中考数学冲刺：几何综合问题--知识讲解（基础）

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1、选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 中考冲刺 几何综合问题中考冲刺 几何综合问题 知识讲解 基础 知识讲解 基础 中考展望 中考展望 几何综合题是中考试卷中常见的题型 大致可分为几何计算型综合题与几何论证型综合题 它主要 考查学生综合运用几何知识的能力 这类题型在近几年全国各地中考试卷中占有相当的分量 不仅有选 择题 填空题 几何推理计算题以及代数与几何的综合计算题 还有更注重考查学生分析问题和解决问 题能力的探究性的问题 方案设计的问题等等 主要特点是图形较复杂 覆盖面广 涉及的知识点较 多 题设和结论之间的关系较隐蔽 常常需要添加辅助线

2、来解答 几何综合题的呈现形式多样 如折叠类型 探究型 开放型 运动型 情景型等 背景鲜活 具 有实用性和创造性 考查方式偏重于考查考生分析问题 探究问题 综合应用数学知识解决实际问题 的能力 以几何为主的综合题常常在一定的图形背景下研究以下几个方面的问题 1 证明线段 角的数量关系 包括相等 和 差 倍 分及比例关系等 2 证明图形的位置关系 如点与线 线与线 线与圆 圆与圆的位置关系等 3 几何计算问题 4 动态几何问题等 方法点拨 方法点拨 一 几何计算型综合问题 常常涉及到以下各部分的知识 1 与三角形有关的知识 2 等腰三角形 等腰梯形的性质 3 直角三角形的性质与三角函数 4 平行四

3、边形的性质 5 全等三角形 相似三角形的性质 6 垂径定理 切线的性质 与正多边形有关的计算 7 弧长公式与扇形面积公式 二 几何论证型综合题的解答过程 要注意以下几个方面 1 注意图形的直观提示 注意观察 分析图形 把复杂的图形分解成几个基本图形 通过 添加辅助线补全或构造基本图形 2 注意分析挖掘题目的隐含条件 发展条件 为解题创造条件打好基础 要由已知联想经 验 由未知联想需要 不断转化条件和结论来探求思路 找到解决问题的突破点 3 要运用转化的思想解决几何证明问题 运用方程的思想解决几何计算问题 还要灵活运用 数学思想方法如数形结合 分类讨论 转化 方程等思想来解决问题 典型例题 典型

4、例题 类型一 动态几何型问题类型一 动态几何型问题 1 如图 在矩形 ABCD 中 AB 12cm BC 6cm 点 P 沿 AB 边从点 A 开始向点 B 以 2cm s 的速度移 动 点 Q 沿 DA 边从点 D 开始向点 A 以 1cm s 的速度移动 如果 P Q 同时出发 用 t s 表示移动的时间 0 t 6 那么 当 t 为何值时 QAP 为等腰直角三角形 求四边形 QAPC 的面积 提出一个与计算结果有关的结论 当 t 为何值时 以点 Q A P 为顶点的三角形与 ABC 相似 D A B C Q P 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 61

5、2 5351 思路点拨 中应由 QAP 为等腰直角三角形这一结论 需补充条件 AQ AP 由 AQ 6 t AP 2t 可 求出 t 的值 中四边形 QAPC 是一个不规则图形 其面积可由矩形面积减去 DQC 与 PBC 的面积求出 中由于题目中未给出三角形的相似对应方式 因此需分类讨论 答案与解析 解 1 对于任何时刻 t AP 2t DQ t QA 6 t 当 QA AP 时 QAP 为等腰直角三角形 即 6 t 2t 解得 t 2 s 所以 当 t 2s 时 QAP 为等腰直角三角形 2 在 QAC 中 QA 6 t QA 边上的高 DC 12 S QAC 1 2 QA DC 1 2 6

6、 t 12 36 6t 在 APC 中 AP 2t BC 6 S APC 1 2 AP BC 1 2 2t 6 6t S四边形 QAPC S QAC S APC 36 6t 6t 36 cm2 由计算结果发现 在 P Q 两点移动的过程中 四边形 QAPC 的面积始终保持不变 也可提出 P Q 两点到对角线 AC 的距离之和保持不变 3 根据题意 可分为两种情况 在矩形 ABCD 中 当 QAAP ABBC 时 QAP ABC 则有 62 126 tt 解得 t 1 2 s 即当 t 1 2s 时 QAP ABC 当 QAAP BCAB 时 PAQ ABC 则有 62 612 tt 解得 t

7、3 s 即当 t 3s 时 PAQ ABC 所以 当 t 1 2s 或 3s 时 以点 Q A P 为顶点的三角形与 ABC 相似 总结升华 本题是动态几何题 同时也是一道探究题 要求学生具有一定的发现 归纳和表达能力 这就要求我们通过计算分析 抓住其本质 揭示出变中不变的规律 四边形 QAPC 的面积也可由 QAC 与 CAP 的面积求出 中考查了分类讨论的数学思想 结论具有一定的开放性 2 如图 在梯形ABCD中 ADBC 3AD 5DC 10BC 梯形的高为 4 动点M从 B点出发沿线段BC以每秒 2 个单位长度的速度向终点C运动 动点N同时从C点出发沿线段CD以每 秒 1 个单位长度的

8、速度向终点D运动 设运动的时间为t 秒 D N CMB A 1 当MNAB 时 求t的值 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 2 试探究 t为何值时 MNC 为等腰三角形 思路点拨 1 M N 在动 意味着 BM MC 以及 DN NC 都是变化的 但是我们发现 和这些动态的条件 密切相关的条件 DC BC 长度都是给定的 而且动态条件之间也是有关系的 所以当题中设定 MN AB 时 就变成了一个静止问题 由此 从这些条件出发 列出方程 便可得出结果 2 如果在动态问题当中碰见等腰三角形 一定不要忘记分类讨论 两腰一底一个都不能少 具体分

9、类以后 就成了较为简单的解三角形问题 可以轻松求解 答案与解析 1 由题意知 当M N运动到t秒时 如图 1 过D作DEAB 交BC于E点 则四边形ABED 是平行四边形 ABDE ABMN DEMN MCNC ECCD 102 1035 tt 解得 50 17 t 2 分三种情况讨论 当MNNC 时 如图 2 作NFBC 交BC于F 则有2MCFC 4 sin 5 DF C CD 3 cos 5 C 3 1022 5 t t 解得 25 8 t 当MNMC 时 如图 3 过M作MHCD 于 H 则2CNCH 3 2 102 5 tt 60 17 t 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选

10、师平台 免费咨询热线 400 612 5351 当MCCN 时 则102tt 10 3 t 综上所述 当 25 8 t 60 17 或 10 3 时 MNC 为等腰三角形 总结升华 解决动点问题 首先就是要找谁在动 谁没动 通过分析动态条件和静态条件之间的关 系求解 但是对于大多数题目来说 都有一个由动转静的拐点 3 已知 ABC 是边长为 1 的等边三角形 D 是射线 BC 上一动点 与点 B C 不重合 以 AD 为一 边向右侧作等边 ADE 连接 CE 1 当点 D 在线段 BC 上运动时 如图 1 求证 EC DB EC AB 2 当点 D 在线段 BC 的延长线上运动时 如图 2 中

11、的结论是否仍然成立 请说明理由 3 当 EC 2 时 求 ABC 与 ADE 的面积比 思路点拨 1 根据 ADE 与 ABC 都是等边三角形 容易得到全等条件证明 CAE BAD 再根据 全等三角形的性质可以证明题目的结论 2 根据 1 可知 D 的位置对 CAE BAD 没有影响 所以结论仍然成立 证明方法完全相同 3 当 BD 2 时 AB BC AC 1 2 BD ABD 是直角三角形 这样在 Rt ABD 解直角三角形中可以求出 AD 的长 然后利用相似三角形的性质解决问题 答案与解析 1 证明 ADE 与 ABC 都是等边三角形 AC AB AE AD DAE BAC 60 DAE

12、 CAD BAC CAD 即 CAE BAD CAE BAD EC DB 由 CAE BAD ACE B 60 ACE BAC 60 EC AB 2 解 中得到的结论仍然成立 CAE BAD SAS ACE B 60 ACE BAC 60 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 EC AB 3 解 CAE BAD BD CE 2 ABC 是边长为 1 的等边三角形 当 BD 2 时 点 D 在线段 BC 的延长线上 AB BC AC 1 2 BD ABD 是直角三角形 在 Rt ABD 中 AD BD sinB 2 3 2 3 ABC ADE

13、ABC 与 ADE 的面积比为 1 3 总结升华 本题主要是在动态的情形下考查全等三角形的性质与判定 等边三角形的性质和相似三 角形的性质等知识 举一反三 举一反三 变式变式 ABC 是等边三角形 P 为平面内的一个动点 BP BA 若0 PBC 180 且 PBC 平分 线上的一点 D 满足 DB DA 1 当 BP 与 BA 重合时 如图 1 BPD 2 当 BP 在 ABC 的内部时 如图 2 求 BPD 的度数 3 当 BP 在 ABC 的外部时 请你直接写出 BPD 的度数 并画出相应的图形 答案 1 BPD 30 2 如图 3 连结 CD 点 D 在 PBC 的平分线上 1 2 A

14、BC 是等边三角形 BA BC AC ACB 60 BP BA BP BC BD BD PBD CBD 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 BPD 3 DB DA BC AC CD CD BCD ACD 1 3430 2 ACB BPD 30 3 BPD 30 或 150 类型二 几何计算型问题类型二 几何计算型问题 高清课堂 几何综合问题 高清课堂 几何综合问题 例例 1 1 4 如图 直角三角形纸片 ABC 中 ACB 90 AC 8 BC 6 折叠该纸片使点 B 与点 C 重合 折 痕与 AB BC 的交点分别为 D E 1 DE 的

15、长为 2 将折叠后的图形沿直线 AE 剪开 原纸片被剪成三块 其中最小一块的面积等于 思路点拨 1 由题意可得 DE 是线段 BC 的垂直平分线 易证 DE AC 即 DE 是 ABC 的中位线 即可求得 DE 的长 2 由 DE AC DE 1 2 AC 易证 AOC EOD 根据相似三角形的对应边成比例 即可求得 OA OE 2 然后求得 ACE 的面积 利用等高三角形的面积比等于对应底的比 即可求得答案 答案与解析 1 根据题意得 DE BC CE BE ACB 90 即 AC BC DE AC AD BD DE 1 2 AC 1 2 8 4 2 DE AC DE 1 2 AC AOC

16、EOD 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 OA OE AC DE 2 CE 1 2 BC 1 2 6 3 ACB 90 AC 8 S ACE 1 2 CE AC 1 2 3 8 12 S OCE 1 3 S ACE 4 S ADE S ODE S ABC 4 12 8 其中最小一块的面积等于 4 总结升华 考查了折叠的性质 直角三角形的性质 三角形中位线的性质以及相似三角形的判定与 性质 此题难度适中 注意数形结合思想的应用 注意掌握折叠前后图形的对应关系 是一道典型的几 何综合题 举一反三举一反三 变式变式 在边长为 2 的菱形 ABCD 中 B 45 AE 为 BC 边上的高 将 ABE 沿 AE 所在直线翻折得 AB E 那么 AB E 与四边形 AECD 重叠部分的面积是 答案 在 Rt ABE 中 B 45 AB 2 AE BE 2 S ABE 1 由翻折的性质可知 AB E ABE EB EB 2 B C BB BC 22 2 四边形 ABCD 是菱形 CF BA B FC B AB 90 B CF B 45 CF S