第二章+水文统计原理

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1、第二章水文统计原理 BridgeandCulvertHydrology 第二章水文统计原理 桥梁的设计流量 设计水位与设计流速 跨越河流 沟渠的桥梁和涵洞 其桥位 桥孔长度 桥面高程和墩台冲刷深度必须要满足设计洪水的要求 安全顺畅的通过设计洪水 因此需要对河流和海域进行长期观测 通过分析和处理这些原始的水文资料 确定桥涵使用期限内 河流中可能发生的一定概率的洪水的洪峰流量及相应的水位和流速 分别称为桥梁的设计流量 设计水位和设计流速 分析这些水文资料的数学工具就是数理统计知识 本章主要内容 第一节水文现象的特性和分析方法 1周期性就是许多水文现象具有的周期循环变化的性质 水文现象有以年或者年际

2、 若干年 为周期变化的规律 2地区性地区性是表示水文现象随地区而异 即每个地区都有各自的特殊性 南方同北方水文现象差异很大 这主要是由于地区差异 影响水文现象的气候和下垫面条件不同 相互邻近的流域 气候和下垫面条件往往有一定的相似性 水文现象 在一定程度上就具有相似性 因此 水文现象有一定的地区分布规律性 如湿润地区河流的径流年内分配较为均匀 而干旱地区的就很不均匀 3不重复性 偶然性或随机性 影响水文现象的因素很多 而且各种因素相互之间关系错综复杂 虽然水文现象总体上具有一定的周期性变化 但是无论什么时候都不可能完全重复出现 称为水文现象的不重复性 第一节水文现象的特性和分析方法 第一节水文

3、现象的特性和分析方法 水文现象的主要研究方法 1 成因分析法研究水文现象的物理成因以及同其他自然现象有关因素 如气候因素 自然地理因素 之间的相互关系 建立计算关系式 如新安江模型 陕北模型等 第一节水文现象的特性和分析方法 2 地区归纳法及其使用条件利用区域性规律确定水文参数寻求水文现象 水文因素的区域性分布规律 建立地区性水文因素计算公式 图表或等值线图 供生产使用 3 数理统计法由于水文现象具有的不重复性 根据概率论 对系统的实测水文资料进行统计分析 寻求水文现象 水文因素之间的统计规律 实现估计未来水文现象可能发生的结果 通过统计分析以探求水文现象偶然性规律 这种方法 是由于水文现象的

4、客观性质 偶然性和随机性 决定的 在水文计算中 主要是解决三方面的问题 确定各种水文特征值的数量大小 确定该特征值在时间上的分配过程 确定特征值的地区分布 第一节水文现象的特性和分析方法 水文学的研究途径说明由于水文现象复杂 观测资料不多以及用现行水文计算方法解决数量大小 地区分布和时间分配这三个问题 理论还很不完善 因此在实际工作中 常把数理统计法和成因分析这两种途径结合起来 并尽可能通过各种途径 采用多种方法来进行计算 以求得成果的合理可靠 水文计算中必须遵循的一般原则有以下三点 深入调查研究 掌握充实可靠的资料 采用比较合理的计算方法 对计算成果进行严密审查 一 随机事件事件 随机试验的

5、结果 事件分为三类及举例 1 必然事件 在一定能够的条件组合下 必然会发生的事情 2 不可能事件 在一定的条件组合下 一定不可能发生的事情 3 随机事件 在一定的条件组合下 可能发生也可能不发生的事件 水文现象 既有必然性的一面 又有偶然性的一面 水文现象中年最大流量的出现是必然事件 但出现的具体时间和大小 则为随机事件 由于水文现象具有不重复性特点 所以各种水文要素的具体数量的出现 都是偶然性的 属于随机事件 统计规律 随机事件也具有一定的规律性 这种规律只能利用大量同类的随机事件统计而得 称为统计规律 它也是由事件的客观本质造成的 数理统计法 研究随机事件客观规律性的方法之一就是数理统计法

6、 利用大量同类随机事件统计数据推求随机事件所遵循的客观规律 第二节几率和频率 二 随机变量随机变量 在多次试验中 随机事件出现的种种结果 都以实数值来表示 这些数值就称为随机变量 对于水文现象而言 指某种水文特征值 如某地区流域出口的年径流量和洪峰流量等 水文统计法 就是利用流量 降雨量 潮水位 波浪高度等实测水文资料 实测数量 作为随机变量 通过统计分析 推求水文现象的客观规律 统计规律 连续型随机变量 在某个区间内可以任意取值的随机变量 如水位 流量 离散型随机变量 如投掷硬币的正反面 属性型随机变量 如生男生女 系列 随机变量组成的一列数值 称为系列 有限系列 无限系列 第二节几率和频率

7、 第二节几率和频率 三 几率和频率几率 概率 表示随机事件出现可能性大小的数值称为该随机事件的几率 或概率 简单随机事件的几率 P A 一定条件下 随机事件A的几率 n 试验结果的总数 m 随机事件A出现的总数 P A 1 则表明试验结果全部出现事件A 则事件A为必然事件 P A 0 则表明每次试验结果都不出现事件A 则事件A成为不可能事件 0 P A 1 则表明A为随机事件 概率可分为事先概率和经验概率两类 事先概率 如某事件的概率能够事先计算出来 则称此事件的概率为事先概率 如投掷硬币 出现正面 的概率即属此类 亦称为理论概率 经验概率 另外还有一些事件 我们无法事先知道其出现的可能情况

8、它们的概率只能通过多次试验求出的概率来估计 这种概率称为经验概率 水文现象中水文特征值 如洪峰 流量 水位等 在数量上的出现机会 即属经验概率的范围 频率 在一系列重复的独立试验中 某一事件出现的次数与试验总次数的比值 称为该事件的频率 1 试验次数较少时 频率具有偶然性 试验次数愈多 频率愈接近几率 2 几率是随机事件在客观上出现的可能程度 是事件固有的性质 是常数 为理论值 3 频率是利用有限的试验结果推算得到的 为经验值 第二节几率和频率 四 总体和样本总体 随机变量的全部系列 样本 从总体中抽出的一部分随机变量系列 样本容量 样本中所含随机变量的项数 抽样 从总体中抽取样本 用样本的分

9、析结果推求总体规律的方法 抽样误差 根据样本推算的规律性 不是总体的客观真实情况 存在着一定的误差 这种由抽样而引起的误差 数理统计法中称为 抽样误差 水文事件只能利用一定的样本计算其频率 作为经验几率 推求事情的变化规律 预测未来可能出现的情况 满足工程需要 第二节几率和频率 年最大值法 就是从水文站历年流量观测资料中 每年选取一个洪水成因相同的最大洪峰流量 n年的观测资料中 可以选出n个流量值 组成一个n项容量的随机样本 也称为 年最大流量法 水文统计法 就是利用已有的实测水文资料 数据 组成有限的随机变量系列 作为无限总体中的一个随机样本 以样本的规律推断总体的规律 来解决实际工程中的水

10、文计算问题 第二节几率和频率 第三节频率分布 一 频率密度和累积频率随机变量的频率分布 随机变量系列中 每个变量都对应着一定的出现几率 系列中的变量对应着的一定几率分布规律 即为随机变量的频率分布 它反映了随机变量系列的统计规律 水文资料是连续随机变量 可以在最大和最小值的区间取一切值 但实际观测次数有限 无法得到区间内所有取值 对于实测水文资料 一般以等区间分组 并按由大到小的递减次序排列 然后进行统计计算 为了便于分析流量出现的规律性 采用相对数字表示其出现次数 以各组出现次数与总次数之比表示各组所在区间流量值出现的可能程度 即频率 累积频率是各组累积出现次数与总次数的比值 表示等于和大于

11、该组所在区间的流量值出现的可能程度 都以百分数计 水文资料是连续随机变量 可以在最大和最小值的区间取一切值 但实际观测次数有限 无法得到区间内所有取值 对于实测水文资料 一般以等区间分组 并按由大到小的递减次序排列 然后进行统计计算 为了便于分析流量出现的规律性 采用相对数字表示其出现次数 以各组出现次数与总次数之比表示各组所在区间流量值出现的可能程度 即频率 累积频率是各组累积出现次数与总次数的比值 表示等于和大于该组所在区间的流量值出现的可能程度 都以百分数计 一 频率密度和累积频率随机变量的频率分布 随机变量系列中 每个变量都对应着一定的出现几率 系列中的变量对应着的一定几率分布规律 即

12、为随机变量的频率分布 它反映了随机变量系列的统计规律 第三节频率分布 第三节频率分布 频率密度直方图 数理统计中 为了便于分析 常以数据系列 流量或者雨量等 等为横坐标 频率密度为纵坐标 绘出频率密度直方图 频率密度直方图表示各组随机变量频率的平均分布 而且图中各矩形面积表示各组间距的频率 频率密度曲线 若流量资料的年数趋于无穷大 组距趋于无穷小 则形成虚线所示的频率密度曲线 若令其纵坐标为 当 则为密度曲线的函数 称为密度函数 绝大多数的水文资料系列 都具有特别大和特别小流量出现次数少 接近均值流量次数多的规律性 第三节频率分布 累积频率分布 若以流量为纵坐标 累积频率为横坐标 则可绘出流量

13、与累积频率关系的累积频率分布 图中实线 频率分布曲线 若流量实测次数趋于无穷大 组距趋于无穷小 则可画出如虚线所示的频率分布曲线 简称分布曲线 第三节频率分布 在水文计算中 一般采用频率分布曲线来说明水文特征值的统计规律 它表示的是大于某一量值的变量出现的几率 分布曲线与密度曲线的关系频率分布曲线可以由密度函数积分而得 即某变量X对应的密度曲线左侧下围面积P就是x所对应的累积频率 第三节频率分布 二 累积频率和重现期累积频率 P 水文统计中 等于或大于某一流量值出现的次数 即累积出现次数 与总次数的比值 称为该流量的累积频率 一般用百分数表示 有时也用分数表示 桥梁水文计算时 洪水 潮汐等水文

14、现象的样本取值 采用的抽样方法为年最大值法 因而表示的频率为年频率 重现期 T 表示该变量大约平均在多少年内出现一次 单位 年 水文统计法就是利用频率曲线的内插或外延 推测已有系列年限以内或者超出已有系列年限之外的洪水出现机会 求出它们的洪水频率 水文统计计算的过程 主要是确定接近于水文现象总体的频率曲线 即分布曲线 第三节频率分布 三 设计洪水频率桥涵及其附属工程尺寸取决于设计流量的大小 设计标准根据经济条件和工程的安全要求预先拟定 一般由国家统一制定 我国新规范 公路工程技术标准 中桥涵设计洪水频率见下表 第三节频率分布 新规范关于设计洪水频率的另外两条规定 1 二级公路的特大桥以及三级

15、四级公路的大桥 在水势猛急 河床易千冲刷的情况下 可提高一级设计洪水频率验算基础冲刷深度 2 沿河纵向高架桥和桥头引道的设计洪水频率应符合本标准中路基设计洪水频率的规定 第三节频率分布 第四节经验频率曲线 经验频率曲线 根据作为水文统计样本的实测水文资料系列 计算各项随机变量的经验频率 点绘经验频率与其对应的随机变量大小的曲线 称为该样本的经验频率曲线 在水文计算中 一般采用累积频率曲线 简称频率曲线 来说明水文特征值的统计规律 也就是说 通过这条曲线来表达水文特征值与其对应的累积频率的关系 以便确定某指定频率P的水文特征值 水文统计法中的频率曲线分为两类 1 由实测资料绘制的频率曲线称为经验

16、频率曲线 2 具有一定数学形式的频率曲线 通常被称为 理论 频率曲线 一 经验频率曲线的计算1 简单公式 2 维泊尔公式 均值公式 数学期望公式 3 切哥达也夫公式 中值公式 4 海森公式 式中 p为频率 m为系列按照递减次序排列时 各随机变量的顺序号 n为随机变量的总项数 即水文资料观测的总年数 我国水文统计中一般采用维泊尔公式计算经验频率 第四节经验频率曲线 经验频率曲线的绘制步骤 1 收集水文资料 组成随机变量系列 2 将变量系列从大到小递减顺序排列 此时系列中变量的顺序号m 不仅表示变量大小的先后顺序 还表示等于和大于该变量的累积出现次数 3 按照维泊尔公式列表计算各变量对应的累积频率 4 以变量为纵坐标 频率为横坐标 在经验频率曲线上绘制经验频率点 5 依据经验点群的变化趋势 描绘成一条圆滑的曲线 即为所求的经验频率曲线 第四节经验频率曲线 第四节经验频率曲线 三 经验频率曲线的外延超出实测点范围以外的频率 需要将曲线外延 为了避免徒手顺势外延的主观随意性 一般 1 采用一定规格的几率格纸 这种格纸的种类很多 使正态分布的频率曲线在其上呈一条直线的海森几率格纸 可以使得手动延