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1、目 录 摘要2Abstract .2一.德萨格(Desargues)定理及其证明3二.德萨格(Desargues)定理在初等几何中的应用9(一).德萨格(Desargues)逆定理在证明共点问题上的应用9(二).德萨格(Desargues)定理在证明共线问题上的应用11(三)德萨格(Desargues)定理在求轨迹问题上的应用14(四)德萨格(Desargues)定理在作图方面的应用15(五)德萨格(Desargues)定理在设计中学几何命题方面的应用15三.总结16参考文献18致谢19德萨格(Desargues)定理在初等几何中的应用摘要： 德萨格定理在射影几何的基础里扮演着一个很重要的角色
2、，而射影几何又是高等几何中的主要组成部分，因此德萨格定理亦是高等几何中的基础命题之一。德萨格定理主要研究的是三点共线或者三线共点的问题，而这个是初等几何中经常碰到的一类问题。用德萨格定理去解决此类问题及其派生出来的一系列相关问题，相对于初等的方法而言过程极其简便。因此，德萨格定理可以被应用到初等几何中的很多方面中去。并展示了高等几何在初等几何中的一些最根本的应用，全盘否决高等几何在初等几何中的无用之说。高等几何有助于我们更好地学习理解初等几何。由此体现了高等几何对初等几何的指导性意义。关键字： 德萨格定理；高等几何；初等几；射影几何；指导性意义The application of Desarg
3、ues theorem in primary geometryAbstract： Desargues theorem plays an important role in the foundation of projective geometry, then projective geometry is the major part of higher geometry, so Desargues theorem is also one of the basic propositions in higher geometry. Desargues theorem mainly investig
4、ates the problems about a total of three lines or three lines total points which are often seen in primary geometry. Comparing with primary methods, that using Desargues theorem to solve this kind of questions and some other related problems can make the process extremely simple. Therefore, Desargue
5、s theorem can be applied in many ways in primary geometry. It is also to show that some fundamental applications of higher geometry in primary geometry and to reject the view that higher geometry has nothing to do with primary geometry. The higher geometry is able to help us to study and realize the
6、 primary geometry better. Thus it points out the guidance of higher geometry in primary geometry. Keywords：Desargues theorem；higher geometry；primary geometry；projective geometry guidance射影几何是高等几何中的主要组成部分，而德萨格(Desargues)定理则是射影几何中的基础定理之一，在射影几何中占有不可或缺的地位。发现德萨格(Desargues)定理的德萨格(Desargues)是17世纪法国著名的数学家，他
7、1591年出生于法国里昂，1661年卒于同地。曾坐过牢，后来担任过法国军事工程师和建筑工程师。德萨格(Desargues)学习主要采取的是自学的方式，并主张学习了数学要把它用到实际中。德萨格(Desargues)奠定了空间射影概念的基础，使研究射影变换成为了可能，他的工作为射影几何打下科学的基础，在此方面具有创造性的成就，历史上把他当作这个学科的创始人。然而他的学术思想除了得到像笛卡尔，帕斯卡等少数人的欣赏之外，并没有广泛被人们所接受，直到1845年法国几何学家和数学史学家查理(Chasles)偶然得到他的著作的抄本，他的经典著作才为人们重视。究其原因，有两种说法：一是与他同期出现的解析几何更
8、容易被接受；二是他的手稿晦涩难懂，并且引用了很多标新立异的名词，因此阻碍了他的学术思想的传播。他在射影几何中确立了很多重要的定理，其中以德萨格(Desargues)定理最为著名。德萨格(Desargues)定理能够使很多初等几何中的证明题的解法化难为易。下面就简单介绍其证明方法及其在初等几何中的一些应用。一.德萨格(Desargues)定理及其证明完整的德萨格(Desargues)定理的内容包括德萨格(Desargues)定理及其逆定理。德萨格(Desargues)定理 如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应边的交点在一直线上。德萨格(Desargues)定理的逆定理 如果两个三点形对应
9、边的交点在一直线，则对应顶点的连线交于一点。德萨格定理与其逆命题互为对偶命题。在射影几何中，存在重要的对偶原则，即：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立。对偶原则是射影几何所特有的，在射影几何中占有重要地位，证明一个定理的同时，它的对偶命题也得到证明，起到事半功倍的作用。注：在平面内不共线的三点，将其每两点连线所得到的图形叫做三点形；平面内不共点的三直线与其每两直线的交点所组成的图形叫三线形。其实，三点形和三线形是同一种图形，它们都含有不共线的三点，我们把它们叫做顶点，都含有不共点的三条直线，称作边。定义1. 如果两个三点形的对应边交点共线，则这条直线叫做透视轴。如果两个三点形
10、的对应顶点连线共点，则这个点叫做透视中心。 德萨格(Desargues)定理是射影平面上的重要定理，也是基础定理之一，许多定理都以它为根据，它的证明方法也是多种多样的，下面重点介绍其四种常见的证明方法。第一种证明方法 第一种证明方法用的是初等的证明方法。分别从两种情况考虑，一种是两个三点形是共面的情形，另外一种是两个三点形是异面的情形。异面的情况比较容易证明，只需利用线面关系，点线关系与点面关系，即可知三点同时落在两个平面的交线上，则命题得证。共面的情况稍稍复杂一些，需要借助已知平面外的一点再构造一个三点形，再根据线面关系，点线关系与点面关系，即可证三点就在已知平面与新构造的三点形所张成的平面
11、的交线上。具体过程如下：设有三点形ABC和，它们的对应顶点连线，交于一点O，其对应边的交点为，证明：X、Y、Z在一直线上。证明：下面分两种情况证明X、Y、Z在一直线上。情况一：三点形和分别存在于两个不同的平面和上，如图1。 因为，所以和O共面，二直线BC和必相交，交点X在平面和的交线上。同理，CA与相交，与AB也相交，且相应的交点Y、Z都在二平面和的交线上。因此三点共线。情况二：三点形和在同一平面内。如图2，通过O作不在平面内的直线，在直线上任取两点L和，且不与O点重合。因为=O，所以共面，与LA相交，记为 同理， 三点形所在的平面与平面不同(例如不在内)。由于三点形LBC与不同在一平面内，
12、都通过点O，由1可知共线，也就是说，X在平面所决定的平面内，但X在平面内，则X在两个不同的平面与平面的交线上。同理可证Y、Z也在平面与平面的交线上，所以X、Y、Z都在平面与平面的交线上，于是X、Y、Z共线。第二种证明方法 第二种方法也用的是初等几何的方法，而且同样也是分成两种情况来证明，共面与异面的情况。与第一种方法相比，在证明共面的这种情况时，证法大同小异，但在证明异面的时候，方法大相径庭，仅用了梅涅劳斯定理及其逆定理(此定理是证明三点共线的其中一个著名的定理)，找到线段比值之乘积即可，不用再构造新的平面，牵扯到空间中的问题，只用在一个平面内就可将问题解决。过程与思路比第一种方法更明了。以下
13、是具体过程：(一) 预备知识梅涅劳斯(Menelaus)定理及其逆定理 设P、Q、R分别是的三边BC，CA，AB上或它们延长线上三点，则点P、Q、R共线的充要条件是：(二) 证明过程已知，如果它们对应顶点的连线，通过一个点S。若AC与交于P点，BC与交于Q点，AB与交于R点，求证：三点在一直线上。证：分两种情况，第一种在两个不同的平面内，此种情况的证明方法与第一种证明的方法类似，就不再赘述；第二种在同一平面内，证明如下：如图3，由于题设条件只提供与直线的位置关系，并没有其他数量关系，所以考虑用梅涅劳斯(Menelaus)定理来证明。的每一边与交点S构成三个三角形，即。被直线所截，被直线所截，被
14、直线所截，由梅涅劳斯定理可得： ， ，(指有向线段)将上述三式相乘，则可化简得： 由梅涅劳斯定理的逆定理知三点共线,即德萨格定理得证。第三种证明方法第三种方法是用高等几何的方法，利用的是射影几何中交比的一个性质，即共线的四点所形成的交比在中心射影下是保持不变的。此种证法依次选取A、O三个点作为射影中心，连续三次进行投影，并使用交比不变性，使命题得证,方法巧妙且简便。详细过程见下： (一) 预备知识设A、B、C、D为共线的四点，规定简单比(ABC)与(ABD)的商为A、B、C、D四点的交比，记为(AB,CD)=。下面介绍交比的几何意义：以O为中心将映成的中心射影使。设HO是O到直线的距离，则所以
15、。同理，从而 即共线四点形成的交比(AB，CD)在中心射影下不变。而且从中可以看出：点列的交比的几何意义是有关角的正弦值之比或三角形面积之比。(二) 证明过程如图5，如果和的对应顶点连线、共点O，则其三对对应边的交点P、Q、R三点共线。证明：连接，设与分别交于又与交于，则有，三点共线。第四种方法第四种方法用的是高等几何中代数的方法来证明的。利用射影几何中解析点的概念，及定理三点共线的充要条件是三点的混合积为0，来证明三点共线。与第三种方法不同，此种方法还涉及到射影坐标。具体过程如下：(一) 预备知识定义1.4 若，()表一个点X的坐标，则取所有可能的实数值时，所有坐标构成一个坐标类X。这个类中的每组坐标叫做一个解析点，而整个坐
