第九章 拉普拉斯变换

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1、第9章拉普拉斯变换 THELAPLACETRANSFORM 4 双边拉普拉斯变换的性质 本章基本内容 1 双边拉普拉斯变换 2 双边拉普拉斯变换的收敛域 5 系统函数 6 单边拉普拉斯变换 3 零极点图 9 0引言Introduction 傅里叶变换是以复指数函数的特例和为基底分解信号的 对更一般的复指数函数和 也理应能以此为基底对信号进行分解 傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中如此有用 很大程度上是因为相当广泛的信号都可以表示成复指数信号的线性组合 而复指数函数是一切LTI系统的特征函数 通过本章及下一章 会看到拉普拉斯变换和 变换不仅具有很多与傅里叶变换相同的重要性质 不仅能解决

2、用傅里叶分析方法可以解决的信号与系统分析问题 而且还能用于傅里叶分析方法不适用的许多方面 拉普拉斯变换与 变换的分析方法是傅里叶分析法的推广 傅里叶分析是它们的特例 将傅里叶变换推广到更一般的情况就是本章及下一章要讨论的中心问题 9 1拉普拉斯变换 复指数信号是一切LTI系统的特征函数 如果LTI系统的单位冲激响应为 则系统对产生的响应是 其中 显然当时 就是连续时间傅里叶变换 TheLaplaceTransform 一 双边拉氏变换的定义 称为的双边拉氏变换 其中 若 则有 这就是的傅里叶变换 表明 连续时间傅里叶变换是双边拉普拉斯变换在或是在轴上的特例 由于 所以拉氏变换是对傅里叶变换的推

3、广 的拉氏变换就是的傅里叶变换 只要有合适的存在 就可以使某些本来不满足狄里赫利条件的信号在引入后满足该条件 即有些信号的傅氏变换不收敛而它的拉氏变换存在 这表明拉氏变换比傅里叶变换有更广泛的适用性 例1 在时 积分收敛 当时 的傅里叶变换存在 显然 在时 拉氏变换收敛的区域为 包括了 即轴 比较和 显然有 例2 与例1 比较 区别仅在于收敛域不同 由以上例子 可以看出 1 拉氏变换与傅里叶变换一样存在收敛问题 并非任何信号的拉氏变换都存在 也不是S平面上的任何复数都能使拉氏变换收敛 2 使拉氏变换积分收敛的那些复数S的集合 称为拉氏变换的收敛域 拉氏变换的收敛域ROC RegionofCon

4、vergence 对拉氏变换是非常重要的概念 3 不同的信号可能会有完全相同的拉氏变换表达式 只是它们的收敛域不同 5 如果拉氏变换的ROC包含轴 则有 4 只有拉氏变换的表达式连同相应的收敛域 才能和信号建立一一对应的关系 二 拉氏变换的ROC及零极点图 例3 可见 拉氏变换的收敛域是各个收敛域的公共部分 ROC总是以平行于轴的直线作为边界的 ROC的边界总是与的分母的根相对应的 若是有理函数 分子多项式的根称为零点 分母多项式的根称为极点 将的全部零点和极点表示在S平面上 就构成了零极点图 零极点图及其收敛域可以表示一个 最多与真实的相差一个常数因子 因此 零极点图是拉氏变换的图示方法 9

5、 2拉氏变换的收敛域 可以归纳出ROC的以下性质 TheRegionofConvergenceforLaplaceTransforms 4 右边信号的ROC位于S平面内一条平行于轴的直线的右边 3 时限信号的ROC是整个S平面 2 在ROC内无任何极点 1 ROC是S平面上平行于轴的带形区域 若 则 表明也在收敛域内 若是右边信号 在ROC内 则有绝对可积 即 5 左边信号的ROC位于S平面内一条平行于轴的直线的左边 若是左边信号 定义于 在ROC内 则 表明也在收敛域内 6 双边信号的ROC如果存在 一定是S平面内平行于轴的带形区域 考查零点 令 例2 有极点 显然在也有一阶零点 由于零极点

6、相抵消 致使在整个S平面上无极点 当时 上述ROC有公共部分 当时 上述ROC无公共部分 表明不存在 当是有理函数时 其ROC总是由的极点分割的 ROC必然满足下列规律 3 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之间的带形区域 2 左边信号的ROC一定位于最左边极点的左边 1 右边信号的ROC一定位于最右边极点的右边 例3 可以形成三种ROC ROC ROC ROC 此时是右边信号 此时是左边信号 此时是双边信号 TheInverseLaplaceTransform 一 定义 由 若在ROC内 则有 9 3拉普拉斯反变换 当从时 从 拉氏反变换表明 可以被分解成复振幅为的复指数信号的线性组合 二

7、 拉氏反变换的求法 对有理函数形式的求反变换一般有两种方法 即部分分式展开法和留数法 1 将展开为部分分式 部分分式展开法 3 利用常用信号的变换对与拉氏变换的性质 对每一项进行反变换 2 根据的ROC 确定每一项的ROC 极点 例2 1 求出的全部极点 留数法 当是有理函数时 3 求出在ROC右边的所有极点处的留数之和 并加负号 它们构成了的反因果部分 2 求出在ROC左边的所有极点处的留数之和 它们构成了的因果部分 例3 的极点位于ROC的右边 位于ROC的左边 可以用零极点图表示的特征 当ROC包括轴时 以代入 就可以得到 以此为基础可以用几何求值的方法从零极点图求得的特性 这在定性分析

8、系统频率特性时有很大用处 GeometricEvaluationoftheFourierTransformfromthePole ZeroPlot 9 4由零极点图对傅里叶变换几何求值 1 单零点情况 矢量称为零点矢量 它的长度表示 其幅角即为 零点 要求出时的 可以作两个矢量和 则 极点 直接由极点向点作矢量 称为极点矢量 其长度的倒量为 幅角的负值为 2 单极点情况 因此有 对有理函数形式的 3 一般情况 即 从所有零点向点作零点矢量 从所有极点向点作极点矢量 所有零点矢量的长度之积除以所有极点矢量的长度之积即为 所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和即为 当取为轴上的点时 即为

9、傅里叶变换的几何求值 考查在轴上移动时所有零 极点矢量的长度和幅角的变化 即可得出的幅频特性和相频特性 例1 一阶系统 例2 二阶系统 1 当时 有两个实数极点 此时系统处于过阻尼状态 起主要作用 随着 两极点相向移动 向处靠拢 2 当时 两极点重合于处 成为二阶极点 系统处于临界阻尼状态 3 进一步减小 则二阶极点分裂为共轭复数极点 且随的减小而逐步靠近轴 极点运动的轨迹 根轨迹是一个半径为的圆周 此时系统处于欠阻尼状态 随着 位于第2象限的极点矢量比第3象限的极点矢量更短 因此它对系统特性的影响较大 被称为主极点 当时 由于该极点矢量变得很短 因而会使出现峰值 其峰点位于处 峰值为 在时

10、若认为主极点矢量增长倍时 对应的频率是系统带宽的截止频率 则可以近似确定此时的系统带宽约为 4 当时 两极点分别位于轴上的处 此时系统处于无阻尼状态 系统的相位特性也可以从零极点图得到 此时 只需考察当动点沿轴移动时所有极点矢量和所有零点矢量的幅角变化 用所有零点矢量的幅角之和减去所有极点矢量的幅角之和 即可得到系统的相位特性 例3 全通系统 考查零极点对称分布的系统 一阶全通系统 该系统的在任何时候都等于1 所以称为全通系统 其相位特性 全通系统的零极点分布呈四角对称特征 全通系统被广泛用于对系统进行相位均衡 例4 最小相位系统 显然这两个系统的幅频特性是相同的 但零点在左半平面的系统其相位

11、总小于零点在右半平面的系统 因此将零极点均位于左半平面的系统称为最小相位系统 工程应用中设计的各种频率选择性滤波器 如 Butterworth Chebyshev Cauer滤波器都是最小相位系统 当工程应用中要求实现一个非最小相位系统时 通常采用将一个最小相位系统和一个全通系统级联来实现 从本质上讲系统的特性是由系统的零 极点分布决定的 对系统进行优化设计 实质上就是优化其零 极点的位置 PropertiesoftheLaplaceTransform 9 5拉氏变换的性质 拉氏变换与傅氏变换一样具有很多重要的性质 这里只着重于ROC的讨论 1 线性 Linearity 若 而 ROC扩大为整

12、个S平面 当与无交集时 表明不存在 例 原因是出现了零极点相抵消的现象 2 时移性质 TimeShifting 若 3 S域平移 Shiftinginthes Domain 表明的ROC是将的ROC平移了一个 这里是指ROC的边界平移 例 显然 4 时域尺度变换 TimeScaling 若 则 当时收敛 时收敛 可见 若信号在时域尺度变换 其拉氏变换的ROC在S平面上作相反的尺度变换 特例 5 共轭对称性 Conjugation 如果是实信号 且在有极点 或零点 则一定在也有极点 或零点 这表明 实信号的拉氏变换其复数零 极点必共轭成对出现 当为实信号时 有 由此可得以下重要结论 或 包括 6

13、 卷积性质 ConvolutionProperty 显然有 例 ROC扩大 原因是与相乘时 发生了零极点相抵消的现象 当被抵消的极点恰好在ROC的边界上时 就会使收敛域扩大 7 时域微分 DifferentiationintheTimeDomain 8 S域微分 Differentiationinthes Domain 9 时域积分 IntegrationintheTimeDomain 若 包括 如果是因果信号 且在不包含奇异函数 则 初值定理 时 且在不包含奇异函数 Proof 将在展开为Taylor级数有 10 初值与终值定理 TheInitial andFinal ValueTheore

14、ms 对上式两边做拉氏变换 如果是因果信号 且在不包含奇异函数 除了在可以有单阶极点外 其余极点均在S平面的左半边 则 终值定理 的实部可以大于零 因此 除了在可以有一阶极点外 其它极点均在S平面的左半平面 即保证有终值 故的ROC中必包含轴 表明 当时 极点在S平面的分布与信号终值的关系 AnalysisandCharacterizedofLTISystemsUsingtheLaplaceTransform 一 系统函数的概念 以卷积特性为基础 可以建立LTI系统的拉氏变换分析方法 即 其中是的拉氏变换 称为系统函数或转移函数 传递函数 9 7用拉氏变换分析与表征LTI系统 这就是LTI系统

15、的傅里叶分析 即是系统的频率响应 这些方法之所以成立的本质原因在于复指数函数是一切LTI系统的特征函数 当以为基底分解信号时 LTI系统对输入信号的响应就是 如果的ROC包括轴 则和的ROC必定包括轴 以代入 即有 连同相应的ROC也能完全描述一个LTI系统 系统的许多重要特性在及其ROC中一定有具体的体现 而以为基底分解信号时 系统的输出响应就是 二 用系统函数表征LTI系统 1 因果性 如果时 则系统是因果的 如果时 则系统是反因果的 因此 因果系统的是右边信号 其的ROC必是最右边极点的右边 由于反因果系统的是左边信号 的ROC必是最左边极点的左边 应该强调指出 由ROC的特征 反过来并

16、不能判定系统是否因果 ROC是最右边极点的右边并不一定系统因果 2 稳定性 如果系统稳定 则有 因此必存在 意味着的ROC必然包括轴 只有当是有理函数时 逆命题才成立 综合以上两点 可以得到 因果稳定系统的 其全部极点必须位于S平面的左半边 显然 ROC是最右边极点的右边 的全部极点都在S平面的左半边 的ROC是最右边极点的右边 但是非有理函数 系统是非因果的 由于ROC包括轴 该系统仍是稳定的 而对系统 仍是非有理函数 ROC是最右边极点的右边 但由于 系统是因果的 结论 如果LTI系统的系统函数是有理函数 且全部极点位于S平面的左半平面 则系统是因果 稳定的 2 如果LTI系统的系统函数是有理函数 且系统因果 则系统函数的ROC是最右边极点的右边 若系统反因果 则系统函数的ROC是最左边极点的左边 三 由LCCDE描述的LTI系统的系统函数 是一个有理函数 的ROC需要由系统的相关特性来确定 1 如果LCCDE具有一组全部为零的初始条件 则的ROC必是最右边极点的右边 2 如果已知LCCDE描述的系统是因果的 则的ROC必是最右边极点的右边 3 如果已知LCCDE描述的系统是稳定的