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1、 第四章晶体的宏观对称 对称的概念晶体对称的特点对称要素和对称操作对称型晶体的对称分类 一 对称的概念 Symmetry是宇宙间的普遍现象是自然科学最普遍和最基本的概念是建造大自然的密码是永恒的审美要素 晶体学 物体 或图形 中相同部分之间有规律的重复 对称的概念 晶体学 二 晶体对称的特点 由于晶体内部都具有格子构造 通过平移 可使相同质点重复 因此 所有的晶体结构都是对称的 晶体的对称受格子构造规律的限制 因此 晶体的对称是有限的 它遵循 晶体对称定律 晶体的对称不仅体现在外形上 同时也体现在物理性质上 因此 由以上可见 格子构造使得所有晶体都是对称的 格子构造也使得并不是所有对称都能在晶
2、体中出现的 晶体学 对称操作 symmetryoperation 能够使对称物体 或图形 中的等同部分作有规律的变换动作 对称操作 someactsthatreproducethemotiftocreatethepatternMotif thefundamentalpartofasymmetricdesignthat whenrepeated createsthewholepattern 三 晶体的宏观对称要素和对称操作 晶体学 对称要素 对称要素 symmetryelement 在进行对称操作时所凭借的辅助几何要素 点 线 面等 对称要素种类对称中心 centerofsymmetry 对称面
3、 symmetryplane 对称轴 symmetryaxis 旋转反伸轴 rotoinversionaxis 旋转反映轴 rotoreflectionaxis 对称要素的符号 晶体学 晶体学 对称要素之对称操作 对称操作 对应点的坐标变换 x y z X Y Z or 对称变换矩阵 对称要素符号 宏观晶体的对称要素 晶体学 晶体外形可能存在的对称要素和相应的对称操作如下 对称面 P操作为反映 可以有多个对称面存在 如3P 6P等 对称面 晶体学 对称面 m 对称操作之平面图解 对称面 mirror Reflectionacrossa mirrorplane reproducesamotif
4、symbolforamirror m 晶体学 对称面 m 之对称操作 对称面 mirror 变换矩阵 m m包含x y轴 晶体学 对称轴 Ln操作为旋转 其中n代表轴次 意指旋转360度相同部分重复的次数 旋转一次的角度为基转角 关系为 n 360 对称轴 晶体学 对称轴 Ln 之对称操作 对称轴二次 two foldrotation 360o 2rotationtoreproduceamotifinasymmetricalpattern ASymmetricalPattern 6 6 晶体学 对称轴 Ln 之对称操作 对称轴二次 two foldrotation 360o 2rotation
5、toreproduceamotifinasymmetricalpattern ASymmetricalPattern Motif Element Operation 6 6 thesymbolforatwo foldrotation 晶体学 对称轴 Ln 之对称操作 对称轴二次 two foldrotation 360o 2rotationtoreproduceamotifinasymmetricalpattern ASymmetricalPattern Motif Element 6 6 thesymbolforatwo foldrotation 第一步 第二步 晶体学 对称轴 Ln 之对称
6、操作 对称轴二次 two foldrotation 变换矩阵 ASymmetricalPattern 6 6 第一步 第二步 晶体学 对称轴 Ln 对称操作之平面图解 没有5 fold和 6 fold的 晶体学 变换矩阵 晶体的对称定律 由于晶体是具有格子构造的固体物质 这种质点格子状的分布特点决定了晶体中只能出现轴次 n 为一次 二次 三次 四次和六次的对称轴 而不可能存在五次及高于六次的对称轴 为什么呢 1 直观形象的理解 垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网 且不能毫无间隙地铺满整个空间 即不能成为晶体结构 晶体学 晶体对称定律 2 数学的证明方法为 A1 A2 A3 A4
7、B1 B2为晶体中的阵点 相隔为a 若B1B2 maa 2acosa macosa m 1 2 1m 3 2 1 0 1a 0 60 90 120 180n 1 6 4 3 2 但是 在准晶体中可以有5 8 10 12次轴 晶体学 对称中心 C操作为反伸 只可能在晶体中心 只可能一个 总结 凡是有对称中心的晶体 晶面总是成对出现且两两反向平行 同形等大 对称中心 晶体学 对称心之对称操作 对称心 C 1 假想的几何点 相对于这个点的反伸 x y z x y z 变换矩阵 晶体学 旋转反伸轴 Lin操作为旋转 反伸的复合操作 具体的操作过程 旋转反伸轴 晶体学 晶体学 旋转反伸轴 Lin 之对称
8、操作 旋转反伸轴围绕直线旋转一定的角度和对于一定点的反伸 对称轴 对称心变换矩阵 种类Li1 CLi2 PLi3 L3 CLi4Li6 L3 P 晶体学 旋转反伸轴 Lin 对称操作之图解 晶体学 值得指出的是 除Li4外 其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替 其间关系如下 Li1 C Li2 P Li3 L3 C Li6 L3 P但一般我们在写晶体的对称要素时 保留Li4和Li6 而其他旋转反伸轴就用简单对称要素代替 这是因为Li4不能被代替 Li6在晶体对称分类中有特殊意义 旋转反伸轴 晶体学 四 32个对称型 晶体形态中 全部对称要素的组合 称为该晶体形态的对称
9、型或点群 一般来说 当强调对称要素时称对称型 强调对称操作时称点群 为什么叫点群 因为对称型中所有对称操作可构成一个群 符合数学中群的概念 并且在操作时有一点不动 所以称为点群 根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律 推导出晶体中可能出现的对称型 点群 是非常有限的 仅有32个 晶族 crystalcategory 的划分根据高次轴的有无及多少而将晶体划分为三个晶族高级晶族 highercategory 中级晶族 intermediatecategory 低级晶族 lowercategory 问题 什么是高次轴 最多有多少高次轴 晶体学 五 晶体的对称分类 1 晶族 晶系 晶类的划分 见表3
10、 4 晶体的对称分类 晶系 crystalsystem 的划分根据对称轴或旋转反伸轴轴次的高低以及它们数目的多少 总共划分为如下七个晶系 分属于三个晶族等轴晶系 isometricsystem 又称立方晶系 cubicsystem 六方晶系 hexagonalsystem 四方晶系 tetragonalsystem 三方晶系 trigonalsystem 斜方晶系 orthorhombicsystem 亦称正交晶系单斜晶系 monoclinicsystem 三斜晶系 triclinicsystem 晶体学 2 对称型的国际符号 对称型的国际符号很简明 1 它不将所有的对称要素都写出来 2 并且
11、可以表示出对称要素的方向性 3 但它不容易看懂 特点 凡是可以派生出来的对称要素都省略了 对称轴以1 2 3 4 6表示 对称面以m表示 旋转反伸轴以1 2 3 4 6表示 若对称面与对称轴垂直 则两者之间以斜线或横线隔开 如L2PC以2 m表示 L4PC以4 m表示 由此可以看出 对称中心C就不必再表示出来了 因为偶次轴垂直对称面定会产生一个C 晶体学 具体的写法为 设置三个序号位 最多只有三个 每个序号位中规定了写什么方向上的对称要素 对称意义完全相同的方向上的对称要素 不管有多少 只写一个就行了 不同晶系中 这三个序号位所代表的方向完全不同 所以 不同晶系的国际符号的写法也就完全不同 对称型的国际符号 晶体学 点群的国际符号 4 mmm 1 2 3 1 1 2 3 3 2 表4 2 晶体学
