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1、 实例 某商店卖两种牌子的果汁 本地牌子每瓶进价1元 外地牌子每瓶进价1 2元 店主估计 如果本地牌子的每瓶卖元 外地牌子的每瓶卖元 则每天可卖出瓶本地牌子的果汁 瓶外地牌子的果汁问 店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益 每天的收益为 求最大收益即为求二元函数的最大值 一 问题的提出 二 多元函数的极值和最值 A B C D z f x y f在顶点A B C D处有极大值 多元函数的极值 A B C D z f x y f在点D处有极大值 D是尖点 多元函数的极值 1 二元函数极值的定义 1 2 3 例1 例 例 2 多元函数取得极值的条件 仿照一元函数 凡能使一阶偏导数同时为零
2、的点 均称为函数的驻点 驻点 极值点 问题 如何判定一个驻点是否为极值点 注意 例3 求函数 解 第一步求驻点 得驻点 1 0 1 2 3 0 3 2 第二步判别 在点 1 0 处 为极小值 解方程组 的极值 求二阶偏导数 在点 3 0 处 不是极值 在点 3 2 处 为极大值 在点 1 2 处 不是极值 解 求最值的一般方法 将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较 其中最大者即为最大值 最小者即为最小值 与一元函数相类似 我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值 3 多元函数的最值 解 如图 解 由 无条件极值 对自变量除了限制在定义域内外 并无其他条件
3、 实例 小王有200元钱 他决定用来购买两种急需物品 计算机磁盘和录音磁带 设他购买张磁盘 盒录音磁带达到最佳效果 效果函数为 设每张磁盘8元 每盒磁带10元 问他如何分配这200元以达到最佳效果 问题的实质 求在条件下的极值点 三 条件极值拉格朗日乘数法 条件极值 对自变量有附加条件的极值 解 则 解 可得 即 多元函数的极值 拉格朗日乘数法 取得极值的必要条件 充分条件 多元函数的最值 四 小结 思考题 思考题解答 练习题 练习题答案 已知平面上两定点A 1 3 B 4 2 试在椭圆 圆周上求一点C 使 ABC面积S 最大 解答提示 设C点坐标为 x y 思考与练习 则 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知 点C与E重合时 三角形 面积最大 备用题1 求半径为R的圆的内接三角形中面积最大者 解 设内接三角形各边所对的圆心角为x y z 则 它们所对应的三个三角形面积分别为 设拉氏函数 解方程组 得 故圆内接正三角形面积最大 最大面积为
