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1、第五章平面向量 解斜三角形及其应用举例 第讲 5 第一课时 1 三角形的内角和等于180 2 三角形中任意两边之和大于第三边 任意两边之差小于第三边 3 三角形中大边对大角 小边对小角 4 正弦定理 5 勾股定理c2 a2 b2 其中c为直角三角形的斜边 2R R为 ABC的外接圆半径 6 余弦定理c2 cosC 7 三角形的面积公式 其中h是边a上的高 8 由A B C 易推出 1 sinA sin B C cosA cos B C tanA tan B C a2 b2 2abcosC 1 在 ABC中 A B是sinA sinB的 A 充分而不必要条件B 必要而不充分条件C 充要条件D 既
2、不充分也不必要条件解法1 sinA sinB C 在 ABC中 所以sinA sinB故选C 解法2 在 ABC中 sinA sinB 故选C 在 ABC中 角A B C所对的边长别为a b c 若C 120 c a 则 A a bB a bC a bD a与b的大小关系不能确定 A 解 因为c2 a2 b2 2ab cosC c a 所以2a2 a2 b2 2ab cosC 所以a2 b2 2ab cos120 b2 2ab b2 ab 所以a2 b2 ab 所以a2 b2 即a b 故选A 3 ABC中 已知 且S ABC 则的值是 A 2B C 2D 解 ABC中 已知 故选C C 1
3、原创 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 且a 1 c 1 若C 则角A 2 若A 则边b 题型1利用正弦定理解三角形 2或1 解 1 由正弦定理得又a c 所以A C 所以A 2 同理由得得C 或 当C 时 B 可得b 2 当C 时 B 可得b 1 故 1 中填 2 中填2或1 点评 已知两边及其中一边的对角解三角形时 注意对解的情况进行讨论 讨论时一是根据所求的正弦值是否大于1 二是根据两边的大小关系确定解的情况 2010 山东卷 在 ABC中 角A B C所对的边分别为a b c 若a b 2 sinB cosB 则角A的大小为 解 由已知sinB cosB 两边平方整理
4、得1 sin2B 2 即sin2B 1 又B为三角形的内角 故2B 即B 据正弦定理可得 即 解得sinA 又由于a b 据大角对大边原则 即A B 故A 2 原创 在 ABC中 a b c分别是角A B C的对边 且满足b2 a2 c2 ac 1 求角B的度数 2 若b a c 5 a c 求cosA的值 解 1 由余弦定理b2 a2 c2 2accosB及条件可得 2accosB ac 即cosB 所以B 120 2 由b2 a2 c2 ac 得b2 a c 2 ac 即19 25 ac 所以ac 6 题型2利用余弦定理解三角形 由得或由余弦定理得点评 余弦定理的直接应用有两个方面 一是已
5、知三边 或三边的关系 可用余弦定理求角 二是已知两边及一角求第三边 3 在 ABC中 a b c分别是角A B C的对边 已知a b c成等比数列 且a2 c2 ac bc 求 1 A的大小 2 的值 解 1 因为a b c成等比数列 所以b2 ac 又a2 c2 ac bc 所以b2 c2 a2 bc 在 ABC中 由余弦定理得所以A 60 题型3解斜三角形 2 解法1 在 ABC中 由正弦定理得因为b2 ac A 60 所以解法2 在 ABC中 由面积公式得因为b2 ac A 60 所以bcsinA b2sinB 所以 点评 已知三个独立的条件 至少有一个是边的条件 来解斜三角形 关键是正确选用正弦定理 或余弦定理 及对定理公式的应用 若涉及面积问题时 还需用到面积公式 1 根据所给条件确定三角形的形状 主要有两种途径 1 化边为角 2 化角为边 并常用正弦 余弦 定理实施边角转换 2 用正弦 余弦 定理解三角形问题时可适当应用向量数量积求三角形的内角或应用向量的模求三角形边长等 3 在判断三角形形状或解斜三角形时 一定要注意解是否唯一 并注重挖掘隐含条件 4 用向量的数量积求三角形内角时 需通过向量的方向判断向量的夹角与三角形内角是相等还是互补
