势 不断的消去劣势策略 缩小策略选择范围 就称劣势策略反复消去法 囚徒1 囚徒2 小猪 大猪 博弈方2 博弈方1 普林斯顿大学的一道习题 题目 如果给你两个师的兵力 由你来当 司令 任务是攻克 敌人 占据的一座城市 而敌军的守备力量是三个师 规定双方的兵力只能整师调动 通往城市的道路只要两条 当你发起攻击时只有兵力超过敌人才能获胜 你如何制定攻城方案 敌军 A 三个师都驻守甲方向B 两个师驻守甲方向 一个师驻守乙方向C 一个师驻守甲方向 两个师驻守乙方向D 三个

4、师都驻守乙方向我军 a 集中两个师的兵力从甲方向攻击b 兵分两路 甲乙方向各一个师同时攻击c 集中两个师的兵力从乙方向攻击 我军 敌军 敌军 我军 诺曼底登陆 背景 1944年由艾森豪威尔为总司令的盟国远征军 准备在欧洲开辟第二战场 理想登陆点 塞纳河东岸的加来 塞纳河西岸的诺曼底 德国方面 伦德泰和隆美尔 2纳什均衡 NashEquilibrium 2 1纳什均衡的定义对于一个给定的策略组合 如果各博弈方都没有单独改变策略组合的意愿 则称该策略组合为纳什均衡 2 2纳什均衡的一致预测性质各博弈方都能预测到 并且能预测到其他博弈方能预测到 能预测到其他博弈方也能预测到自己能预测到 关于产量决策

5、的古诺模型 设厂商i的产量为qi n个厂商的总产量就是Q P P Q P 单位成本为C 则厂商i生产qi产量的得益为 3无限策略博弈分析 3 1古诺寡头竞争模型 两个寡头企业 市场总产量为Q q1 q2 市场出清价格P是市场总产量的函数P P Q 8 Q 假设生产无固定成本 且每增加一单位产量的边际成本c都等于2 则其成本分别为2q1 2q2 他们同时选择产量 3 3 1古诺的寡头模型 两寡头 Q q1 q2 P P Q 8 Q C1 C2 2u1 q1P Q Cq1 q1 8 q1 q2 2q1 6q1 q1q2 q12 1 u2 6q2 q1q2 q22 2 对u1和u2分别求导 得最大值

6、 q1 q2 2u1 u2 4 6 q2 2q1 06 q1 2q2 0 一点分析 U QP Q CQ Q 8 Q 2Q 6Q Q2求导得Q 3 u 9 寡头2 寡头1 以自身最大利益为目标 各生产2单位产量 各自得益为4以两厂商总体利益最大 各生产1 5单位产量 各自得益为4 5 垄断企业的决策 垄断企业的最优产量 垄断企业的利润为 寡头竞争的总产量大于垄断产量的原因是 每个企业在选择自己的最优产量时 只考虑对本企业利润的影响 而忽视了对另外一个企业的外部负效应 为什么说是古诺博弈是一个囚徒困境 3 3 2反应函数 一博弈方对其他博弈方所有策略的最佳反应构成的函数 称为 反应函数 对厂商2的

7、任意产量q2 厂商1有反应函数 q1 R1 q2 1 2 6 q2 q2 R2 q1 1 2 6 q1 3 3 2反应函数 q1 q2 每个企业的最优产量是另一个企业产量的函数 反应函数 reactionfunction 交叉点即纳什均衡点 NE 理性局限和古诺调整 q1 q2 必须是最大值 市场最终产量为2 2 4 价格为8 4 4双方各自利润2 8 4 2 2 4 4纳什均衡应用举例 4 1Bertrand模型4 2Hotelling价格竞争模型4 3公共地的悲剧 4 1伯特兰德 Bertrand 寡头模型 假设1 厂商1和厂商2生产产品是同类 具有一定的替代性 假设2 需求函数是线性的

8、且需求函数为假设3 生产无固定成本 边际成本c1 c2假设4 厂商同时决策 价格竞争寡头的博弈模型 伯特兰德模型是由法国经济学家约瑟夫 伯特兰德 JosephBertrand 于1883年建立的 古诺模型和斯塔克尔伯格模型都是把厂商的产量作为竞争手段 是一种产量竞争模型 而伯特兰德模型是价格竞争模型 求解 利润函数为 均衡解 根据伯特兰德模型 谁的价格低谁就将赢得整个市场 而谁的价格高谁就将失去整个市场 因此寡头之间会相互削价 直至价格等于各自的边际成本为止 即均衡解为 根据伯特兰德均衡可以得到两个结论 1 寡头市场的均衡价格为 P MC 2 寡头的长期经济利润为0 这个结论表明只要市场中企业

9、数目不小于2个 无论实际数目多大都会出现完全竞争的结果 这显然与实际经验不符 因此被称为伯特兰德悖论 均衡和悖论 存在问题 伯特兰德模型之所以会得出这样的结论 与它的前提假定有关 从模型的假定看至少存在以下两方面的问题 假定企业没有生产能力的限制 如果企业的生产能力是有限的 它就无法供应整个市场 价格也不会降到边际成本的水平上 假定企业生产的产品是完全替代品 如果企业生产的产品不完全相同 就可以避免直接的价格竞争 评价 伯特兰德模型假设价格为策略性变量而更为现实 但是它所推导出的结果却过于极端 由于与现实不甚相符而遭到了很多学者的批评 这是我们为什么将其称之为伯特兰德悖论的主要原因 因此 学者

10、们在研究市场中企业的竞争行为时 更多的是采用古诺模型 即用产量作为企业竞争的决策变量 一些扩展 需求函数 4 2豪泰林 Hotelling 价格竞争模型 在古诺模型中 产品是同质的 在这个假设下 如果企业的竞争战略是价格而不是产量 伯特兰德 Bertland 1883 又译为 伯川德 证明 即使只有两个企业 在均衡情况下 价格等于边际成本 企业利润为零 与完全竞争市场均衡一样 这便是所谓的 伯特兰德悖论 解开这个悖论的办法之一是引入产品的差异性 如果不同企业生产的产品是有差异的 替代弹性就不会是无限的 此时消费者对不同企业的产品有着不同的偏好 价格不是他们感兴趣的唯一变量 存在产品差异的情况下

11、 均衡价格不会等于边际成本 产品差异性有多种形式 现在考虑一种特殊的差异 即空间上的差异 这就是经典的豪泰林模型 在豪泰林模型中产品在物质性能上相同的 但在空间位置上有所差异 因为不同位置上的消费者要支付不同的运输成本 他们关心的是价格与运输成本之和 而不单是价格 假设1 有一个长度为1的线性城市 消费者均匀地分布在 0 1 区间里 分布密度为1 假设2 有两个商店 分别位于城市的两端 商店1在x 0 商店2在x 1 假设3 出售物质性能相同的产品 每个商店提供单位产品的成本为c 假设4 消费者购买商品的旅行成本与离商店的距离成正比例 单位距离的成本为t 这样 住在x的消费者如果在商店1采购

12、要花费tx的旅行成本 如果在商店2采购 要花费t 1 x 假设5 消费者具有单位需求 即或者消费1个单位或者消费0个单位 假设6 两个商店同时选择自己的销售价格 令pi为商店i的价格 Di p1 p2 为需求函数 i 1 2 如果住在x左边的将都在商店1购买 而住在x右边的将在商店2购买 需求分别为 D1 x D2 1 x 这里x满足p1 tx p2 t 1 x 解上式 得需求函数分别为 D1 p1 p2 x p2 p1 t 2tD2 p1 p2 1 x p1 p2 t 2t利润函数分别为 p1 p2 p1 c D1 p1 p2 p1 c p2 p1 t 2t p1 p2 p2 c D2 p1

13、 p2 p2 c p1 p2 t 2t 商店 选择自己的价格p 最大化利润 给定p 两个一阶条件分别是 二阶条件是满足的 解上述两个一阶条件 得最优解为 注意对称性 P P c t每个企业的均衡利润为 t 2 结论 旅行成本越高 产品的差异越大 均衡价格从而均衡利润也就越高 原因在于 随着旅行成本的上升 不同商店出售的产品之间的替代性下降 每个商店对附近的消费者的垄断能力加强 商店之间的竞争越来越弱 消费者对价格的敏感度下降 从而每个商店的最优价格接近于垄断价格 另一方面 当旅行成本为零时 不同商店的产品之间具有完全的替代性 没有任何一个商店可以把价格定的高于成本 我们得到伯特兰德均衡结果 更

14、为一般地 可以讨论商店位于任何位置的情况 假定 商店1位于a 0 商店2位于1 b b 0 假定 1 a b 0 即商店1位于商店2的左边 假定 如果旅行成本为二次式 即旅行成本为td2 这里d是消费者到商店的距离 那么 需求函数分别为 D1 p1 p2 x a 1 a b 2 p2 p1 2t 1 a b D2 p1 p2 1 x b 1 a b 2 p1 p2 2t 1 a b 纳什均衡为 P a b c t 1 a b 1 a b P2 a b c t 1 a b 1 b a 练习 如果在一条1千米长的长街上均匀居住着许多居民 有两个人同时想在该长街上开便利店 1 如果假设所有居民都是到

15、最近的便利店购买商品 问这两个人会如何选择店面位置 2 如果假设每户居民都是到最近的便利店购买商品 但购买数量与他们到便利店的距离有关 假设 Q 1 D Q为购买量 D为居民与便利店的距离 此时这两个人又会如何选择店面位置 问题1 两个人都会选择在长街的中间开店 假设一家便利店位于长街的中间位置 此时另一家便利店只要不是同样在中间 则大部分顾客会去前一家店购买商品 而如果另一家店也同样在中间则购买商品的顾客各占一半 产业集聚 问题2 设两家便利店的位置分别为x y 且x y 则各自的收益函数分别为上述图形围城的面积 Cont Cont 一阶条件为 说明 纳什均衡与居民购买量与距离无关时是相同的

16、 两点的任务是争夺客户资源 而不是增加单个客户的购买量 消费者的利益是被忽略的 Further 2 如果居民均匀地环绕在一个圆形湖居住 居民选最近的便利店购买商品 i 判断这两个人选址博弈的纳什均衡是什么 ii 如果圆形湖周长1千米 居民购买量Q与他到便利店的距离D有关 Q 1 D 判断这两个人选址博弈的纳什均衡是什么 Answer1 2 i 由于居民的位置是对称的 首先假设其中一家店随机选择一个位置 则显然另一家店无论位于何处 两家点都能分享顾客购买量的一半 因此两家点任何选址都是纳什均衡 Answer2 ii 首先假设其中一家店B随机选择一个位置 另一家店A到B的最短距离为x 如下图所示 设B为原点 圆周长为1 Cont 4 3公地的悲剧 1968年 美国学者哈定在 科学 杂志上发表了一篇题为 公地的悲剧 的文章 英国曾经有这样一种土地制度 封建主在自己的领地中划出一片尚未耕种的土地作为牧场 称为 公地 无偿向牧民开放 这本来是一件造福于民的事 但由于是无偿放牧 每个牧民都养尽可能多的牛羊 随着牛羊数量无节制地增加 公地牧场最终因 超载 而成为不毛之地 牧民的牛羊最终全部饿死 产生