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1、2020中考数学 专题六：四边形有关的计算与证明（2017浙江宁波第24题）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解：如图，将矩形的四边、分别延长至、，使得，连接，.(1) 求证：四边形为平行四边形；(2) 若矩形是边长为1的正方形，且，求的长.【答案】（1）证明见解析；（2）2【解析】试题分析：（1）易证AH=CF，结合已知条件由勾股定理可得EH=FG，同理可得EF=GH，从而得证.（2）设AE=x，则BE=x+1，由可得DH=x+1，AH=x+2,由可求出结果.试题分析：（1）在矩形ABCD中，AD=BC，BAD=BCD=90又BF
2、=DHAD+DH=BC+BF即AH=CF在RtAEH中，EH=在RtCFG中，FG=AE=CGEH=FG同理得：EF=HG四边形EFGH为平行四边形（2）在正方形ABCD中，AB=AD=1设AE=x,则BE=x+1在RtBEF中，BE=BFBF=DHDH=BE=x+1AH=AD+DH=x+2AH=2AE2+x=2xx=2即AE=2考点：1.矩形的性质；2.平行四边形的判定；3.正方形的性质；4.解直角三角形.4.（2017甘肃庆阳第26题）如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，过对角线BD中点O的直线分别交AB，CD边于点E，F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当四边形BEDF
3、是菱形时，求EF的长【答案】(1)证明见解析.（2）【解析】试题分析：（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定BOEDOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）在RtADE中，由勾股定理得出方程，解方程求出BE，由勾股定理求出BD，得出OB，再由勾股定理求出EO，即可得出EF的长（2）当四边形BEDF是菱形时，BEEF，设BE=x，则 DE=x，AE=6x，在RtADE中，DE2=AD2+AE2，x2=42+（6x）2，解得：x=，BD=，OB=BD=，BDEF，EO=，EF=2EO=考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的性质5.（2017广西吴江第26
4、题）已知，在中，是边上的一个动点，将沿所在直线折叠，使点落在点处. （1）如图1，若点是中点，连接 . 写出的长；求证：四边形是平行四边形.（2）如图2，若，过点作交的延长线于点，求的长.【答案】（1）BD=，BP= 2证明见解析；（2）【解析】试题分析：（1）分别在RtABC，RtBDC中，求出AB、BD即可解决问题；想办法证明DPBC，DP=BC即可；（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M设BD=AD=x，则CD=4x，在RtBDC中，可得x2=（4x）2+22，推出x=，推出DN=，由BDNBAM，可得，由此求出AM，由ADMAPE，可得，由此求出AE=，可得E
5、C=ACAE=4=由此即可解决问题试题解析：（1）在RtABC中，BC=2，AC=4，AB=，AD=CD=2，BD=，由翻折可知，BP=BA=2如图1中，BCD是等腰直角三角形，BDC=45，ADB=BDP=135，PDC=13545=90，BCD=PDC=90，DPBC，PD=AD=BC=2，四边形BCPD是平行四边形（2）如图2中，作DNAB于N，PEAC于E，延长BD交PA于M设BD=AD=x，则CD=4x，在RtBDC中，BD2=CD2+BC2，x2=（4x）2+22，x=，DB=DA，DNAB，BN=AN=，在RtBDN中，DN=，由BDNBAM，可得，AM=2，AP=2AM=4，由
6、ADMAPE，可得，AE=，EC=ACAE=4=，易证四边形PECH是矩形，PH=EC=考点：四边形综合题6.（2017贵州安顺第21题）如图，DBAC，且DB=AC，E是AC的中点，（1）求证：BC=DE；（2）连接AD、BE，若要使四边形DBEA是矩形，则给ABC添加什么条件，为什么？【答案】（1）证明见解析；（2）添加AB=BC【解析】试题分析：（1）要证明BC=DE，只要证四边形BCED是平行四边形通过给出的已知条件便可（2）矩形的判定方法有多种，可选择利用“对角线相等的平行四边形为矩形”来解决试题解析：（1）证明：E是AC中点，EC=ACDB=AC，DBEC 又DBEC，四边形DBC
7、E是平行四边形BC=DE （2）添加AB=BC 理由：DBAE，DB=AE四边形DBEA是平行四边形 BC=DE，AB=BC，AB=DEADBE是矩形考点：矩形的判定；平行四边形的判定与性质7.8.（2017湖南怀化第19题）如图，四边形是正方形，是等边三角形.(1)求证：；(2)求的度数.【答案】(1)证明见解析(2) 150【解析】试题分析：（1）根据正方形、等边三角形的性质，可以得到AB=BE=CE=CD，ABE=DCE=30，由此即可证明；（2）只要证明EAD=ADE=15，即可解决问题；试题解析：（1）证明：四边形ABCD是正方形，ABC是等边三角形，BA=BC=CD=BE=CE，A
8、BC=BCD=90，EBC=ECB=60，ABE=ECD=30，在ABE和DCE中，来源:学科网ABEDCE（SAS）（2）BA=BE，ABE=30，BAE=（18030）=75，BAD=90，EAD=9075=15，同理可得ADE=15，AED=1801515=150考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质9.（2017江苏无锡第21题）已知，如图，平行四边形ABCD中，E是BC边的中点，连DE并延长交AB的延长线于点F，求证：AB=BF.【答案】证明见解析.【解析】试题分析：根据线段中点的定义可得CE=BE，根据平行四边形的对边平行且相等可得ABCD，AB=CD，再根据
9、两直线平行，内错角相等可得DCB=FBE，然后利用“角边角”证明CED和BEF全等，根据全等三角形对应边相等可得CD=BF，从而得证试题解析：E是BC的中点，CE=BE，四边形ABCD是平行四边形，ABCD，AB=CD，DCB=FBE，在CED和BEF中，CEDBEF（ASA），CD=BF，AB=BF考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质10.（2017江苏盐城第22题）如图，矩形ABCD中，ABD、CDB的平分线BE、DF分别交边AD、BC于点E、F（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；（2）当ABE为多少度时，四边形BEDF是菱形？请说明理由【答案】（1）证明见解析；（2
10、）当ABE=30时，四边形BEDF是菱形，理由见解析.试题解析：（1）四边形ABCD是矩形，ABDC、ADBC，ABD=CDB，BE平分ABD、DF平分BDC，EBD=ABD，FDB=BDC，EBD=FDB，BEDF，又ADBC，四边形BEDF是平行四边形；（2）当ABE=30时，四边形BEDF是菱形，BE平分ABD，ABD=2ABE=60，EBD=ABE=30，四边形ABCD是矩形，A=90，EDB=90-ABD=30，EDB=EBD=30，EB=ED，又四边形BEDF是平行四边形，四边形BEDF是菱形考点：矩形的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定11.（2017甘肃兰州第26题）如图
11、，1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点.(1)求证：是等腰三角形；(2)如图2，过点作，交于点，连结交于点.判断四边形的形状，并说明理由；若，求的长.【答案】(1)证明见解析;(2) 【解析】试题分析: （1）根据两直线平行内错角相等及折叠特性判断；（2）根据已知矩形性质及第一问证得邻边相等判断；根据折叠特性设未知边，构造勾股定理列方程求解试题解析：（1）证明：如图1，根据折叠，DBC=DBE，又ADBC，DBC=ADB，DBE=ADB，DF=BF，BDF是等腰三角形；（2）四边形ABCD是矩形，ADBC，FDBG，又FDBG，四边形BFDG是平行四边形，DF=BF，四边
12、形BFDG是菱形；AB=6，AD=8，BD=10OB=BD=5假设DF=BF=x，AF=ADDF=8x在直角ABF中，AB2+A2=BF2，即62+（8x）2=x2，解得x=，即BF=，FO=，FG=2FO=考点：四边形综合题12.（2017四川自贡第21题）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF求证：ABF=CBE【答案】证明见解析.【解析】考点：菱形的性质.13.（2017江苏徐州第23题）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长，交延长线于点连接.（1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，则当 时，四边形是矩形.【答案】（1）证明见解析；（2）100【解析
13、】试题分析：（1）由AAS证明BOECOD，得出OE=OD，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出BCD=A=50，由三角形的外角性质求出ODC=BCD，得出OC=OD，证出DE=BC，即可得出结论试题解析:（1）四边形ABCD为平行四边形，ABDC，AB=CD，OEB=ODC，又O为BC的中点，BO=CO，在BOE和COD中，BOECOD（AAS）；OE=OD，四边形BECD是平行四边形；（2）若A=50，则当BOD=100时，四边形BECD是矩形理由如下：四边形ABCD是平行四边形，BCD=A=50，BOD=BCD+ODC，ODC=100-50=50=BCD，OC=OD，BO=CO，OD=OE，DE=BC，四边形BECD是平行四边形，四边形BECD是矩形；考点：1.矩形的判定；2.平行四边形的判定与性质15. (2017北京第20题) 数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推
