《不等式在中学数学的应用论文-公开DOC·毕业论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《不等式在中学数学的应用论文-公开DOC·毕业论文（27页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 摘 要：在我们的一般生活和生产中，量有相等关系，也有不等关系，凡是比较量大小有关的问题，都要用到不等式的知识，在中学数学中初看起来不等式的内容涉及并不多，但事实上只有不等式关系才使绝对的。不等式在中学数学算是一个比较难的知识，但近年高考对不等式颇为重视，所以不等式在中学数学中算是一个很重要的内容。所以不等式的内容是中学数学必不可少的。本文通过理解掌握均值不等式、绝对值不等式来说明不等式在中学数学中的重要性，研究均值不等式、绝对值不等式所得相关结果，用于解决最值问题、不等式证明以及实际生活中的实际问题，具有极为重要的意义。关键词：不等式 ； 均值不等式； 绝对值不等式Inequality in
2、 middle school mathematics applicationUndergraduate: yu hongSupervisor: Wang Yuan LunAbstract: In our normal life and production .quantity is equal relations, also has the relation of inequality, normally have a size related problems, must use the inequality of knowledge. In the middle school mathem
3、atics at first seems inequality involves not much,but in fact only the inequality relationship that absolute. Inequality in middle school mathematics is a difficult knowledge,but in recent years the college entrance examination for inequality is quite seriously.So the inequality in middle school mat
4、hematics is a very important content. So the content of middle school mathematics inequality is essential. This article through the understanding of mean value inequality and absolute value inequality to illustrate the importance of inequality in middle school mathematics ,study of mean inequality,
5、absolute value inequality of income related results, For solving the most value problem, proof of inequality and the actual life of the practical problems have very important significance.Key words: an inequality; the mean inequality; absolute value inequality绵阳师范学院2012届本科毕业设计（论文）目录绪论11 不等式11.1 不等式的
6、由来11.2 不等式的定义11.3 不等式的基本性质11.4不等式解法42 .均值不等式和绝对值不等式62.1 均值不等式62.1.1 利用均值不等式证明不等式62.1.2 抓条件“一正、二定、三等”求最值82.1.3 抓“当且仅当等号成立”的条件，实现相等与不等的转化92.1.4 利用均值不等式解应用题102.2 绝对值不等式132.2.1 几何意义132.2.2 应用举例13总结18参考文献19致 谢20绪论均值不等式是高中数学中的重要知识点之一，应用均值不等式求最值是历年高考考查的重要知识点之一。因此有必要对不等式的性质进行归纳研究及应用。1 不等式1.1 不等式的由来 数学不等式的研究
7、首先从欧洲国家兴起，东欧国家有较大的研究群体，特别是原南斯拉夫国家。目前，对不等式感兴趣的国家的数学工作者遍布世界各个国家。 在数学不等式理论发展史上有两个具有分水岭意义的事件,分别是: Chebycheff 在 1882 年发表的论文和 1928 年Hardy任伦敦数学会主席届满时的演讲；Hardy,Littlewood和 Plya的著作 Inequalities的前 言中对不等式的哲学 (philosophy) 给出了有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,而且应该给出等号成立的证明。A. M.Fink认为, 人们应该尽量陈述和证明不能推广的不等式.
8、Hardy认为, 基本的不等式是初等的.自从著名数学家 G. H. Hardy,J. E. Littlewood和G. Plya的著作 Inequalities由Cambridge University Press于1934年出版以来, 数学不等式理论及其应用的研究正式粉墨登场, 成为一门新兴的数学学科, 从此不等式不再是一些零星散乱的、孤立的公式综合, 它已发展成为一套系统的科学理论。 目前我国关于数学不等式理论及其应用的研究也有较丰富的成果。例如匡继昌先生的专著常用不等式一书由于供不应求 , 在短短的几年内已经出版了第二版 ,重印过多次。对于数学专著来讲 , 这是少有的现象。另外 , 国内
9、还有一个不等式研究小组比较活跃 , 主办一个不等式研究通讯的内部交流刊物 , 数学家杨路先生任顾问。1.2 不等式的定义用“”或“”号表示大小的式子，叫不等式。用不等号可以将两个解析式连结起来所成的式子。在一个式子中的数的关系,不全是等号,含不等符号的式子，那它就是一个不等式.例如，解析用表示不等式关系的式子也叫不等式不等式中含有未知数，也可以不含未知数注意不大于和不小于的说法1.3 不等式的基本性质如果，那么；如果，那么；（对称性）如果，；那么；（传递性） 如果，而为任意实数或整式，那么；（加法则） 如果，那么；如果，那么;（乘法则） 如果，,那么;如果，,那么; 如果，那么 (充分不必要条
10、件) 如果，那么如果，那么（n为正数）, 如果,那么（n为正数）, 如果，那么 如果，那么如果由不等式的基本性质出发，通过逻辑推理，可以论证大量的初等不等式，以上是其中比较有名的。例1某学校旅行团到某地旅游，人数估计在1025人之间。甲、乙旅行团的服务质量相同，且组织到该地的旅游价格都是每人200元。该团与旅行社联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示先免去一位游客的旅游费用，其余游客8折优惠。试问该团应怎样选择（只选择一家旅行社），能使其支付的旅游总费用最少？分析：要使支付的旅游费用最少，那么就要把甲、乙两家旅行团的费用表示出来，设旅行的人有人（1025）, 甲旅行社费用为
11、，乙旅行社费用，则有=0.75200， =0.8200（-1），再比较、的大小。解：设旅行的人有人（10，即150160-160，解得16； b，即15016；c=，即150=160-160，解得=16；因为所以当甲乙两家的旅游总费用一样。当乙家比甲家便宜，当甲家比乙家便宜这里我们除了直接解一元一次不等式外，还可以借助一次函数和一元一次方程来形象直观的解一元一次不等式，也是数形结合的方法。例2已知函数（1）若函数的图象在函数的图象的上方，求实数a的取值范围；（2）当时，解关于的不等式。解：（1）函数的图象在函数图象的上方恒成立 恒成立解集是（2）当时原不等式可化为例3 设为正实数，且，则（ ）
12、A. B. C. D. 解法一：由，得,由正实数，解得),故选A解法二：由,得解关于()的不等式，可得,故选A1.4 不等式的解法1.不等式解法的基本思路解不等式的过程，实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程，因而保持同解变形就成为解不等式应遵循的主要原则，实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化为一元一次不等式或一元二次不等式，所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此，一要能熟练准确地解一元一次不等式和一元二次不等式，二要保证每步转化都要是等价变形.2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集，所以在解不等式组时，先要解出本组内各不等式
13、的解集，然后取其交集，在取交集时，一定要利用数轴，将本组内各不等式的解集在同一数轴上表示出来，注意同一不等式解的示意线要一样高，不要将一个不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集.3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用，其难点是区分何时取交集，何时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解注意分类 例1如果恒成立，则实数的取值范围是.A. B. C. D. 错解：由题意：解得：错因：将看成了一定是一元二次不等式，忽略了的情况.正解：当时，原不等式等价于，显然恒成立， 符合题意.当时，由题意：解得：，故选C.例2已知不等式组 的整数解恰好有两个，求的取值范围。
14、解 因为方程的两根为若，则的解集为，由得.因为，所以,所以不等式组无解。若，）当时，,的解集为因为，所以不等式组无整数解。）当时，无解。）当时，由得，所以不等式组的解集为.又不等式组的整数解恰有2个，所以且，所以，并且当时，不等式组恰有两个整数解0，1。综上，的取值范围是.、例3已知，若-求的范围.错解：由条件得 2 6 2得 + 得，错因：采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数，其值是同时受制约的.当取最大（小）值时, 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的.正解：由题意有 解得：, 把和的范围代入得，反思：在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的
15、部分因式化成相同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法：(1)作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和1比较大小；(2)找中间量,往往是1,在这些数中,有的比1大,有的比1小；(3)计算所有数的值；(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形；(5)利用函数的单调性等等.解各种类型的不等式都有其“通法”，也有“巧法”，切不可偏爱“巧法”，而忽视“通法”，否则将是本末倒置。2 . 均值不等式和绝对值不等式2.1 均值不等式大家都知道，均值不等式(1)对实数，有 (当且仅当时取“”号)， (2)对非负实数，有 (3)对负实数，有是不等式一章中最基础、广泛的灵活因子，是中学数学
