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1、选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 中考总复习 二次函数中考总复习 二次函数 知识讲解 提高 知识讲解 提高 考纲要求 考纲要求 1 二次函数的概念常为中档题 主要考查点的坐标 确定解析式 自变量的取值范围等 2 二次函数的解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标等是中考命题的热点 3 抛物线的性质 平移 最值等在选择题 填空题中都出现过 覆盖面较广 而且这些内容的综合题 一般较难 在解答题中出现 知识网络 知识网络 考点梳理 考点梳理 考点一 二次函数的定义考点一 二次函数的定义 一般地 如果 a b c 是常数 a 0 那么 y 叫做 x 的
2、二次函数 2 yaxbxc 要点诠释 要点诠释 二次函数 a 0 的结构特征是 1 等号左边是函数 右边是关于自变量 x 的二次 2 yaxbxc 式 x 的最高次数是 2 2 二次项系数 a 0 考点二 二次函数的图象及性质考点二 二次函数的图象及性质 1 二次函数 a 0 的图象是一条抛物线 顶点为 2 yaxbxc 2 4 24 bacb aa 2 当 a 0 时 抛物线的开口向上 当 a 0 时 抛物线的开口向下 3 a 的大小决定抛物线的开口大小 a 越大 抛物线的开口越小 a 越小 抛物线的开口越大 c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置 c 0 时 抛物线过原点 c 0 时 抛
3、物线与 y 轴交于正 半轴 c 0 时 抛物线与 y 轴交于负半轴 ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置 当 ab 0 时 对称轴为 y 轴 当 ab 0 时 对称轴在 y 轴 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 左侧 当 ab 0 时 对称轴在 y 轴的右侧 4 抛物线的图象 可以由的图象移动而得到 2 ya xhk 2 yax 将向上移动 k 个单位得 2 yax 2 yaxk 将向左移动 h 个单位得 2 yax 2 ya xh 将先向上移动 k k 0 个单位 再向右移动 h h 0 个单位 即得函数 2 yax 2 ya xhk
4、的图象 5 几种特殊的二次函数的图象特征如下 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 轴 0 0 轴 0 0 当时 开口向上 当时 开口向下 要点诠释 要点诠释 求抛物线 2 yaxbxc a 0 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法 配方法 公式法 代入 法 这三种方法都有各自的优缺点 应根据实际灵活选择和运用 考点三 二次函数的解析式考点三 二次函数的解析式 1 1 一般式一般式 a 0 2 yaxbxc 若已知条件是图象上的三个点 则设所求二次函数为 将已知条件代入 求出 2 yaxbxc a b c 的值 2 2 交点式 双根式 交点式 双根式 12 0 ya xxxxa 若已知二次函数图象与
5、x 轴的两个交点的坐标为 x1 0 x2 0 设所求二次函数为 将第三点 m n 的坐标 其中 m n 为已知数 或其他已知条件代入 求出待定系 12 ya xxxx 数 最后将解析式化为一般形式 3 3 顶点式顶点式 2 0 ya xhk a 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值 或最小值 设所求二次函数为 将已知条件代入 求出待定系数 最后将解析式化为一般形式 2 ya xhk 4 4 对称点式对称点式 12 0 ya xxxxm a 若已知二次函数图象上两对称点 x1 m x2 m 则可
6、设所求二次函数为 将已知条件代入 求得待定系数 最后将解析式化为一般形 12 0 ya xxxxm a 式 要点诠释 要点诠释 已知图象上三点或三对 的值 通常选择一般式 已知图象的顶点或对称轴 通常选择顶点 式 可以看成的图象平移后所对应的函数 已知图象与轴的交点坐标 通常选用交点 式 a 0 由此得根与系数的关系 考点四 二次函数考点四 二次函数 a a 0 0 的图象的位置与系数的图象的位置与系数 a b c 的关系的关系 2 yaxbxc 1 开口方向 a 0 时 开口向上 否则开口向下 2 对称轴 时 对称轴在 y 轴的右侧 当时 对称轴在 y 轴的左侧 0 2 b a 0 2 b
7、a 3 与 x 轴交点 时 有两个交点 时 有一个交点 时 没有 2 40bac 2 40bac 2 40bac 交点 要点诠释 要点诠释 关于二次函数 a 0 中几个常用结论 2 yaxbxc 1 抛物线的对称轴是 y 轴 顶点在 y 轴上 则 b 0 2 抛物线与 x 轴只有一个交点 顶点在 x 轴上 则 2 40bac 3 抛物线过原点 则 c 0 4 当 x 1 时 函数 y a b c 5 当 x 1 时 函数 y a b c 6 当 a b c 0 时 x 1 与函数图象的交点在 x 轴上方 否则在下方 7 当 a b c 0 时 x 1 与函数图象的交点在 x 轴的上方 否则在下
8、方 考点五 二次函数的最值考点五 二次函数的最值 1 如果自变量的取值范围是全体实数 那么函数在顶点处取得最大值 或最小值 即当时 2 b x a 2 4 4 acb y a 最值 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 2 如果自变量的取值范围是 x1 x x2 那么 首先要看是否在自变量的取值范围 x1 x x2内 2 b a 若在此范围内 则 当 a 0 时 2 4 4 acb y a 最小值 2 b x a 此时 此时 2 11 yaxbxc 最大值 22 1122 axbxcaxbxc 当 a 0 时 2 4 4 acb y a 最大
9、值 2 b x a 此时 此时 2 11 yaxbxc 最小值 22 1122 axbxcaxbxc 若不在此范围内 则 当 y 随 x 的增大而增大时 此时 2 22 yaxbxc 最大值2 xx 此时 x x1 2 11 yaxbxc 最小值 当 y 随 x 的增大而减小时 此时 2 11 yaxbxc 最大值1 xx 此时 x x2 2 22 yaxbxc 最小值 要点诠释 要点诠释 在求应用问题的最值时 除求二次函数的最值 还应考虑实际问题的自变量的取 2 yaxbxc 值范围 考点六考点六 二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程的关系 函数 当时 得到一元二次方程 那么一
10、 元二次方程的解就是二次函数的图象与 x 轴交点的横坐标 因此二次函数图象与 x 轴的交点情况决定 一元二次方程根的情况 1 当二次函数的图象与 x 轴有两个交点 这时 则方程有两个不相等实根 2 当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点 这时 则方程有两个相等实 根 3 当二次函数的图象与 x 轴没有交点 这时 则方程没有实根 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 要点诠释 要点诠释 二次函数图象与 x
11、轴的交点的个数由的值来确定 1 当二次函数的图象与 x 轴有两个交点 这时 则方程有两个不相等实根 2 当二次函数的图象与 x 轴有且只有一个交点 这时 则方程有两个相等实 根 3 当二次函数的图象与 x 轴没有交点 这时 则方程没有实根 典型例题 典型例题 类型一 应用二次函数的定义求值类型一 应用二次函数的定义求值 1 已知抛物线 y m 1 x2 mx m2 4 的图象过原点 且开口向上 1 求 m 并写出函数解析式 2 写出函数图象的顶点坐标 及对称轴 思路点拨 1 直接根据抛物线的性质可知 m 1 0 m2 4 0 解之即可得到 m 2 即 y x2 2x 2 y x2 2x x 1
12、 2 1 直接可写出顶点坐标及对称轴 答案与解析 1 抛物线 y m 1 x2 mx m2 4 的图象过原点 且开口向上 m 1 0 且 m2 4 0 解得 m 2 而 m 1 m 2 y x2 2x 2 y x2 2x x 1 2 1 顶点坐标为 1 1 对称轴为 x 1 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 总结升华 主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式和象限内点的坐标特点 用待定系数法求函数解析式的一般步骤是 1 写出函数解析式的一般式 其中包括未知的系数 2 把自变量与函数的对应值代入函数解析式中 得到关于待定系数的方程或方程组
13、3 解方程 组 求出待定系数的值 从而写出函数解析式 举一反三 举一反三 变式变式 已知抛物线过原点 求 m 22 1 31ymxxm 答案 解 由题意得 m 1 2 10m 又 m 1 0 m 1 取 m 1 类型二 二次函数的图象及性质的应用类型二 二次函数的图象及性质的应用 2 已知点 M 2 5 N 4 5 在抛物线 则抛物线的对称轴为 2 yaxbxc 思路点拨 M 2 5 N 4 5 两点纵坐标相等 根据抛物线的对称性 对称轴为两点横坐标的平均数 答案 x 1 解析 因为 M 2 5 N 4 5 两点纵坐标相等 所以 M N 两点关于抛物线的对称轴对称 所以抛物线的对称轴为直线 x
14、 1 总结升华 抛物线上纵坐标相等的两点是关于抛物线的对称轴对称的两点 抛物线的对称性 当抛 物线上两点纵坐标相等时 对称轴为两点横坐标的平均数 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 如图 已知二次函数的图象经过 A 2 0 B 0 6 两点 cbxxy 2 2 1 1 求这个二次函数的解析式 2 设该二次函数的对称轴与轴交于点 C 连结 BA BC 求 ABC 的面积 x y x C A O B 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 答案 1 把 A 2 0 B 0 6 代入cbxxy 2 2 1 得 6 022 c cb 解得 6 4 c
15、 b 这个二次函数的解析式为64 2 1 2 xxy 2 该抛物线对称轴为直线4 2 1 2 4 x 点 C 的坐标为 4 0 224 OAOCAC 662 2 1 2 1 OBACS ABC 高清课程名称 二次函数与中考 高清 ID 号 359069 关联的位置名称 播放点名称 经典例题 2 变式变式 2 2 如图 在平面直角坐标系中 直线y 3x 3 与x轴交于点 A 与y轴交于点 C 抛物线 y x2 bx c经过 A C 两点 且与x轴交于另一点 B 点 B 在点 A 右侧 1 求抛物线的解析式及点 B 坐标 2 若点 M 是线段 BC 上一动点 过点 M 的直线 EF 平行 y 轴交
16、x轴于点 F 交抛物线于点 E 求 ME 长 的最大值 3 试探究当 ME 取最大值时 在抛物线 x 轴下方是否存在点 P 使以 M F B P 为顶点的四边形是 平行四边形 若存在 请求出点 P 的坐标 若不存在 试说明理由 答案 解 1 当 y 0 时 3x 3 0 x 1 A 1 0 当 x 0 时 y 3 C 0 3 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 1 0 3 bc c 2 3 b c 抛物线的解析式是 y x2 2x 3 当 y 0 时 x2 2x 3 0 解得 x1 1 x2 3 B 3 0 2 由 1 知 B 3 0 C 0 3 直线 BC 的解析式是 y x 3 设 M x x 3 0 x 3 则 E x x2 2x 3 ME x 3 x2 2x 3 x2 3x x 2 3 2 9 4 当 x 时 ME 的最大值为 3 2 9 4 3 答 不存在 由 2 知 ME 取最大值时 ME E M 9 4 3 2 15 4 3 2 3 2 MF BF OB OF 3 2 3 2 设在抛物线 x 轴下方存在点 P 使以 P
