数学中考总复习：勾股定理及其逆定理--知识讲解（提高）

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1、选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 中考总复习 勾股定理及其逆定理 提高 中考总复习 勾股定理及其逆定理 提高 考纲要求 考纲要求 1 了解勾股定理的历史 掌握勾股定理的证明方法 2 理解并掌握勾股定理及逆定理的内容 3 能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题 4 加强知识间的内在联系 用方程思想解决几何问题 以体现代数与几何之间的内在联系 知识网络 知识网络 考点梳理 考点梳理 知识点一 勾股定理知识点一 勾股定理 1 1 勾股定理 勾股定理 直角三角形两直角边ab 的平方和等于斜边c的平方 即 222 abc 要点诠释 要点诠释 勾股

2、定理也叫商高定理 在西方称为毕达哥拉斯定理 我国古代把直角三角形中较短的 直角边称为勾 较长的直角边称为股 斜边称为弦 早在三千多年前 周朝数学家商高就提出了 勾 三 股四 弦五 形式的勾股定理 后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为 两直角 边的平方和等于斜边的平方 2 2 勾股定理的证明 勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多 常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后 只要没有重叠 没有空隙 面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法 列出等式 推导出勾股定理 3 3 勾股定理的应用勾股定理的应用 勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系 是直

3、角三角形的重要性质之一 其主要应用是 已知直角三角形的任意两边长 求第三边 在ABC 中 90C 则 22 cab 22 bca 22 acb 知道直角三角形一边 可得另外两边之间的数量关系 可运用勾股定理解决一些实际问题 知识点二 勾股定理的逆定理知识点二 勾股定理的逆定理 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 1 1 原命题与逆命题原命题与逆命题 如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设 这样的两个命题叫做互逆命题 如果 把其中一个叫做原命题 那么另一个叫做它的逆命题 2 2 勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理

4、 如果三角形的三边长abc 满足 222 abc 那么这个三角形是直角三角 形 要点诠释 要点诠释 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法 它通过 数 转化为形 来确定三角形的可能形状 在运用这一定理时 可用两小边的平方和 22 ab 与较长边的平 方 2 c作比较 若它们相等时 以a b c为三边的三角形是直角三角形 若 222 abc 时 以a b c为三边的三角形是钝角三角形 若 222 abc 时 以a b c为三边的三角形是锐角三角 形 定理中a b c及 222 abc 只是一种表现形式 不可认为是唯一的 如若三角形三边长a b c满足 222 acb 那么

5、以a b c为三边的三角形是直角三角形 但是b为斜边 勾股定理的逆定理在用问题描述时 不能说成 当斜边的平方等于两条直角边的平方和时 这个 三角形是直角三角形 3 3 勾股数勾股数 能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数 即 222 abc 中 a b c为正整数时 称a b c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度 如3 4 5 6 8 10 5 12 13 7 24 25等 用含字母的代数式表示n组勾股数 22 1 2 1nn n 2 n n为正整数 22 21 22 221nnnnn n为正整数 2222 2 mnmn mn mn m n为正整数 知识点三 勾股定理与勾

6、股定理逆定理的区别与联系知识点三 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系 1 1 区别 区别 勾股定理是直角三角形的性质定理 能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三 角形中线段之间的关系的证明问题 在使用勾股定理时 必须把握直角三角形的前提条件 了解直角 三角形中 斜边和直角边各是什么 以便运用勾股定理进行计算 应设法添加辅助线 通常作垂线 构造直角三角形 以便正确使用勾股定理进行求解 而其逆定理是判定定理 能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角 形 在具体推算过程中 应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较 切不可不加思考的用两边的 平方和与第三边的平方比

7、较而得到错误的结论 2 2 联系联系 勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反 两者互为逆定理 都与直角三角形有关 在解决 一些实际问题或具体的几何问题中 是密不可分的一个整体 通常既要通过逆定理判定一个三角形是 直角三角形 又要用勾股定理求出边的长度 二者相辅相成 完成对问题的解决 典型例题 典型例题 类型一 勾股定理及其逆定理的应用类型一 勾股定理及其逆定理的应用 1 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理 创制了一幅 弦图 后人称其为 赵爽弦图 如 图 1 图 2 由弦图变化得到 它是由八个全等的直角三角形拼接而成 记图中正方形 ABCD 正方形 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平

8、台 免费咨询热线 400 612 5351 EFGH 正方形 MNKT 的面积分别为 S1 S2 S3 若 S1 S2 S3 10 则 S2的值是 思路点拨 根据图形的特征得出线段之间的关系 进而利用勾股定理求出各边之间的关系 从而得出 答案 答案与解析 图中正方形 ABCD 正方形 EFGH 正方形 MNKT 的面积分别为 S1 S2 S3 CG NG CF DG NF S1 CG DG 2 CG 2 DG 2 2CG DG GF 2 2CG DG S2 GF 2 S3 NG NF 2 NG 2 NF 2 2NG NF S1 S2 S3 10 GF 2 2CG DG GF 2 NG 2 NF

9、 2 2NG NF 3GF 2 S2 10 3 总结升华 此题主要考查了勾股定理的应用 根据已知得出 S1 S2 S3 10 GF 2 2CG DG GF 2 NG 2 NF 2 2NG NF 3GF 2是解决问题的关键 变式变式 若 ABC 三边 a b c 满足 a b c 338 10a 24b 26c ABC 是直角三角形吗 为什么 答案 a b c 338 10a 24b 26c a b c 338 10a 24b 26c 0 a 10a 25 b 24b 144 c 26c 169 0 即 a 5 b 12 c 13 又 a b c 169 ABC 是直角三角形 选师无忧 达分课

10、15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 2 2014 秋 黄梅县校级期中 如图 AB AC AE AF BAC EAF 90 BE CF 交于 M 连 AM 1 求证 BE CF 2 求证 BE CF 3 求 AMC 的度数 思路点拨 1 求出 BAE CAF 根据 SAS 推出 CAF BAE 即可 2 根据全等得出 ABE ACF 求出 ABO BOA COM ACF 90 求出 CMO 90 即可 3 作 AG BE 于 G AH CF 于 H 证全等得出 AG AH 得出正方形 求出 AMG 即可求出答案 答案与解析 证明 1 BAC EAF 90 BA

11、C CAE FAE CAE BAE CAF 在 CAF 和 BAE 中 CAF BAE BE CF 2 证明 CAF BAE ABE ACF BAC 90 ABO BOA 90 BOA COM COM ACF 90 CMO 180 90 90 BE CF 3 解 过点 A 分别作 AG BE 于 G AH CF 于 H 则 AGB AHC 90 在 AGB 和 AHC 中 AGB AHC AG AH AG BE AH FC BE CF 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 AGM GMH AHM 90 四边形 AHMG 是正方形 GMH 90

12、 AMG HMG 45 AMC 90 45 135 总结升华 本题考查了全等三角形的性质和判定 正方形的性质和判定的应用 主要考查学生的推 理能力 举一反三 举一反三 变式变式 如图 ABC 中 有一点 P 在 AC 上移动 若 AB AC 5 BC 6 则 AP BP CP 的最小值为 A 8 B 8 8 C 9 8 D 10 答案 C 类型二 勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用类型二 勾股定理及其逆定理与其他知识的结合应用 高清课堂 勾股定理及其逆定理 高清课堂 勾股定理及其逆定理 例例 7 7 3 2015 春 沛县期中 1 如图 正方形 ABCD 中 点 E F 分别在边 BC C

13、D 上 EFA 45 延长 CD 到点 C 使 DG BE 连结 EF AG 求证 EF FG 2 如图 在 ABC 中 BAC 90 点 M N 在边 BC 上 且 MAN 45 若 BM 2 AB AC CN 3 求 MN 的长 思路点拨 1 欲证明 EF FG 只需证得 FAE GAF 利用该全等三角形的对应边相等证得结论 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 2 过点 C 作 CE BC 垂足为点 C 截取 CE 使 CE BM 连接 AE EN 通过证明 ABM ACE SAS 推知全等三角形的对应边 AM AE 对应角 BAM C

14、AE 然后由等腰直角三角形的性质和 MAN 45 得到 MAN EAN 45 所以 MAN EAN SAS 故全等三角形的对应边 MN EN 最后由 勾股定理得到 EN2 EC2 NC2即 MN2 BM2 NC2 答案与解析 1 证明 在正方形 ABCD 中 ABE ADG AD AB 在 ABE 和 ADG 中 ABE ADG SAS BAE DAG AE AG EAG 90 在 FAE 和 GAF 中 FAE GAF SAS EF FG 2 解 如图 过点 C 作 CE BC 垂足为点 C 截取 CE 使 CE BM 连接 AE EN AB AC BAC 90 B ACB 45 CE BC

15、 ACE B 45 在 ABM 和 ACE 中 ABM ACE SAS AM AE BAM CAE BAC 90 MAN 45 BAM CAN 45 于是 由 BAM CAE 得 MAN EAN 45 在 MAN 和 EAN 中 MAN EAN SAS MN EN 在 Rt ENC 中 由勾股定理 得 EN2 EC2 NC2 MN2 BM2 NC2 BM 1 CN 3 MN2 12 32 MN 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业选师平台 免费咨询热线 400 612 5351 总结升华 本题考查了全等三角形的判定和性质 勾股定理的运用 等腰直角三角形的性质 题目 的综合性较强 解题的关键

16、是正确的作出辅助线构造全等三角形 4 2011 黑龙江大庆 如图 ABCD 是一张边 AB 长为 2 边 AD 长为 1 的矩形纸片 沿过点 B 的折 痕将 A 角翻折 使得点 A 落在边 CD 上的点 A 处 折痕交边 AD 于点 E 1 求 DA E 的大小 2 求 A BE 的面积 思路点拨 1 先根据图形翻折变换的性质得出 Rt ABE Rt A BE 再根据直角三角形的性质可得出 DA E 的度数 2 设 AE x 则 ED 1 x A E x 在 Rt A DE 中 利用 sin DA E 可求出 x 的值 在根据 Rt A BE 中 A B AB 利用三角形的面积公式即可求解 答案与解析 1 A BE 是 ABE 翻折而成 Rt ABE Rt A BE 在 Rt A BC 中 A B 2 BC 1 得 BA C 30 又 BA E 90 DA E 60 2 解法 1 设 AE x 则 ED 1 x A E x 在 Rt A DE 中 sin DA E 即 得 x 4 23 在 Rt A BE 中 A E 4 23 A B AB 2 选师无忧 达分课 15 年教育品牌 专业