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1、第二章轴向拉伸和压缩 2 1概述 工程上有一些直杆 在外力作用下 其主要变形是沿轴线方向的伸长或缩短 这种变形称为轴向拉伸或轴向压缩 外力特点 外力合力作用线与杆轴线重合 变形特点 沿杆轴线方向伸长或缩短 同时横向尺寸缩小或增大 轴向拉伸 轴向压缩 轴向拉伸或压缩杆件的内力 1 轴力用FN表示 单位为N kN 2 符号规定 轴力方向与截面外法线方向一致时为拉力 相反时为压力 即拉力为正 压力为负 3 计算方法 截面法 作下面杆件的轴力图 2 2拉压杆件横截面上的正应力 超静定问题 由变形关系 物理关系 静力平衡条件求解 一 正应力公式 1 几何变形关系 平面假设 变形前为平面的横截面变形后仍为
2、平面 并且仍垂直于轴线 各横截面间只产生相对平移 从而各纵向纤维的线应变相等 c2 故横截面上任一点正应力计算公式为 2 物理关系 线弹性变形 力与变形成正比 3 静力学关系 正应力公式说明 1 正应力的正负号由轴力决定 拉为正 压为负 2 正应力与材料无关 与截面形状无关 3 对横截面沿杆轴线缓慢连续变化的变截面杆 也可用该式近似计算 由弹性力学可知 等直杆 为0 变截面杆 不为0 但截面变化不剧烈时 较小 可忽略不计 当作用于弹性体表面某一小区域上的力系被另一静力等效的力系所代替时 对该区域及其附近区域的应力和应变有显著的影响 而对远处的影响很小 可忽略不计 二 圣文南原理 例图示三角吊架
3、 所吊物重为F 18 4kN AB杆直径d 15mm 求AB杆横截面上的应力 FN FAB 18 4kN 拉力 问题 当吊点在BC杆上变化时 AB杆的应力是否有变化 当吊点在什么位置时AB杆的应力为最大 解 例图示矩形截面杆 b 20mm h 40mm 杆内有一直径为d 10mm的圆孔 当杆受到F 30kN的力拉伸时 杆的哪个横截面上的正应力最大 数值等于多少 解在截面m m上 净横截面最小 但因各截面轴力相同 故该截面上的平均正应力最大 杆的最大正应力为 m m截面 例变截面钢杆如图 已知F1 20kN F2 30kN F3 45kN l1 l3 300mm l2 400mm d1 15mm
4、 d2 30mm 求 1 杆的轴力图 2 杆内的最大正应力 解 1 用截面法求控制截面的轴力 然后画出轴力图 2 求 max CD AB 故杆内的最大正应力发生在AB段 max 113 2MPa 2 3应力集中的概念 在截面突变处的局部范围内 应力值明显增大的现象称为应力集中 stressconcentration 应力集中与缺陷形状 大小有关 圆角缺陷比尖角的 小 应力集中系数 max 0 2 4拉压杆件的变形 一 轴向变形胡克定律 拉 压 杆件在轴向力作用下 轴向和横向均会产生变形 原长为l的杆件在轴向力作用下轴向伸长 l 在线弹性范围内 令 E 拉伸 或压缩 弹性模量 是一个材料参数 由
5、实验确定 钢材 E 200GPa 为190 220GPa EA 杆的拉伸 压缩 刚度 注意 该公式适用于E A FN在杆长l范围内不变 如果E A FN是l的函数 如何计算 l 线应变 单向拉压的胡克定律 线应变在实验中可由电阻应变片连通应变仪而测得 例一木柱受力如图 柱的横截面为边长200mm的正方形 材料服从胡克定律 弹性模量E 10GPa 如不计柱的自重 试求木柱顶端A截面的位移 例试求图示等截面直杆由自重引起的最大正应力以及杆的轴向总变形 该杆横截面面积A 材料密度r 弹性模量E均为已知 解 1 杆内最大正应力 自重的简化 x截面的轴力 杆底部截面轴力绝对值最大 x截面的应力 杆底部截
6、面应力绝对值最大 轴力 应力沿杆轴线变化图 2 杆的变形 由于杆各横截面上的轴力均不同 应取微段积分 取微段dx 杆的总变形为 为压缩变形 其变形为 例图示杆系由两根钢件1和2组成 已知杆端铰接 两杆与铅垂线均成 30 角 长为L 2m 直径d 25mm 弹模E 2 1 105MPa 设在结点A处悬挂一重物 其重F 100kN 试求结点A的位移 A 解 由 Xi 0 FN1 FN2 l1 l2 FN1L EA FL 2EAcos 其中 A 4d2 Yi 0 FN1cos FN2cos F 0 FN1 FN2 F 2cos A B C 1 2 A l1 l2 FL 2EAcos 例变截面钢杆如图
7、 已知F1 20kN F2 30kN F3 45kN l1 l3 300mm l2 400mm d1 15mm d2 30mm 若已知E 210GPa 求 1 杆AD的总变形 lAD 2 B截面的轴向位移 3 最大线应变 max 二 横向应变 横向应变 由实验可知 在弹性范围内 或 v 泊松比 材料特性 0 v 0 5 思考 单向拉压时 杆件的体积是否会变化 例矩形截面杆 长1 5m 截面尺寸为50 100mm2 受到100kN的轴向拉力作用 由实验方法测得杆伸长0 15mm 截面的长边缩短0 003mm 试求该杆材料的弹性模量E和泊松比v 解 弹性模量 泊松比 常温常压 静载下材料可分为 塑
8、性材料 破坏时有明显变形 如金属材料 5 脆性材料 破坏时变形很小 如砼 铸铁 砖石 5 但在寒冷的天气里 塑性材料也会呈现出脆性性质 如铁轨冻裂 2 5拉伸和压缩时材料的力学性质 材料力学性质指受外力作用后在强度和变形方面表现出的特性 与材料成分 组织结构 以及受力状态 温度 加载速度等有关 一 拉伸时材料的力学性质 d 试件的直径 l 标距 1 低碳钢的拉伸试验 标准试件 圆截面l 10d或l 5d 两种截面标距与横截面开根号比相同 试验 均匀 连续 平稳加载电子万能试验机 可自动绘出F l曲线并可直接得到 曲线 1 拉伸过程中的各个阶段及特性点 弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 破坏阶段 弹
9、性阶段 该范围变形是弹性的 可恢复 上限为弹性极限 e e与 p非常接近 工程上一般不加以区分 常用 p 材料参数弹性模量E可由这一段求出 其中有一段应力应变成线性 服从胡克定律 上限为比例极限 p O 屈服阶段 应力不增加或产生波动 变形急剧增加 试件表面出现45o滑移线 取屈服下限为屈服极限 s O p e b a 强化阶段 屈服阶段过后 试件抵抗变形的能力有所恢复 其上限称为强度极限 b 破坏阶段 试件达到强度极限后 试件产生 颈缩 现象 最后被拉断 O p e b a c s 颈缩区内 虽然外力在减少 但由于横截面被削弱 颈缩区内的应力在增加 其应力 应变曲线为 2 材料的塑性指标 延
10、伸率 截面收缩率 延伸率 5 塑性材料 延伸率 5 脆性材料 建筑用钢材 22 10 3 应变硬化现象 在强化阶段卸载后又重新加载 材料强化 a 强化后比例极限提高 b 强化后塑性变形减少 o D l F C 2 其它塑性材料拉伸时的力学性质 延伸率 比较大 5 有些塑性材料并没有明显的屈服阶段 如黄铜 合金铝 35CrMnSi钢等 对于没有明显屈服阶段的塑性材料 通常以产生0 2 的塑性应变时的应力作为屈服极限 称为条件屈服极限 offsetyieldstress 或称为规定非比例伸长应力 用 0 2表示 如图 也有用 0 5 0 01作为屈服极限 s 3 铸铁的拉伸实验 1 曲线是一条微弯
11、曲线 可用割线代替 并认为服从胡克定律 由此确定弹性模量 3 没有屈服阶段和 颈缩 现象 出现突然断裂 如铸铁这类的脆性材料 抗拉强度很低 不宜受拉 砼大坝 控制拉应力 2 变形很小 拉断时的应变只有 0 4 0 5 二 压缩时材料的力学性质 圆柱体 l 1 5 3 0 d 1 低碳钢的压缩试验 为避免试件在压缩时发生弯曲 采用短粗试件 E p s均与拉伸时取相同的值 得不到强度极限 2 铸铁的压缩试验 无线性关系 近似服从胡克定律 没有屈服阶段 s不存在 破坏时 断口与轴线成45 55 发生错动 切应力过大 3 混凝土的压缩试验 抗压强度与试验方法有关 OA段 当荷载较小时 应力 应变接近直
12、线 增大荷载 应力 应变关系为一曲线 最后得到 b AC段 变形增大 仍能承受压力 软化 压缩 4 木材的压缩试验 顺纹向比横纹向 b大得多 同载同截面条件下 顺纹向压缩时的变形比横纹向小得多 三 塑性材料和脆性材料的比较 1 强度方面 塑性材料拉伸时的 b比脆性材料高 2 变形方面 塑性材料的变形大 脆性材料的变形小 3 对应力集中的反映不同 应力集中时对塑性材料影不大 对脆性材料影响较大 塑性材料吸收的能量多 受冲击能力好 脆性材料吸收的能量少 受冲击能力不好 2 6几种新材料的力学性质简介 一 复合材料 复合材料 两种或两种以上互不相溶 熔 的材料通过一定的方式组合成的一种新型材料 复合
13、材料具有极明显的各向异性 在平行于纤维的方向 增强 效应明显 而在垂直于纤维的方向则不显著 如玻璃钢 加纤混凝土等 复合材料的弹性模量不仅与基体和纤维材料的弹性模量有关 而且与这两种材料的体积比有关 复合材料沿纤维方向的弹性模量可由并联模型得到 Ef 纤维材料的弹模 Em 基本材料的弹模 Vf 纤维材料的体积与总体积之比 弹模E EfVf Em 1 Vf 如玻璃钢 拉断前应力 应变基本上是线弹性关系 二 粘弹性材料 f t f t 粘弹性 应力 应变关系与时间有关的性质 高分子材料 聚合物 如橡胶 塑料 化纤 粘接剂等 线性粘弹性 粘弹性 应力不变时 应变随时间的增加而增加 蠕变 应变不变时
14、应力随时间的增加而减少 松弛 2 7拉压杆件的强度计算 一 容许应力和安全因数 考虑安全因数的原因主要有 1 计算荷载难以估计准确 因而杆件中实际产生的最大工作应力可能超过计算出的数值 2 计算时所作的简化难以完全符合实际情况 3 实际的材料不像标准试件那样质地均匀 因此 实际的极限应力往往小于试验所得的结果 4 其它因素 如杆件的尺寸制造不准确 加工过程中杆件受到损伤 杆件长期使用受到磨损或材料受到腐蚀等等 安全因数的确定还与结构的重要性 荷载的情况及材料的性质有关 容许正应力 u 极限应力 通常对静荷载问题 脆性材料一般取n 2 0 5 0 安全因数 safetyfactor n n 1
15、Q235钢 b 350MPa s 235MPa 170MPa 二 强度条件和强度计算 等直杆 强度条件 强度计算 1 校核强度 2 设计截面 3 求容许荷载 例用两根钢索吊起一扇平面闸门 已知闸门的启门力共为60kN 钢索材料的容许拉应力 t 160MPa 求钢索所需的最小直径d d 15 5mm 例一墙体的剖面如图所示 墙体顶部受均布荷载q作用 已知墙体材料的容许压应力 c q 1 2MPa 重度rg 16kN m3 地基的容许压应力 c d 0 5MPa 试求容许荷载 q 及下段墙的厚度 q 443 8kN m b 0 97m 例如图所示的结构由两根杆组成 AC杆的截面面积为450mm2
16、BC杆的截面面积为250mm2 设两杆材料相同 容许拉应力均为 100MPa 求容许荷载 F F 48 36kN 2 8拉压超静定问题 静定问题 约束反力或杆的内力 轴力 均可由静力学的平衡方程求出的问题 超静定问题 静不定问题 约束反力或杆的内力仅用静力学的平衡方程不能求出的问题 这种结构称为超静定结构 静不定结构 解超静定结构必须综合考虑静力学平衡条件 物理条件和变形协调条件 在超静定结构中 未知力 杆的内力或约束反力 的个数多于平衡方程的数目 两者的差值称为超静定次数 虽然多余约束 redundantconstraint 对于维持结构的平衡是多余的 但有利于提高结构的强度和刚度 例两端固定的直杆AB 在C截面处受一集中力F作用 如图所示 设杆的截面面积为A 材料的弹性模量为E 求杆的轴力 FA FB F 0 解 1 平衡方程 2 判断超静定次数 这是一次超静定问题 3 列变形几何方程 求解 DlAC DlBC 0 由 3 得补充方程 代入平衡方程 从而 假想解除B端的约束 代以约束反力FB 变形几何方程为 DB DlAC DlBC 0 变超静定为静定问题 例一刚性杆AB右端用铰链
