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1、选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 中考总复习 特殊的四边形中考总复习 特殊的四边形 知识讲解 提高 知识讲解 提高 考纲要求 考纲要求 1 会识别矩形 菱形 正方形以及梯形 2 掌握矩形 菱形 正方形的概念 判定和性质 会用矩形 菱形 正方形的性质和判定解决问题 3 掌握梯形的概念以及了解等腰梯形 直角梯形的性质和判定 会用性质和判定解决实际问题 知识网络 知识网络 考点梳理 考点梳理 考点一 几种特殊四边形性质 判定考点一 几种特殊四边形性质 判定 性 质 四边形 边角对角线 判 定 矩形对边平行 且相等 四个角是直 角 相等且互相平分
2、 有一组邻边相等的平行四边形是菱 形 四条边都相等的四边形是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱 形 中 心 轴对 称图 形 菱形四条边相 等 对角相等 邻角互补 垂直且互相平 分 每一条对角 线平分一组对角 有一个角是直角的平行四边形是矩 形 有三个角是直角的四边形是矩形 对角线相等的平行四边形是矩形 中心 对称 图形 正方形 四条边相 等 四个角是直 角 相等 垂直 平 分 并且每一条 对角线平分一组 对角 1 邻边相等的矩形是正方形 2 对角线垂直的矩形是正方形 3 有一个角是直角的菱形是正方形 4 对角线相等的菱形是正方形 中 心 轴对 称 等腰梯形两底平 行 两腰 相等 同一底上的
3、两个角相等 相等 1 两腰相等的梯形是等腰梯形 2 在同一底上的两个角相等的梯形 是等腰梯形 3 对角线相等的梯形是等腰梯形 轴对 称图 形 要点诠释 要点诠释 矩形 菱形 正方形都是特殊的平行四边形 它们具有平行四边形的一切性质 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 考点二 中点四边形相关问题考点二 中点四边形相关问题 1 1 中点四边形的概念 中点四边形的概念 把依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形 2 2 若中点四边形为矩形 则原四边形满足条件对角线互相垂直 若中点四边形为菱形 则原四边形满足条件对角线相等 若中点四
4、边形为正方形 则原四边形满足条件对角线互相垂直且相等 要点诠释 要点诠释 中点四边形的形状由原四边形的对角线的位置和数量关系决定 考点三 考点三 重心重心 1 线段的中点是线段的重心 三角形三条中线相交于一点 这个交点叫做三角形的重心 三角形的重心与顶点的距离等于它与对边 中点的距离的 2 倍 平行四边形对角线的交点是平行四边形的重心 典型例题 典型例题 类型一 特殊的平行四边形的应用类型一 特殊的平行四边形的应用 1 2012 湛江 如图 设四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 以对角线 AC 为边作第二个正方形 ACEF 再以对角线 AE 为边作笫三个正方形 AEGH 如此下去 若正方
5、形 ABCD 的边长记为 a1 按上述 方法所作的正方形的边长依次为 a2 a3 a4 an 则 an 思路点拨 求 a2的长即 AC 的长 根据直角 ABC 中 AB2 BC2 AC2可以计算 同理计算 a3 a4 由求出 的 a2 a1 a3 a2 an an 1 n 1 可以找出规律 得到第 n 个正方形边长的表达2222 式 答案 n 1 2 解析 a2 AC 且在直角 ABC 中 AB2 BC2 AC2 a2 a1 同理 a3 a2 2 222 a4 a3 2 22 由此可知 an an 1 n 122 故答案为 n 1 2 总结升华 考查了正方形的性质 以及勾股定理在直角三角形中的
6、运用 考查了学生找规律的能 力 本题中找到 an的规律是解题的关键 举一反三 举一反三 变式变式 2011 德州 长为 1 宽为 a 的矩形纸片 1 2 1 a 如图那样折一下 剪下一个边长等于矩形 宽度的正方形 称为第一次操作 再把剩下的矩形如图那样折一下 剪下一个边长等于此时矩形宽 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 度的正方形 称为第二次操作 如此反复操作下去 若在第 n 此操作后 剩下的矩形为正方形 则 操作终止 当 n 3 时 a 的值为 答案 或 3 5 3 4 2 2015 秋 宝安区校级期中 如图 在菱形 ABCD 中 对角
7、线 AC BD 相交于点 O AC 6 BD 8 点 P 是 AC 延长线上的一个动点 过点 P 作 PE AD 垂足为 E 作 CD 延长线的垂线 垂足为 E 则 PE PF 思路点拨 延长 BC 交 PE 于 G 由菱形的性质得出 AD BC OA OC AC 3 OB OD BD 4 AC BD ACB ACD 由勾股定理求出 AD 由对顶角相等得出 PCF PCG 由菱形的面积的两种 计算方法求出 EG 由角平分线的性质定理得出 PG PF 得出 PE PF PE PG EG 即可 答案 4 8 解析 解 延长 BC 交 PE 于 G 如图所示 四边形 ABCD 是菱形 AD BC O
8、A OC AC 3 OB OD BD 4 AC BD ACB ACD AD 5 PCF PCG 菱形的面积 AD EG AC BD 6 8 24 EG 4 8 PE AD PE BG PF DF PG PF PE PF PE PG EG 4 8 第一次操作第二次操作 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 故答案为 4 8 总结升华 本题考查了菱形的性质 勾股定理 角平分线的性质定理 菱形面积的计算等知识 本 题综合性强 有一定难度 通过作辅助线证出 PG PF 是解决问题的关键 类型二 梯形的应用类型二 梯形的应用 3 2011 资阳 如图
9、在梯形 ABCD 中 已知 AD BC B 90 AB 7 AD 9 BC 12 在线段 BC 上任取一点 E 连接 DE 作 EF DE 交直线 AB 于点 F 1 若点 F 与 B 重合 求 CE 的长 2 若点 F 在线段 AB 上 且 AF CE 求 CE 的长 3 设 CE x BF y 写出 y 关于 x 的函数关系式 直接写出结果可 思路点拨 1 先证明四边形 ABED 为矩形 CE BC AD 继而即可求出答案 2 设 AF CE x 则 HE x 3 BF 7 x 再通过证明 BEF HDE 根据对应边成比例 然后代入求解 即可 3 综合 1 2 两种情况 然后代入求出解析式
10、即可 答案与解析 1 F 与 B 重合 且 EF DE DE BC AD BC B 90 A B 90 四边形 ABED 为矩形 BE AD 9 CE 12 9 3 2 作 DH BC 于 H 则 DH AB 7 CH 3 设 AF CE x F 在线段 AB 上 点 E 在线段 BH 上 CH 3 CE x HE x 3 BF 7 x BEF 90 HED 180 HDE 90 HED 180 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 BEF HDE 又 B DHE 90 BEF HDE BF HE BE DH 7 3 x x 12 7 x 整
11、理得 x2 22x 85 0 x 5 x 17 0 x 5 或 17 经检验 它们都是原方程的解 但 x 17 不合题意 舍去 x CE 5 3 作 DH BC 于 H AD BC B 90 AB 7 AD 9 BC 12 CE x BF y 则 HE x 3 BF y 当 3 x 12 时 易证 BEF HDE 12 y x 3 7 x y x2 x 1 7 15 7 36 7 当 0 x 3 易证 BEF HDE 则 HE 3 x BF y 12 y x 3 7 x y x2 x 1 7 15 7 36 7 总结升华 本题考查直角梯形的知识 同时考查了矩形的判定与性质 相似三角形的判定与性
12、质 是一道小的综合题 注意对这些知识的熟练掌握并灵活应用 举一反三 举一反三 变式变式 2011 台湾 如图为菱形 ABCD 与正方形 EFGH 的重迭情形 其中 E 在 CD 上 AD 与 GH 相交于 I 点 且 AD HE 若 A 60 且 AB 7 DE 4 HE 5 则梯形 HEDI 的面积为 10 10 6 38 32 32 3 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 答案 B 类型三 特殊四边形与其他知识结合的综合运用类型三 特殊四边形与其他知识结合的综合运用 高清课堂 高清课堂 多边形与特殊平行四边形多边形与特殊平行四边形 例例
13、 7 4 2014 秋 莒南县期末 正方形 ABCD 边长为 2 点 E 在对角线 AC 上 连接 DE 将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90 至 DF 的位置 连接 AF EF 1 证明 AC AF 2 设 AD2 AE AC 求证 四边形 AEDF 是正方形 3 当 E 点运动到什么位置时 四边形 AEDF 的周长有最小值 最小值是多少 思路点拨 1 由已知条件及正方形的性质易证 CDE ADF 所以可得 ECD DAF 45 CE AF 进而可得 CAF 90 即 AC AF 2 若 AD2 AE AC 再由条件 CAD EAD 45 易证 EAD DAC 所以 AED ADC 90
14、 即有 AED EDF EAF 90 又 DE DF 继而证明四边形 AEDF 为正方形 3 当 E 点运动到 AC 中点位置时 四边形 AEDF 的周长有最小值 由 2 得 CE AF 则有 AE AF AC 2 又 DE DF 所以四边形 AEDF 的周长 l AE AF DE DF 4 2DE 则 DE 最小四边形的周长最 小 问题得解 答案与解析 解 1 四边形 ABCD 是正方形 CDA 90 CD AD ED FD CAD 45 将线段 DE 绕点 D 顺时针旋转 90 至 DF 的位置 EDF 90 CDE ADF 在 CDE 和 ADF 中 CDE ADF ECD DAF 45
15、 CE AF CAF 90 即 AC AF 2 AD2 AE AC CAD EAD 45 EAD DAC AED ADC 90 即有 AED EDF EAF 90 又 DE DF 四边形 AEDF 为正方形 3 当 E 点运动到 AC 中点位置时 四边形 AEDF 的周长有最小值 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 理由如下 由 2 得 CE AF 则有 AE AF AC 2 又 DE DF 则当 DE 最小时 四边形 AEDF 的周长 l AE AF DE DF 4 2DE 最小 当 DE AC 时 E 点运动到 AC 中点位置时 此时
16、DE 2 四边形 AEDF 的周长最小值为 8 总结升华 本题用到的知识点有正方形的性质 全等三角形的判定和性质 相似三角形的判定和性 质以及四边形周长最小值的问题 动点问题 题目的综合性较强 难度中等 是一道不错的中考题压 轴题 5 2012 自贡 如图所示 在菱形 ABCD 中 AB 4 BAD 120 AEF 为正三角形 点 E F 分别在菱形的边 BC CD 上滑动 且 E F 不与 B C D 重合 1 证明不论 E F 在 BC CD 上如何滑动 总有 BE CF 2 当点 E F 在 BC CD 上滑动时 分别探讨四边形 AECF 和 CEF 的面积是否发生变化 如果不变 求出这个定值 如果变化 求出最大 或最小 值 思路点拨 1 先求证 AB AC 进而求证 ABC ACD 为等边三角形 得 4 60 AC AB 进而求证 ABE ACF 即可求得 BE CF 2 根据 ABE ACF 可得 故根据 S四边形 AECF ABESVACFSVAECSVACFSVAECSVABESV 即可解题 当正三角形 AEF 的边 AE 与 BC 垂直时 边 AE 最短 AEF 的面积
