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1、2020中考数学 专题四：二次函数的综合（2017浙江宁波第25题）如图，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点，连结，点C（6，）在抛物线上，直线与轴交于点.(1)求的值及直线的函数表达式；(2)点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，连结与直线交于点，连结并延长交于点，若为的中点.求证：；设点的横坐标为，求的长(用含的代数式表示).【答案】(1)c=-3; 直线AC的表达式为：y=x+3；（2）证明见解析；【解析】试题分析：（1）把点C(6,)代入中可求出c的值；令y=0，可得A点坐标，从而可确定AC的解析式；（2）分别求出tanOAB=tanOAD=，得OAB=tanOAD，再由M就PQ的中点，得
2、OM=MP，所以可证得APM=AON，即可证明；过M点作MEx轴，垂足为E，分别用含有m的代数式表示出AE和AM的长，然后利用即可求解.试题分析：（1）把点C(6,)代入解得：c=-3当y=0时，解得：x1=-4，x2=3A（-4，0）设直线AC的表达式为：y=kx+b(k0)把A（-4，0），C(6,)代入得解得：k=，b=3直线AC的表达式为：y=x+3(2)在RtAOB中，tanOAB=在RtAOD中，tanOAD=OAB=OAD在RtPOQ中，M为PQ的中点OM=MPMOP=MPOMPO=AONAPM=AONAPMAON如图,过点M作MEx轴于点E又OM=MPOE=EP点M横坐标为mA
3、E=m+4 AP=2m+4tanOAD=cosEAM=cosOAD=AM=AE=APMAONAN=考点：二次函数综合题.（2017重庆A卷第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2x与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴与x轴交于点D，点E（4，n）在抛物线上（1）求直线AE的解析式；（2）点P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE当PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值；（3）点G是线段CE的中点，将抛物线y=x2x沿x轴正方向平移得到新抛物线y，y经过点D，y的顶点
4、为点F在新抛物线y的对称轴上，是否存在一点Q，使得FGQ为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）y=x+（2）3，（3）点Q的坐标为（3，），Q（3，）或（3，2）或（3，）【解析】试题分析：（1）抛物线的解析式可以变天为y=(x+1)(x-3),从而可得到点A和点B的坐标，然后再求得点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入，求得k和b的值，从而得到AE的解析式；（3）由平移后的抛物线经过点D，可得到点F的坐标，利用中点坐标公式可求得点G的坐标，然后分为QG=FG、QG=QF、FQ=FQ三种情况求解即可.试题解析：（1）y=x2x
5、，y=（x+1）（x3）A（1，0），B（3，0）当x=4时，y=E（4，）设直线AE的解析式为y=kx+b，将点A和点E的坐标代入得：，解得：k=，b=直线AE的解析式为y=x+（2）设直线CE的解析式为y=mx，将点E的坐标代入得：4m=，解得：m=直线CE的解析式为y=x过点P作PFy轴，交CE与点F设点P的坐标为（x，x2x），则点F（x，x），则FP=（x）（x2x）=x2+xEPC的面积=（x2+x）4=x2+x当x=2时，EPC的面积最大P（2，）如图2所示：作点K关于CD和CP的对称点G、H，连接G、H交CD和CP与N、MK是CB的中点，k（，）点H与点K关于CP对称，点H的坐
6、标为（，）点G与点K关于CD对称，点G（0，0）KM+MN+NK=MH+MN+GN当点O、N、M、H在条直线上时，KM+MN+NK有最小值，最小值=GHGH=3.KM+MN+NK的最小值为3（3）如图3所示：y经过点D，y的顶点为点F，点F（3，）点G为CE的中点，G（2，）FG=当FG=FQ时，点Q（3，），Q（3，）当GF=GQ时，点F与点Q关于y=对称，点Q（3，2）当QG=QF时，设点Q1的坐标为（3，a）由两点间的距离公式可知：a+=，解得：a=点Q1的坐标为（3，）综上所述，点Q的坐标为（3，），Q（3，）或（3，2）或（3，）考点：二次函数综合题.（2017甘肃庆阳第28题）如图
7、，已知二次函数y=ax2+bx+4的图象与x轴交于点B（-2，0），点C（8，0），与y轴交于点A（1）求二次函数y=ax2+bx+4的表达式；（2）连接AC，AB，若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NMAC，交AB于点M，当AMN面积最大时，求N点的坐标；.（3）连接OM，在（2）的结论下，求OM与AC的数量关系【答案】（1）y=x2+x+4；（2）N（3，0）；（3）OM=AC【解析】试题分析：（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）可设N（n，0），则可用n表示出ABN的面积，由NMAC，可求得，则可用n表示出AMN的面积，再利用二次函数的性质可求
8、得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标；（3）由N点坐标可求得M点为AB的中点，由直角三角形的性质可得OM=AB，在RtAOB和RtAOC中，可分别求得AB和AC的长，可求得AB与AC的关系，从而可得到OM和AC的数量关系试题解析：（1）将点B，点C的坐标分别代入y=ax2+bx+4可得，解得，二次函数的表达式为y=x2+x+4；（2）设点N的坐标为（n，0）（2n8），则BN=n+2，CN=8nB（2，0），C（8，0），BC=10，在y=x2+x+4中，令x=0，可解得y=4，点A（0，4），OA=4，SABN=BNOA=（n+2）4=2（n+2），MNAC，0，当n=3时，即N（3，0
9、）时，AMN的面积最大；（3）当N（3，0）时，N为BC边中点，MNAC，M为AB边中点，OM=AB，AB=，AC=，AB=AC，OM=AC考点：二次函数综合题来源:学科网ZXXK（2017广西贵港第25题）如图，抛物线与轴交于两点，与轴的正半轴交于点，其顶点为.（1）写出两点的坐标（用含的式子表示）；（2）设，求的值；（3）当是直角三角形时，求对应抛物线的解析式.【答案】（1）C（0，3a），D（2，a）；（2）3；（3）y=x24x+3或y=x22x+试题解析：（1）在y=a（x1）（x3），令x=0可得y=3a，C（0，3a），y=a（x1）（x3）=a（x24x+3）=a（x2）2a，
10、D（2，a）；（2）在y=a（x1）（x3）中，令y=0可解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），AB=31=2，SABD=2a=a，如图，设直线CD交x轴于点E，设直线CD解析式为y=kx+b，把C、D的坐标代入可得，解得，直线CD解析式为y=2ax+3a，令y=0可解得x=，E（，0），BE=3=SBCD=SBEC+SBED=（3a+a）=3a，SBCD：SABD=（3a）：a=3，k=3；.（3）B（3，0），C（0，3a），D（2，a），BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（a3a）2=4+16a2，BD2=（32）2+a2=1+a2，BCDBCO90，BCD为
11、直角三角形时，只能有CBD=90或CDB=90两种情况，当CBD=90时，则有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=1（舍去）或a=1，此时抛物线解析式为y=x24x+3；当CDB=90时，则有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=（舍去）或a=，此时抛物线解析式为y=x22x+；综上可知当BCD是直角三角形时，抛物线的解析式为y=x24x+3或y=x22x+考点：二次函数综合题（2017贵州安顺第26题）如图甲，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P
12、（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0x3时，在抛物线上求一点E，使CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）【答案】（1）y=x24x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，1+2）或（2，12）；（3）E点坐标为（，）时，CBE的面积最大【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三
13、种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EFx轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标试题解析：（1）直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，抛物线解析式为y=x24x+3；（2）y=x24x+3=（x2）21，抛物线对称轴为x=2，P（2，1），设M（2，t），且C（0，3），MC=，MP=|t+1|，PC=，CPM为等腰三角形，有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情
14、况，（3）如图，过E作EFx轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x24x+3），则F（x，x+3），0x3，EF=x+3（x24x+3）=x2+3x，SCBE=SEFC+SEFB=EFOD+EFBD=EFOB=3（x2+3x）=（x）2+，当x=时，CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，CBE的面积最大考点：二次函数综合题（2017湖北武汉第24题）已知点在抛物线上（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点的坐标为，直线交抛物线于另一点，过点作轴的垂线，垂足为，设抛物线与轴的正半轴交于点，连接，求证；（3）如图2，直线分别交轴，轴于两点，点从点出发，沿射线方向匀速运动，速度为每秒个单位长度，同时点从原点出发，沿轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单
