数学中考总复习：图形的变换--知识讲解（提高）

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1、选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 中考总复习 图形的变换中考总复习 图形的变换 知识讲解 提高 知识讲解 提高 考纲要求 考纲要求 1 通过具体实例认识轴对称 平移 旋转 探索它们的基本性质 2 能够按要求作出简单平面图形经过轴对称 平移 旋转后的图形 能作出简单平面图形经过一次或 两次轴对称后的图形 3 探索基本图形 等腰三角形 矩形 菱形 等腰梯形 正多边形 圆 的轴对称性质及其相关性 质 4 探索图形之间的变换关系 轴对称 平移 旋转及其组合 5 利用轴对称 平移 旋转及其组合进行图案设计 认识和欣赏轴对称 平移 旋转在现实生活中的

2、 应用 知识网络 知识网络 考点梳理 考点梳理 考点一 平移变换考点一 平移变换 1 1 平移的概念 平移的概念 在平面内 将一个图形沿某个方向移动一定的距离 这样的图形运动称为 平移 平移不改变图形的形状和大小 要点诠释 要点诠释 1 平移是运动的一种形式 是图形变换的一种 本讲的平移是指平面图形在同一平面内 的变换 2 图形的平移有两个要素 一是图形平移的方向 二是图形平移的距离 这两个要素是 图形平移的依据 3 图形的平移是指图形整体的平移 经过平移后的图形 与原图形相比 只改变了位 置 而不改变图形的大小 这个特征是得出图形平移的基本性质的依据 2 2 平移的基本性质 平移的基本性质

3、由平移的概念知 经过平移 图形上的每一个点都沿同一个方向移动 相同的距离 平移不改变图形的形状和大小 因此平移具有下列性质 经过平移 对应点 所连的线段平行且相等 对应角相等 要点诠释 要点诠释 1 要注意正确找出 对应线段 对应角 从而正确表达基本性质的特征 2 对应点所连的线段平行且相等 这个基本性质既可作为平移图形之间的性质 又可作为平移作图的依据 考点二 轴对称变换考点二 轴对称变换 1 1 轴对称与轴对称图形 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于 这条直线对称 也叫做这两个图形成轴对称 这条直线叫做对称轴

4、折叠后重合的对应点 叫做对称 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 点 轴对称图形 轴对称图形 把一个图形沿着某一条直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形叫做轴对 称图形 2 2 轴对称变换的性质 轴对称变换的性质 关于直线对称的两个图形是全等图形 如果两个图形关于某直线对称 对称轴是对应点连线的垂直平分线 两个图形关于某直线对称 如果它们对应线段或延长线相交 那么交点在对称轴上 如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分 那么这两个图形关于这条直线对称 3 3 轴对称作图步骤 轴对称作图步骤 找出已知图形的关键点 过关键点作对称轴的

5、垂线 并延长至 2 倍 得到各点的对称点 按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形 翻折变换 翻折变换 图形翻折问题是近年来中考的一个热点 其实质是轴对称问题 折叠重合部分必全 等 折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴 互相重合的两点 对称点 连线必被折痕垂直平分 要点诠释 要点诠释 翻折的规律是 折叠部分的图形 折叠前后 关于折痕成轴对称 两图形全等 折叠图 形中有相似三角形 常用勾股定理 考点三 旋转变换考点三 旋转变换 1 1 旋转概念 旋转概念 把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转 点 O 叫做旋转中心 转动 的角叫做旋转角 旋转变换的性质 旋转变换的性质 图形

6、通过旋转 图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度 任意一对对 应点与旋转中心的连线都是旋转角 对应点到旋转中心的距离相等 对应线段相等 对应角相等 旋 转过程中 图形的形状 大小都没有发生变化 旋转作图步骤 旋转作图步骤 分析题目要求 找出旋转中心 确定旋转角 分析所作图形 找出构成图形的关键点 沿一定的方向 按一定的角度 旋转各顶点和旋转中心所连线段 从而作出图形中各关键点的对 应点 按原图形连结方式顺次连结各对应点 要点诠释 要点诠释 图形变换与图案设计的基本步骤 图形变换与图案设计的基本步骤 确定图案的设计主题及要求 分析设计图案所给定的基本图案 利用平移 旋转 轴对

7、称对基本图案进行变换 实现由基本图案到各部分图案的有机组合 对图案进行修饰 完成图案 2 2 平移 旋转和轴对称之间的联系 平移 旋转和轴对称之间的联系 一个图形沿两条平行直线翻折 轴对称 两次相当于一次平移 沿不平行的两条直线翻折两次相 当于一次旋转 其旋转角等于两直线交角的 2 倍 典型例题 典型例题 类型一 平移变换类型一 平移变换 1 如图 将矩形 ABCD 沿对角线 AC 剪开 再把 ACD 沿 CA 方向平移得到 A C D 1 证明 A AD CC B 2 若 ACB 30 试问当点 C 在线段 AC 上的什么位置时 四边形 ABC D 是菱形 并请说明理 选师无忧 达分课 15

8、 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 由 思路点拨 1 根据已知利用 SAS 判定 A AD CC B 2 由已知可推出四边形 ABC D 是平行四边形 只要再证明一组邻边相等即可确定四边形 ABC D 是菱形 由已知可得到 BC 1 2 AC AB 1 2 AC 从而得到 AB BC 所以四边形 ABC D 是菱形 答案与解析 1 证明 四边形 ABCD 是矩形 A C D 由 ACD 平移得到 A D AD CB AA CC A D AD BC D A C BCA A AD CC B 2 解 当点 C 是线段 AC 的中点时 四边形 ABC D 是菱形 理由如

9、下 四边形 ABCD 是矩形 A C D 由 ACD 平移得到 C D CD AB 由 1 知 AD C B 四边形 ABC D 是平行四边形 在 Rt ABC 中 点 C 是线段 AC 的中点 BC 1 2 AC 而 ACB 30 AB 1 2 AC AB BC 四边形 ABC D 是菱形 总结升华 本题考查了平移的性质特点以及全等的判定和菱形的判定 注意对这两个判定定理的准 确掌握 考查学生综合运用数学的能力 2 操作与探究 1 对数轴上的点 P 进行如下操作 先把点 P 表示的数乘以 1 3 再把所得数对应的点向右平移 1 个单 位 得到点 P 的对应点 P 点 A B 在数轴上 对线段

10、 AB 上的每个点进行上述操作后得到线段 A B 其中点 A B 的对应点分别为 A B 如图 1 若点 A 表示的数是 3 则点 A 表示的数是 若点 B 表示的数是 2 则点 B 表示的数是 已知线段 AB 上的点 E 经过上述操作后得 到的对应点 E 与点 E 重合 则点 E 表示的数是 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 2 如图 2 在平面直角坐标系 xOy 中 对正方形 ABCD 及其内部的每个点进行如下操作 把每个点的 横 纵坐标都乘以同一个实数 a 将得到的点先向右平移 m 个单位 再向上平移 n 个单位 m 0 n 0 得

11、到正方形 A B C D 及其内部的点 其中点 A B 的对应点分别为 A B 已知正方形 ABCD 内部的一个点 F 经过上述操作后得到的对应点 F 与点 F 重合 求点 F 的坐标 思路点拨 1 根据题目规定 以及数轴上的数向右平移用加计算即可求出点 A 设点 B 表示的数 为 a 根据题意列出方程求解即可得到点 B 表示的数 设点 E 表示的数为 b 根据题意列出方程计算即 可得解 2 先根据向上平移横坐标不变 纵坐标加 向右平移横坐标加 纵坐标不变求出平移规律 然后设 点 F 的坐标为 x y 根据平移规律列出方程组求解即可 答案与解析 1 点 A 3 1 3 1 1 1 0 设点 B

12、 表示的数为 a 则 1 3 a 1 2 解得 a 3 设点 E 表示的数为 b 则 1 3 b 1 b 解得 b 3 2 故答案为 0 3 3 2 2 根据题意得 31 32 02 am am an g 解得 1 2 1 2 2 a m n 设点 F 的坐标为 x y 对应点 F 与点 F 重合 1 2 x 1 2 x 1 2 y 2 y 解得 x 1 y 4 所以 点 F 的坐标为 1 4 总结升华 耐心细致的读懂题目信息是解答本题的关键 举一反三 举一反三 变式变式 如图 若将边长为cm2的两个互相重合的正方形纸片沿对角线AC翻折成等腰直角三角形 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业

13、选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 后 再抽出一个等腰直角三角形沿AC移动 若重叠部分PCA 的面积是 2 1cm 则移动的距离 AA 等于 答案 根据题意得 AB A B BC B C A PC B 90 A CA P ACP 45 A PC 是等腰直角三角形 A PC 的面积是 1cm2 S A PC 1 2 A P PC 1 cm2 A P PC 2cm A C 2cm 由于原等腰直角三角形的斜边是 22cm 所以平移的距离是 22 2 cm 类型二 轴对称变换类型二 轴对称变换 3 已知矩形纸片ABCD AB 2 AD 1 将纸片折叠 使顶点A与边CD上的点E重合 1 如

14、果折痕FG分别与AD AB交与点F G 如图1 2 3 AF 求DE的长 2 如果折痕FG分别与CD AB交与点F G 如图2 AED的外接圆与直线BC相切 求 折痕FG的长 思路点拨 本题涉及到的知识点有翻折变换 折叠问题 矩形的性质 直线与圆的位置关系 答案与解析 1 在矩形 ABCD 中 AB 2 AD 1 AF 2 3 D 90 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 根据轴对称的性质 得 EF AF 2 3 DF AD AF 1 3 在 Rt DEF 中 DE 22 213 333 2 设 AE 与 FG 交于 O 取 AD 的中点

15、M 连结并延长 MO 交 BC 于 N 由轴对称的性质得 AO EO MN DE MO DE D 90 AD BC 四边形 MNCD 是矩形 MN CD AB 2 设 DE x 则 ON 2 x AED 的外接圆与 BC 相切 ON 是 AED 的外接圆的半径 OE ON 2 x AE 2ON 4 x 在 Rt AED 中 AD2 DE2 AE2 12 x2 4 x 2 解得 x 15 8 DE 15 8 OE 2 1 2x 17 16 由轴对称的性质得 AE FG FOE D 90 又 OEF DEA FEO AED FOOE ADDE 把 OE 17 16 DE 15 8 AD 2 代入解

16、得 FO 17 30 易证 FEO GAO FO GO FG 2FO 17 15 即折痕 FG 的长是 17 15 总结升华 本题通过矩形纸片折叠 利用轴对称图形的性质 在丰富的图形关系中 考查学生获取 信息和利用所得信息认识新事物的能力 本题对图形折叠前后的不变量的把握 直线与圆位置关系的 准确理解 方程思想的运用意识和策略等具有可再抽象性 举一反三 举一反三 变式变式 如图所示 有一块面积为 1 的正方形纸片 ABCD M N 分别为 AD BC 的边上中点 将 C 点折 至 MN 上 落在 P 点的位置 折痕为 BQ 连接 PQ 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 1 求 MP 的长 2 求证 以 PQ 为边长的正方形的面积等于 1 3 答案 1 解 连接 BP PC 由折法知点 P 是点 C 关于折痕 BQ 的对称点 BQ 垂直平分 PC BC BP 又 M N 分别为 AD BC 边上的中点 且四边形 ABCD 是正方形 BP PC BC BP PC PBC 是等边三角形 PN BC 于 N BN NC 1 2 BC 1