江苏高考数学备考笔记

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1、1 高中数学常用公式及常用结论 1 元素与集合的关系元素与集合的关系 U xAxC A U xC AxA 2 2 德摩根公式德摩根公式 UUUUUU CABC AC B CABC AC B IUUI 3 3 包含关系包含关系 ABAABB IU UU ABC BC A U AC B I 6 6 U C ABR U 4 4 容斥原理容斥原理 card ABcardAcardBcard AB UI card ABCcardAcardBcardCcard AB UUI card ABcard BCcard CAcard ABC IIIII 5 5 集合 集合的子集个数共有的子集个数共有 个 真子集有

2、个 真子集有 1 1 个 非空子集有个 非空子集有 12 n a aaL2n2n2n 1 1 个 非空的真子集有个 非空的真子集有 2 2 个个 2n 6 6 二次函数的解析式的三种形式二次函数的解析式的三种形式 1 1 一般式一般式 2 0 f xaxbxc a 2 2 顶点式顶点式 2 0 f xa xhk a 3 3 零点式零点式 12 0 f xa xxxxa 7 解连不等式解连不等式常有以下转化形式常有以下转化形式 Nf xM Nf xM 0f xMf xN 22 MNMN f x 0 f xN Mf x 11 f xNMN 8 8 方程方程在在上有且只有一个实根上有且只有一个实根

3、与与不等价不等价 前者是后前者是后0 xf 21 kk0 21 kfkf 者的一个必要而不是充分条件者的一个必要而不是充分条件 特别地特别地 方程方程有且只有一个实根在有且只有一个实根在 0 0 2 acbxax 内内 等价于等价于 或或且且 或或且且 21 kk0 21 kfkf0 1 kf 22 21 1 kk a b k 0 2 kf 2 21 22 k a bkk 9 9 闭区间上的二次函数的最值闭区间上的二次函数的最值 二次函数二次函数在闭区间在闭区间上的最值只能在上的最值只能在处及区处及区 0 2 acbxaxxf qp a b x 2 间的两端点处取得 具体如下 间的两端点处取得

4、 具体如下 1 1 当当a 0a 0 时 若时 若 则 则 qp a b x 2 minmaxmax 2 b f xff xf pf q a 2 qp a b x 2 maxmax f xf pf q minmin f xf pf q 2 2 当当a 0a0 a 0 1 1 则 则的周期的周期 T aT a axfxf xf 2 2 0 axfxf 5 或或 0 1 xf xf axf 或或 1 f xa f x 0 f x 或或 则则的周期的周期 T 2aT 2a 2 1 0 1 2 f xfxf xaf x xf 3 3 则 则的周期的周期 T 3aT 3a 0 1 1 xf axf xf

5、 xf 4 4 且且 则 则 1 21 21 21 xfxf xfxf xxf 1212 1 1 0 2 f af xf xxxa 的周期的周期 T 4aT 4a xf 5 5 2 3 4 f xf xaf xa f xaf xa 则则的周期的周期 T 5aT 5a 2 3 4 f x f xa f xa f xa f xa xf 6 6 则 则的周期的周期 T 6a T 6a axfxfaxf xf 30 30 分数指数幂分数指数幂 1 1 且 且 1 m n nm a a 0 am nN 1n 2 2 且 且 1 m n m n a a 0 am nN 1n 3131 根式的性质 根式的性

6、质 1 1 n n aa 2 2 当 当为奇数时 为奇数时 n nn aa 当当为偶数时 为偶数时 n 0 0 nn a a aa a a 3232 有理指数幂的运算性质 有理指数幂的运算性质 1 1 0 rsr s aaaar sQ 2 2 0 rsrs aaar sQ 3 3 0 0 rrr aba b abrQ 注 注 若若a a 0 0 p p是一个无理数 则是一个无理数 则a ap p表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性表示一个确定的实数 上述有理指数幂的运算性 质 对于无理数指数幂都适用质 对于无理数指数幂都适用 33 33 指数式与对数式的互化式指数式与对数式的互化式 lo

7、g b a NbaN 0 1 0 aaN 34 34 对数的换底公式对数的换底公式 且且 且且 log log log m a m N N a 0a 1a 0m 1m 0N 推论推论 且且 且且 loglog m n a a n bb m 0a 1a 0m n 1m 1n 0N 3535 对数的四则运算法则 对数的四则运算法则 若若 a a 0 0 a a 1 1 M M 0 0 N N 0 0 则 则 1 1 log loglog aaa MNMN 2 2 logloglog aaa M MN N 6 3 3 loglog n aa MnM nR 36 36 设函数设函数 记记 若若的定义域

8、为的定义域为 0 log 2 acbxaxxf m acb4 2 xf 则则 且 且 若若的值域为的值域为 则则 且 且 对于对于的情形的情形 需要需要R0 a0 xfR0 a0 0 a 单独检验单独检验 37 37 对数换底不等式及其推广对数换底不等式及其推广 若若 则函数则函数 0a 0b 0 x 1 x a log ax ybx 1 1 当当时时 在在和和上上为增函数为增函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 2 2 当当时时 在在和和上上为减函数为减函数 ab 1 0 a 1 a log ax ybx 推论推论 设设 且 且 则 则 1nm 0p 0a 1a 1 log

9、log mpm npn 2 2 logloglog 2 aaa mn mn 38 38 平均增长率的问题平均增长率的问题 如果原来产值的基础数为如果原来产值的基础数为 N N 平均增长率为 平均增长率为 则对于时间 则对于时间的总产值的总产值 有 有pxy 1 xyNp 39 39 数列的同项公式与前数列的同项公式与前 n n 项的和的关系项的和的关系 数列数列的前的前 n n 项的和为项的和为 1 1 1 2 n nn sn a ssn n a 12nn saaa L 40 40 等差数列的等差数列的通项公式通项公式 11 1 n aanddnad nN 其前其前 n n 项和公式为项和公式

10、为 1 2 n n n aa s 1 1 2 n n nad 2 1 1 22 d nad n 41 41 等比数列的等比数列的通项公式通项公式 1 1 1 nn n a aa qqnN q 其前其前 n n 项的和公式为项的和公式为 1 1 1 1 1 1 n n aq q sq na q 或或 1 1 1 1 1 n n aa q q qs na q 42 42 等比差数列等比差数列 的通项公式为的通项公式为 n a 11 0 nn aqad ab q 7 1 1 1 1 1 nn n bnd q a bqdb qd q q 其前其前 n n 项和公式为项和公式为 1 1 1 1 111

11、n n nbn ndq s dqd bn q qqq 43 分期付款分期付款 按揭贷款按揭贷款 每次还款每次还款元元 贷款贷款元元 次还清次还清 每期利率为每期利率为 1 1 1 n n abb x b anb 44 常见三角不等式 常见三角不等式 1 若 若 则 则 0 2 x sintanxxx 2 若若 则 则 0 2 x 1sincos2xx 3 sin cos 1xx 45 45 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 22 sincos1 tan cos sin tan1cot 46 46 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符号看象限 正弦 余弦的诱导公式 奇变偶不变 符

12、号看象限 2 1 2 1 sin sin 2 1 s n n n co 2 1 2 1 s s 2 1 sin n n co n co 47 47 和角与差角公式和角与差角公式 sin sincoscossin cos coscossinsin m tantan tan 1tantan m 平方正弦公式平方正弦公式 22 sin sin sinsin 22 cos cos cossin 辅助角辅助角所在象限由点所在象限由点的象限决定的象限决定 sincosab 22 sin ab a b tan b a 48 48 二倍角公式二倍角公式 sin2sincos 2222 cos2cossin2c

13、os11 2sin n 为偶数 n 为奇数 n 为偶数 n 为奇数 8 2 2tan tan2 1tan 49 49 三倍角公式三倍角公式 3 sin33sin4sin4sinsin sin 33 3 cos34cos3cos4coscos cos 33 3 2 3tantan tan3tantan tan 1 3tan33 50 50 三角函数的周期公式三角函数的周期公式 函数函数 x x R R 及函数及函数 x x R R A A 为常数 且为常数 且 A A sin yx cos yx 0 0 0 0 的周期的周期 函数 函数 A A 为常数 为常数 2 T tan yx 2 xkkZ

14、 且且 A A 0 0 0 0 的周期的周期 T 51 51 正弦定理正弦定理 2 sinsinsin abc R ABC 52 52 余弦定理余弦定理 222 2cosabcbcA 222 2cosbcacaB 222 2coscababC 53 53 面积定理面积定理 1 1 分别表示分别表示 a a b b c c 边上的高 边上的高 111 222 abc Sahbhch abc hhh 2 2 111 sinsinsin 222 SabCbcAcaB 3 3 22 1 2 OAB SOAOBOA OB uu u ruuu ruu u r uuu r 54 54 三角形内角和定理三角形

15、内角和定理 在在 ABCABC 中 有中 有 ABCCAB 222 CAB 222 CAB 55 55 简单的三角方程的通解简单的三角方程的通解 sin 1 arcsin 1 k xaxka kZa s2arccos 1 co xaxka kZa tanarctan xaxka kZ aR 特别地特别地 有有 sinsin 1 k kkZ scos2 cokkZ tantan kkZ 56 56 最简单的三角不等式及其解集最简单的三角不等式及其解集 sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ sin 1 2arcsin 2arcsin xa axkaka kZ 9 c

16、os 1 2arccos 2arccos xa axkaka kZ cos 1 2arccos 22arccos xa axkaka kZ tan arctan 2 xa aRxka kkZ tan arctan 2 xa aRxkka kZ 57 57 实数与向量的积的运算律实数与向量的积的运算律 设 为实数 那么设 为实数 那么 1 1 结合律 结合律 a a a a 2 2 第一分配律 第一分配律 a a a a a a 3 3 第二分配律 第二分配律 a b a b a a b b 58 58 向量的数量积的运算律 向量的数量积的运算律 1 1 a a b b b b a a 交换律 交换律 2 2 a a b b a a b b a a b b a a b b 3 3 a a b b c c a a c c b b c c 59 59 平面向量基本定理平面向量基本定理 如果如果e e1 1 e e 2 2是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且是同一平面内的两个不共线向量 那么对于这一平面内的任一向量 有且 只有一对实数 只有一对实数 1 1 2 2