第四章特殊变换及其矩阵.ppt

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1、第四章特殊变换及其矩阵 1 正规变换与正规矩阵 正规变换 正规矩阵 可以说是对称变换 对称矩阵 正交变换 正交矩阵 等的推广和抽象 即只关心永恒的主题 对角化 的问题 这又一次体现出现代数学高度的抽象和统一 链接 现代数学的特点与意义 孙小礼 杜珣 大学数学 1992 2 或杜珣 现代数学引论 序言 或其他 两方阵互逆的条件是成立关系式 从纯代数角度看 如果去掉乘积为单位矩阵的限制 那么两矩阵是可交换矩阵 联想到正交矩阵的逆即为其转置 因此如果再限定两矩阵互为转置 即要求成立 情况又如何 显然对称矩阵和反对称矩阵都满足要求 正交矩阵当然也满足这个要求 因此具有性质的这种新矩阵就 一统江湖 具有

2、了统一性 对称矩阵最主要的性质是可以对角化 尤其是可以正交对角化 推广到这种新矩阵后这个性质是否还能保留呢 定义1对于复方阵 或实方阵 如果存在酉矩阵或正交矩阵 使得或则称酉相似 或正交相似 于 一 正规变换 NormalTransformation 定义2酉空间上的线性变换称为上的一个正规变换 如果存在的标准正交基及对角矩阵满足并称在任意标准正交基下的矩阵表示为正规矩阵 显然过渡矩阵是酉矩阵 请试试自己证明一下 定理3正规变换在不同标准正交基下的矩阵表示是酉相似的 证明 设正规变换在的两组标准正交基和下的矩阵表示分别为 并设 因为 所以 结论成立 根据定理3 正规变换在任一标准正交基下的矩阵

3、表示必定酉相似于对角阵 即 二 正规矩阵的等价定义 100多年前 1909年 Schur给出的Schur引理是矩阵理论中的重要定理 是很多其他重要结论的基础 在矩阵计算中也具有相当重要的地位 并称为方阵的Schur分解 定理4 Schur引理 任何复方阵必酉相似于一个上三角阵 即存在酉矩阵 使 根据Schur引理 可以推出正规矩阵的一个相当美妙的性质 此性质经常被当作正规矩阵的等价定义 定理5方阵是正规的 当且仅当 为证明这个结论 再给出一个引理 引理6满足的三角阵必是对角阵 证明 对上三角阵 比较等式 两边乘积矩阵在第行第列位置上的元素 并注意到 因此对 有 当时 有 可知 对施行归纳法 可

4、得 证毕 定理5的证明 必要性 如果是正规矩阵 那么存在酉矩阵及对角阵 使得 因此 充分性 根据Schur引理 存在酉矩阵及上三角阵 使得 显然当且仅当 根据引理6 是对角矩阵 故是正规阵 例7判断下列矩阵是不是正规矩阵 1 实对称矩阵 2 实反对称矩阵 3 正交矩阵 4 酉矩阵 5 Hermite矩阵 6 反Hermite矩阵 7 形如的矩阵 天下英雄尽入吾彀矣 定理8与正规矩阵酉相似的方阵仍然是正规矩阵 证明 如果存在酉矩阵 使得 则 定理9方阵是正规的 当且仅当与对角矩阵酉相似 并且对角矩阵的对角元就是正规矩阵的特征值 证明 必要性 如果是正规矩阵 那么存在酉矩阵及对角阵使得 即 因此

5、充分性 若有 显然可验证 定理10方阵是正规的 当且仅当有个两两正交的单位特征向量 即对应于不同特征值的特征子空间相互正交 完备正交系 证明 必要性 如果是正规矩阵 那么存在酉矩阵及对角阵使得 即 因此 充分性 若有个两两正交的单位特征向量 取即可 正规矩阵的谱分解 注意这里矩阵的特征值为复数 例11设为正规矩阵 且 则 因为是正规矩阵 所以存在酉矩阵 使得 再由 得 因此 即 故 从而 故 课后思考 1 实正规矩阵是否正交相似于实对角矩阵 2 实正规矩阵是否正交相似于复对角矩阵 3 实正规矩阵正交相似于什么样的 简单 矩阵 2 Hermite变换及Hermite矩阵 单从变换的角度我们很难把

6、Hermite变换 对称变换 与正规变换联系起来 但从Hermite矩阵 对称矩阵 的定义 或者从Hermite矩阵 对称矩阵 都可对角化上却能找到两者的关联 这似乎可以作为数学的 奇异美 的一个例证 推广到酉空间 相应的矩阵称为Hermite矩阵 满足关系式 既然矩阵与变换一一对应 那么Hermite矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢 推广到酉空间 相应的矩阵称为Hermite矩阵 满足关系式 既然矩阵与变换一一对应 那么Hermite矩阵以及实对称矩阵与什么样的变换对应呢 推广到酉空间 相应的矩阵称为Hermite矩阵 满足关系式 既然矩阵与变换一一对应 那么Hermite矩阵以及实对

7、称矩阵与什么样的变换对应呢 我们知道 实对称矩阵满足关系式 任取 设 则 设在酉空间的一组标准正交基下的矩阵表示为且 定义1设是酉空间 或欧氏空间 上的线性变换 如果对任意 都有则称为上的Hermite变换 对称变换 并称在的任意一组标准正交基下的矩阵表示为Hermite矩阵 对称矩阵 一 Hermite变换 对称变换 定理2酉空间 或欧氏空间 上的线性变换是Hermite变换 对称变换 的充要条件是在的任意一组标准正交基下的矩阵满足即是Hermite矩阵 所以 从而 证明 必要性 设在的一组标准正交基下的矩阵表示为 定义3设是酉空间 或欧氏空间 上的线性变换 如果对任意 都有则称为上的反He

8、rmite变换 或反对称变换 并称在的任意一组标准正交基下的矩阵表示为反Hermite矩阵 反对称矩阵 定理4酉空间 或欧氏空间 上的线性变换是反Hermite变换 或反对称变换 的充要条件是在的任意一组标准正交基下的矩阵满足 例5 方阵的Cartesian分解 任意复方阵可分解为其中都是Hermite矩阵 例6 Cayley变换 方阵是实反对称矩阵 那么是非奇异的 并且Cayley变换矩阵是正交矩阵 证明 因为 所以对任意的 有 因此 对于 由于 从而方程组只有零解 所以是非奇异的 由于 所以 从而可推出 例7 广义特征值问题的Cayley变换 对于广义特征值问题 如果是所谓极点 pole

9、是我们已经计算出的特征值的近似值 即所谓零点 zero 那么经过Cayley变换可得到标准特征值问题并且 二 Hermite矩阵及对称矩阵的性质 定理8正规矩阵是Hermite矩阵 反Hermite矩阵 的充要条件是的特征值全是实数 纯虚数 即酉相似于实对角矩阵 对角元是纯虚数的对角矩阵 证明 充分性 因为是正规矩阵 所以存在酉矩阵及对角阵 使得 由于的特征值全是实数 所以 证明 必要性 因为是正规矩阵 所以存在酉矩阵及对角阵 得到特征值分解 因为 从而 因此 即的对角元全是实数 所以的主对角元是的特征值 定理9实对称矩阵正交相似于实对角矩阵 即存在正交矩阵 使得 Hermite矩阵的谱分解

10、注意这里矩阵的特征值为实数 实对称矩阵的特征值分解 注意这里矩阵的特征对都是实的 三 正定Hermite矩阵 实数域内经常处理的矩阵是正定对称矩阵 关于它有许多优美的结论 将数域推广到复数域 考察相应的结论 这就是下面的主题 定义10Hermite二次型或复二次型指的是复系数二次齐次复多项式其对应的矩阵显然是Hermite矩阵 定理11对于Hermite二次型存在酉变换 将二次型化为标准型其中是的特征值 定理12 惯性定理 对于Hermite二次型存在可逆的线性变换 将二次型化成规范型其中是的秩 定义13Hermite二次型称为正定的 如果对任意 恒有 当且仅当时 其对应的矩阵显然是正定Her

11、mite矩阵 定义14Hermite二次型称为半正定的 如果对任意 恒有 其对应的矩阵显然是半正定Hermite矩阵 定义15设是酉空间上的Hermite变换 如果对任意 都有则称为上的正定变换 半正定变换 并称在的任意一组标准正交基下的矩阵表示为正定Hermite矩阵 半正定Hermite矩阵 定义16设是欧氏空间上的对称变换 如果对任意 都有则称为上的正定变换 半正定变换 并称在的任意一组标准正交基下的矩阵表示为正定对称矩阵 半正定对称矩阵 定理17对Hermite二次型 下列命题是等价的 1 是正定的 2 对任意阶可逆矩阵 都是正定Hermite矩阵 3 的特征值全是正数 4 存在阶可逆

12、矩阵 使得 5 存在阶可逆矩阵 使得 6 存在阶可逆Hermite矩阵 使得 证明 可证 以及 定理18对阶Hermite矩阵 下列命题是等价的 1 是半正定的 2 对任意阶可逆矩阵 都是半正定Hermite矩阵 3 的特征值全是非负实数 4 存在阶可逆矩阵 使得这里为的秩 5 存在秩为的阶矩阵使得 6 存在阶Hermite矩阵 使得 定理19 Cholesky分解定理 Hermite阵的充要条件是则存在唯一的单位下三角矩阵与唯一的实对角矩阵 也就是存在唯一的下三角矩阵 使得 例20对正定Hermite矩阵 证明 1 也是正定的 2 例21 Schur补 阶方阵有如下分块则是正定Hermite

13、矩阵的充要条件是和的Schur补都是正定Hermite矩阵 证明 利用 3 投影变换及投影矩阵 正交投影和斜投影应用领域广泛 比如在无线通信 雷达 时间序列分析和信号处理等领域中 经常需要提取某个所需要的信号 同时过滤掉所有干扰或噪声 这就仿佛拍照 我们留下了二维的平面影像 但也抛弃了第三个维度 在大规模计算中 更需要通过投影方法来降低计算量 定理1 斜投影变换 酉空间或欧氏空间中的任意向量有直和分解则沿到的斜投影变换是幂等变换 相应的斜投影矩阵是幂等矩阵 思考 Householder是斜投影矩阵吗 定理2 正交投影变换 酉空间或欧氏空间中的任意向量在的子空间上的正交投影为 即有则沿到的正交投

14、影变换既是Hermite变换 也是幂等变换 证明 对任意 同样有 因此 另外显然有 这说明正交投影变换的矩阵表示 称为正交投影矩阵 既是Hermite矩阵也是幂等矩阵 思考 Householder是正交投影矩阵吗 正交投影变换的矩阵表示是什么样的矩阵呢 考虑正交投影 注意到 再联想到此投影的像空间 不难发现其基满足 这说明正交投影变换的矩阵表示应该是由像空间的基与其转置相乘而得的矩阵 考虑正交投影 注意到 并且确实成立 定理3 正交投影变换的矩阵表示I 酉空间或欧氏空间中的子空间由半酉矩阵张成 即则沿到的正交投影变换可表示为 证明 按施密特正交化过程可知 存在另一个单位正交列矩阵 使得满足 则

15、 这里 因此对任意 有 显然 如果仅仅知道列满秩矩阵 显然的各列构成维子空间的一组基 那么根据UR分解可知 存在半正交矩阵和上三角矩阵 使得 因此 定理4 正交投影变换的矩阵表示II 酉空间或欧氏空间中的子空间由列满秩矩阵的列向量张成 即则沿到的正交投影变换可表示为 思考 对于一般的酉空间或欧氏空间 是否成立与定理3及定理4类似的结论 此时及的含义分别是什么 正规变换 投影变换 Hermite变换 对称变换 酉变换 正交变换 正交投影变换 对合变换 4 矩阵的奇异值分解 从Beltrami 1873 和Jordan 1874 提出奇异值分解 SVD 至今 SVD及其推广已经成为矩阵计算中最有用

16、和最有效的工具之一 并在最小二乘问题 最优化 统计分析 信号与图像处理 系统理论与控制等领域被广泛使用 一 从几何观测说起 圆经过变换 变成椭圆 圆的正交方向变成椭圆的长 短轴方向 假定矩阵是列满秩矩阵 一般地 维空间中的单位球面经过变换变成超椭圆 正交方向变成超椭圆的主半轴方向 称的个主半轴的长度为的奇异值 对应的单位向量为的左奇异向量 leftsingularvector 对应的原象为的右奇异向量 相应的空间称为奇异空间 前面已经指出 矩阵形式为 这里矩阵是半酉矩阵 是酉矩阵 这样就得到的简化奇异值分解 SVD Singularvaluedecomposition 同样地 将矩阵扩充为阶酉矩阵 并令 则得的完全奇异值分解 定理1对任意矩阵 都存在一个完全奇异值分解 并且奇异值是唯一确定的 也就是任意矩阵酉等价于对角阵 从变换的角度理解 酉变换保持球面不变 对角矩阵将球面拉伸到一个有标准基的超椭圆 最后酉变换旋转或镜射这个超椭圆 但不改变它的形状 则的求解为 有解时 二 由SVD导出的矩阵性质 此结论说明用SVD可以计算矩阵的秩 数值秩 matlab中矩阵求秩采用的算法就是基于SVD