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1、（河北专版）2017中考数学第三编综合专题闯关篇题型二解答题重难点突破专题一猜想证明与探究试题题型二解答题重难点突破专题一猜想证明与探究1猜想与证明问题河北中考近8年共考查8次，为每年必考内容，都是以解答题的形式出现，分值为914分2考查类型：(1)与图形的位似有关，探究两条边之间的关系，此类题在2012年考查过一次，主要是利用三角形的性质来解决，分值为9分；(2)与尺规作图有关，利用正方形的性质探究边与边之间的关系，其中有一问会涉及到如何作图，此题在2011年考查过一次，分值为9分；(3)与旋转有关，主要是利用旋转前后的性质，分别涉及到直线和正方形，在2010年和2009年考查过，分值为10
2、分，在2013年考查过，分值为11分；(4)折叠问题主要是折叠过程中对图形变化具体情况的分析，此题在2014年考查过，分值为11分；与图形的折叠、平移有关，2015年考查，分值14分，平移问题主要是用到了平移前后的性质和三角形的性质，探究边与边之间的关系，在2008年考查过，分值为10分.2016年在此题型上来考查预计2017年河北中考很有可能考查此内容，在训练时多做涉及利用三角形全等、三角形相似等有关的知识的综合题,中考重难点突破)与图形旋转有关的证明【经典导例】【例1】(2010河北中考)在图至图中，直线MN与线段AB相交于点O，1245.(1)如图，若AOOB，请写出AO与BD的数量关系
3、和位置关系；(2)将图中的MN绕点O顺时针旋转得到图，其中AOOB.求证：ACBD，ACBD；(3)将图中的OB拉长为AO的k倍得到图，求的值【学生解答】(1)AOBD，AOBD；(2)如图，过点B作BECA交DO于点E，ACOBEO.又AOOB，AOCBOE，AOCBOE，ACBE.又145，ACOBEO135.DEB45，245，BEBD，EBD90.ACBD.延长AC交DB的延长线于点F，BEAC，AFD90，ACBD；(3)如图，过点B作BECA交DO于点E，BEOACO.又BOEAOC，BOEAOC.又OBkAO，由(2)的方法易得BEBD，k.【方法指导】(1)在探索两线段的数量关
4、系时常以三角形全等或者相似为工具，由对应角的关系得到两线段相等或者对应成比例有时需先进行等量代换，将两线段放到相似三角形或全等三角形中，若出现直角三角形，则利用直角三角形的性质求解(2)两线段的位置关系通常为平行或垂直先观察图形，根据图形先推测两线段的位置关系是平行或垂直若平行，则常通过以下方法进行证解：平行线的判定定理；平行四边形对边平行；三角形中位线性质等若垂直，则可考虑以下途径：证明两线段所在直线夹角为90；两线段是矩形的邻边；两线段是菱形的对角线；勾股定理的逆定理；利用等腰三角形三线合一的性质等方式证明1(2015重庆中考)在ABC中，ABAC，A60，点D是线段BC的中点，EDF12
5、0，DE与线段AB相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F.(1)如图1，若DFAC，垂足为点F，AB4，求BE的长；(2)如图2，将(1)中的EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.求证：BECFAB；(3)如图3，将(2)中的EDF继续绕点D顺时针旋转一定的角度，使DF与线段AC的延长线交与点F，作DNAC于点N，若DNFN，求证：BECF(BECF)解：(1)由四边形AEDF的内角和为360，可知DEAB，故BE1；(2)取AB的中点G，连接DG.易证：DG为ABC的中位线，故DGDC，BGDC60，又四边形AEDF的对角互补，故GEDDFC.DEGD
6、FC，故EGCF.BECFBEEGBGAB；(3)取AB的中点G，连接DG，同(2)，易证DEGDFC，故EGCF，故BECFBEEGBGAB.设CNx，在RtDCN中，CD2x，DNx，在RtDFN中，NFDNx，故EGCF(1)x.BEBGEGDCCF2x(1)x(1)x.故BECF(1)x(1)x2x.(BECF)(1)x(1)x2x.故BECF(BECF)2(2016河北中考)如图，OAB中，OAOB10，AOB80，以点O为圆心，6为半径的优弧分别交 OA，OB于点M，N.(1)点P在右半弧上(BOP是锐角)，将OP绕点O逆时针旋转80得OP.求证：APBP；(2)点T在左半弧上，若
7、AT与弧相切，求点T到OA的距离；(3)设点Q在优弧上，当AOQ的面积最大时，直接写出BOQ的度数解：(1) AOPAOBBOP80BOP，BOPPOPBOP80BOP，AOPBOP，又OAOB，OPOP，在AOP和BOP中，AOPBOP(SAS), APBP；(2)如图1，连接OT，过点T作THOA于点H, AT与相切，ATO90，AT8，OATHATOT, 即10TH86，即TH，T，即为所求的距离；(3)如图2，当OQOA时，AOQ的面积最大理由：OQOA, QO是AOQ中最长的高，则AOQ的面积最大， BOQAOQAOB9080170， 当Q点在优弧 右侧上，OQOA, QO是AOQ中
8、最长的高，则AOQ的面积最大， BOQAOQAOB908010， 综上所述：当BOQ的度数为10或170时，AOQ的面积最大. 3(2016廊坊二模)如图，已知ABC是等腰直角三角形，BAC90，点D是BC的中点作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG.(1)试猜想线段BG和AE的数量关系是_；(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转(0360)判断(1)中的结论是否仍然成立？请利用图证明你的结论；若BCDE4，当AE取最大值时，求AF的值解：图(1)AEBG；(2)成立，BGAE.如图，连接AD.在RtBAC中，ABAC，D为斜边BC的中点，ADBD，ADBC，ADG
9、BDG90.四边形EFGD为正方形，DEDG，且GDE90，ADGADE90，BDGADE.在BDG和ADE中，BDGADE(SAS)，GDAE；图BGAE，当BG取得最大值时AE取得最大值，如图，当旋转面为270时，BGAE.BCDE4，D为BC的中点，四边形DEFG为正方形，BDCDBC2，EFDGDE4，BGBDGD246，AEBG6，AF2.4(2016沧州八中模拟)如图，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中C90， BE30.(1)操作发现如图，固定ABC，使DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：线段DE与AC的位置关系是_；设BDC的面积为S1，AEC
10、的面积为S2，则S1与S2的数量关系是_(2)猜想论证当DEC绕点C旋转到图所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了BDC和AEC 中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想(3)拓展探究已知ABC60，点D是其角平分线上一点，BDCD4，DEAB交BC于点E(如图)若在射线BA上存在点F，使SDCFSBDE, 请直接写出相应的BF的长解：(1)DEAC；S1S2；(2)如图：DEC是由ABC绕点C旋转得到，BCCE，ACCD.ACNBCN90，DCMBCN1809090，ACNDCM，在ACN和DCM中，ACNDCM(AAS)，ANDM，又BCCE，BDC的
11、面积和AEC的面积相等(等底等高的两个三角形面积相等)，即S1S2；(3)BF或.5(2016岳阳中考)已知直线mn，点C是直线m上一点，点D是直线n上一点，CD与直线m、n不垂直，点P为线段CD的中点(1)操作发现：直线lm，ln，垂足分别为A，B，当点A与点C重合时(如图所示)，连接PB，请直接写出线段PA与PB的数量关系：_；(2)猜想证明：在图的情况下，把直线l向上平移到如图的位置，试问(1)中的PA与PB的关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由(3)延伸探究：在图的情况下，把直线l绕点A旋转，使得APB90(如图所示)，若两平行线m、n之间的距离为2k.求证：PAP
12、BkAB.解：(1)PAPB；(2)成立证明略；(3)证明略与图形的相似、位似有关的证明【经典导例】【例2】(2014河北中考)如图，点E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的EAB和EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧(1)AE和ED的数量关系为_，AE和ED的位置关系为_；(2)在图中，以点E为位似中心，作EGF与EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到了图和图.在图中，点F在BE上，EGF与EAB的相似比是12，H是EC的中点求证：GHHD，GHHD.在图中，点F在BE的延长线上，EGF与EAB的相似比是k1，若BC2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得
13、GHHD且GHHD.(用含k的代数式表示)【解析】(1)由ABEDCE可得，AEDE.由ABBEECCD，可知AEBDEC45，所以AED90，故AEED；(2)由HGFDHC可证GHHD，GHHD；由BC2，可知BEEC1，又EFk，当CHk时可得CHFGk，从而证明HFGDCH，得到GHHD，GHHD.【学生解答】(1)AEED，AEED；(2)由题意，BC90，ABBEECDC.EGF与EAB位似且相似比是12，GFEB90，GFAB，EFEB.GFEC.EHHCEC.GFHC，FHFEEHEBECBCECCD.HGFDHC.GHHD，GHFHDC.又HDCDHC90，GHFDHC90，GHD90，GHHD；CH的长为k.GHHD，GHHD，FHGDHC90，FHGFGH90，FGHCHD，GFHHCD(AAS)，CHFG，EFFG，EFCH，EGF与EAB的相似比是k1，BC2，BEEC1，EFk，CH的长为k.6(2016河北石家庄四十二中模拟)(1)如图，已知EAC9
