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1、 逻辑代数的基本运算基本逻辑电路逻辑代数的公式 规则公式法化简逻辑函数图解法 卡诺图 化简多输出函数的化简包含任意项的逻辑函数化简逻辑函数的变换 化简 第2章逻辑代数及逻辑函数化简 2 1逻辑代数的基本原理 逻辑代数的基本概念和性质是由英国数学家乔治 布尔在19世纪中期首先提出的 又叫布尔代数 是数字系统分析和设计的数学工具 逻辑函数的表示 真值表 表达式 逻辑图 卡诺图 波形图 逻辑函数的生成 逻辑问题的描述 由文字叙述设计要求 抽象为逻辑表达式的过程 然后化简 实现逻辑设计的第一步 逻辑函数 逻辑变量的取值 逻辑代数的基本运算 与 或 非1 与 运算 逻辑乘2 或 运算 逻辑加3 非 运算
2、 取反 2 1 1逻辑代数的基本运算 1 与 运算 当决定一事件的所有条件都具备之后 这事件才会而且一定会发生 称这种关系为 与 逻辑关系 也称为逻辑乘 如图 用两个串联的开关A B来控制一盏灯 灯亮的条件是开关A 与 开关B 同时 处在 合上 位置 假定 灯亮为 1 不亮为 0 开关 合上 为 1 断开 为 0 灯的状态和开关的位置之间的关系例表如 2 1 1逻辑代数的基本运算 1 与 运算 常用真值表来表示逻辑命题的真假关系 真值表 把所有的条件的全部组合以表格的形式列出来 再把在每一种组合下对应的事件的值求出来 这样的表格即为真值表 每个条件有 0 1 两种状态 n个条件有2n个组合 2
3、 1 1逻辑代数的基本运算 1 与 运算 两变量 与 运算的真值表和门电路符号 真值表 F A B A B AB 2 1 1逻辑代数的基本运算 2 或 运算 当决定一个事件的各个条件中 只要具备一个 事件就会发生 这样的关系称为 或 逻辑关系 或称逻辑加 如图 用两个并联的开关A B来控制一盏灯 灯亮的条件 只要开关A 或 开关B在 合上 位置 假定 灯亮为 1 不亮为 0 开关 合上 为 1 断开 为 0 把灯的状态和开关的位置之间的关系例表如下 2 1 1逻辑代数的基本运算 2 或 运算 F A B 真值表 1 F A B A B 2 1 1逻辑代数的基本运算 3 非 运算 就是否定 当决
4、定事件的一个条件不具备时 事件就会发生 条件具备时 事件不会发生 称这种关系为 非 逻辑关系 如图 用一个与灯并联的开关A来控制一盏灯 开关A在 合上 的位置时 灯不亮 开关A在 断开 的位置时 灯亮 假定 灯亮为 1 不亮为 0 开关 合上 为 1 断开 为 0 把灯的状态和开关的位置之间的关系例表如下 2 1 1逻辑代数的基本运算 3 非 运算 就是否定 逻辑反F A 1 非门 A是输入 F是输出 真值表 2 1 1逻辑代数的基本运算 真值表 与非门 实现 与非 逻辑 将基本的逻辑门加以组合 可以构成 与非 或非 与或非 异或 同或 等门电路 4 与非 运算 F AB 2 1 1逻辑代数的
5、基本运算 或非门 实现 或非 逻辑 真值表 5 或非 运算 F A B 2 1 1逻辑代数的基本运算 与或非门 实现 与或非 逻辑 6 与或非 运算 F AB CD 真值表 2 1 1逻辑代数的基本运算 异或门 实现 异或 逻辑 7 异或 运算 F AB AB A B 真值表 2 1 1逻辑代数的基本运算 异或门的组成 用基本逻辑门组成异或门 2 1 1逻辑代数的基本运算 同或门 实现 同或 逻辑 8 同或 运算 F AB AB A B 真值表 同或 异或 关系 常用的逻辑门及符号 2 1 2逻辑代数的基本公式 互补律 1律 0律 交换律 结合律 分配律 2 1 2逻辑代数的基本公式 吸收律
6、反演律 德 摩根定律 2 1 2逻辑代数的基本公式 包含律 推论 对合律 重叠律 2 1 2逻辑代数的基本公式 基本公式验证方法 真值表利用基本定理化简公式例 真值表验证摩根定律 2 1 2逻辑代数的基本公式 真值表利用基本定理化简公式例 证明包含律 2 1 2逻辑代数的基本公式 证明 基本定理 公式应用 证明 2 1 2逻辑代数的基本公式 2 1 3逻辑代数的基本规则 1 代入规则 任何一个含有变量A的逻辑等式 如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F 则等式仍然成立 2 反演规则 使用反演规则时 应注意保持原函式中运算符号的优先顺序不变 例如 已知 例如 已知 根据反演规则可得 2
7、1 3逻辑代数的基本规则 如果将逻辑函数F中所有的 变成 变成 0 变成 1 1 变成 0 原变量变成反变量 反变量变成原变量 得到的函数是原函数的反函数 求 2 反演规则 例题 已知 1 根据反演规则可得 求它的反函数 2 根据基本公式可得 比较两种方法 应用反演规则比较方便 2 1 3逻辑代数的基本规则 例题 求下列函数的反函数 2 反演规则 2 1 3逻辑代数的基本规则 3 对偶规则 求某一函数F的对偶式时 要注意保持原函数的运算顺序不变 2 1 3逻辑代数的基本规则 如果将逻辑函数F中所有的 变成 变成 0 变成 1 1 变成 0 则所得到的新逻辑函数是F的对偶式F 如果F 是F的对偶
8、式 则F也是F 的对偶式 即F与F 互为对偶式 对偶规则 若两个逻辑函数F和G相等 则其对偶式F 和G 也相等 函数的对偶的对偶式 为函数本身 3 对偶规则 例题 求下列函数的对偶式 2 1 3逻辑代数的基本规则 4 附加公式 2 1 3逻辑代数的基本规则 附加公式一 当包含变量x 的函数f和变量x相 与 时 函数f中的x均可由 1 代之 均可由 0 代之 当f和变量相 与 时 函数f中的x均可由 0 代之 均可由 1 代之 当包含变量x 的函数f和变量x相 或 时 函数f中的x均可由 0 代之 均可由 1 代之 当f和变量相 或 时 函数f中的x均可由 1 代之 均可由 0 代之 例题 若
9、化简函数 4 附加公式 2 1 3逻辑代数的基本规则 附加公式二 一个包含有变量x x的函数f 可展开为x f和x f的逻辑或 一个包含有变量x x的函数f 可展开为 x f 和 x f 的逻辑与 利用附加公式一 可以改写为 4 附加公式 2 1 3逻辑代数的基本规则 例题 化简函数 4 附加公式 2 1 3逻辑代数的基本规则 例题 化简函数 4 附加公式 2 1 3逻辑代数的基本规则 2 2逻辑函数的化简 逻辑函数化简的目的 省器件 用最少的门实现相同的逻辑功能 每个门的输入也最少 主要掌握 与或 表达式的化简 最简 与或 表达式 1 乘积项的个数最少 用门电路实现 所用与门的个数最少 2
10、在满足 1 的条件下 乘积项中的变量个数最少 与门的输入端最少 最简的目标不同 达到的效果也不同 如果功耗最小或者可靠性最高是目标 化简的结果完全不同 2 2 1公式法化简逻辑函数 1 合并乘积项法 分配律 结合律 互补律 互补律 例1 例2 反演律 2 吸收项法 2 2 1公式法化简逻辑函数 吸收律 例3 合并乘积项 异或 同或 吸收律 包含律 结合律 1律 包含律 例4 2 吸收项法 2 2 1公式法化简逻辑函数 例5 3 配项法 利用互补律 例6 2 2 1公式法化简逻辑函数 例7 求对偶式 得 化简对偶式 得 求对偶式 得 4 或与 表达式化简 2 2 1公式法化简逻辑函数 包含 配项 展开 合并 例8 2 2 1公式法化简逻辑函数 5 综合运用公式化简 续上页 吸收律 反演律 吸收律 2 2 1公式法化简逻辑函数 5 综合运用公式化简
