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1、目 录引言11叠加原理在电磁学中的应用11.1电场强度的分析计算11.2磁感应强度的分析计算31.3叠加原理的应用技巧42根据叠加原理计算线性电路的电流电压53叠加原理在数学物理问题中的应用73.1弦的自由振动73.2弦的受迫振动74叠加原理在波动光学中的运用85叠加原理在量子力学中的应用96叠加原理的数学基础10结束语11参考文献：11英文摘要.12致谢12叠加原理在物理学中的应用 摘 要：叠加原理是物理学中的基本原理之一,对物理学的研究起着极其重要的作用。但在物理学中叠加原理并不是一条普遍的原理,只有当描写物质运动的微分方程是线性方程时,才可应用叠加原理进行分析计算。本文列举叠加原理在电场
2、中电场强度的计算、磁场中磁感应强度的计算、数学物理问题的求解、电路分析和光的波动特点的描述,以及量子力学态叠加原理及相关问题的讨论计算等等,最后对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理在应用方面的思维方法与灵活技巧的理解。关键词：叠加原理；应用；数学基础；线性方程引言所谓叠加原理是指：几种不同原因综合所产生的总效果，等于这些不同原因单独存在时产生效果的总和1。自然界中有许多现象尤其是物理现象具有明显的叠加性，在解决与这些现象的有关实际问题时应用叠加原理会使问题易于解决，同时叠加原理为解决这些问题提供了简便方法。本文在总结分析叠加原理在电磁学、电路分析、数学物理问题、波动光学及
3、量子力学中应用的基础上，对叠加原理的数学基础及适用范围予以讨论，从而加深对叠加原理的认识理解，以便今后更好的加以应用。1叠加原理在电磁学中的应用电场中的电场力、电场强度、电势、介质极化强度、电位移矢量，磁场中的磁场力、磁感应强度、磁场强度等等物理量的分析计算都可应用叠加原理使问题简化1。若所求量为标量则直接相加减，若为矢量其叠加则服从平行四边形定则。通常利用对称性将矢量分解在两个相互垂直的方向上，化矢量叠加为标量叠加简化计算，当其中某一方向分量的大小相等方向相反相互抵消时，就转化为一个方向的标量叠加。1.1电场强度的分析计算大家熟知，一个半径为R，带电量为q的均匀带电圆环2，可以看成许许多多线
4、元的叠加，而任一线元在轴线上一点产生的电场强度为一矢量，方向沿径向（），根据其电场的对称性分析知场强只有沿轴向分量，因而将矢量叠加退化成标量叠加，由电荷的场强公式叠加求积分得轴线上一点的场强为 (1.1)若求轴线上一点电势则可直接将点电荷电势公式求积分而得 (1.2)我们在应用叠加原理解决电场、磁场问题时，要注重思维的发散性，方法的灵活性，体现叠加的灵魂与思想。如用上述方法求得均匀带电的圆弧在其中心点产生的电场强度为 (1.3) yEEEExEyxOOyxE(a)0a(b)0a(c)0a图1.1 叠加原理应用的灵活性其中为电荷线密度，如图所示：则均匀带电半圆环y轴分量相互抵消，中心点的；均匀带
5、电圆环为零，由公式（1.1）令z=0同样得。若把均匀带电圆盘看成是一个个细圆环的叠加，则由公式（1.1）积分得圆盘轴线上一点的场强为 (1.4)若许许多多这样的圆盘叠加起来可以组成一个均匀带电球体，亦可求积分得其产生的场的分布。广而推之这样的叠加思想可以用下面的积分公式统一表示， （1.5）1.2磁感应强度的分析计算zxROIy图1.2 载流导线的磁感应强度无穷长导线载有电流I，在中间弯成一半径为R的半圆弧，其余部分则与圆的轴线平行，如图所示，圆弧中心O的磁感应强度等于两半无穷长直线与半圆电流在圆心处产生的磁感应强度3的叠加。根据Biot-Savart定律和对称性，两段直线电流在O点产生的磁感
6、应强度大小相等，方向相同，都沿图中z轴方向。每一段所产生的B1大小为 （1.6）半圆电流在O点产生的磁感应强度B2方向沿x轴负方向。其大小为 （1.7）于是得所求的磁感应强度为 （1.8）B与x轴的夹角为 （1.9）类似的问题有许多，我们不再重复，而叠加原理作为一种基本方法其在应用中的简洁性、技巧性同样值得我们深刻灵活的加以理解应用。1.3叠加原理的应用技巧电偶极矩为的电偶极子，在空间任一点产生电场强度的计算，若在球坐标下由点电荷场强公式与叠加原理去计算，数学化解过程相当复杂，用到的数学知识也有一定的难度，但若将原来电偶极子在P点产生的电场强度，看成是两个相互垂直的电偶极子（电偶极矩分别为和）
7、在P产生的电场强度和的叠加，则可极大的简化计算过程降低计算难度。EQP2+q-qP1ElPE图1.3 电偶极子的场强如图所示，P点到电偶极子中心的距离为r,r与的夹角为,其中 (1.10)这样就可以利用电偶极子延长线和中垂线上的场强公式进行计算。其中延长线上离电偶极子中心O为r处的电场强度大小为 (1.11)中垂线上离电偶极子中心O为r处的电场强度大小为 (1.12)电偶极矩为的电偶极子在P点产生的电场强度沿r方向上，大小为 (1.13)电偶极矩为的电偶极子在P点产生的电场强度沿垂直r方向上，大小为 (1.14)P点的合成电场强度的大小为 (1.15)的夹角为 (1.16)2根据叠加原理计算线
8、性电路中的电流电压求解线性电路时，一般应用电路分析的基本定律基尔霍夫定律求解，但对于一些有几个电源共同作用的线性电路4，应用叠加原理求解更易理解且可简化计算。应用叠加原理时，各支路的电流(或电压)等于各个电源分别单独作用时在该支路产生的电流(或电压)的代数和(叠加)。考虑任一独立源单独作用下,其它独立源应视为零值,即独立电压源用短路代替,独立电流源用开路代替,而全部受压源则应该保留。应用叠加时要注意电流或电压的参考方向，正确选取各分量的正负号5。用基尔霍夫定律和叠加性求解电路问题各有其优缺点，用基尔霍夫定律求解根据回路个数列方程便于求解回路个数较少的电路，而用叠加原理求解根据独立源个数列方程，
9、对于独立源较少而回路个数较多的复杂电路用叠加原理求解更简便。若计算如图2.1所示电路中各支路电流。已知=10V，=6V，=10W，=90，=0.1，=0.2。通常由基尔霍夫方程联立求解： （2.1）得各支路电流或电压，这样解方程组数学运算较复杂，尤其是对于支路回路数较多I1R1R2R3R4E1I2I3 +E2 -I1R1R2R3R4E1I2I3I1R1R2R4I2R3I3 +E2 -（a）（b）（c）图2.1 原电路及电源单独作用时的电路的复杂电路就更复杂了，一旦数学计算上出错，则全盘皆输。而由叠加原理，和单独作用时的电路，如图2.1（b）、（c）所示。根据图（b）可由电路欧姆定律求得单独作用
10、时各支路的电流，即 （2.2）根据图（c）可由欧姆定律得由分流公式求得单独作用时各支路的电流，即 （2.3）由叠加原理得： （2.4） 同理可求得： （2.5）由上述分析可联想到对于有较少电源作用的复杂线性电路只需求某一支路的电流时，应用叠加原理及基本电路定律就可便洁地解决问题。3叠加原理在数学物理问题中的应用3.1弦的自由振动研究两端固定的均匀弦的自由振动5，即定解问题泛定方程 （3.1） 边界条件 （3.2）初始条件 （3.3）利用分离变量法令可得，（n=1,2,3,） （3.4）以上是满足振动方程和边界条件的线性独立的特解，由于方程和边界条件都是线性齐次的，本征振动的线性叠加 （3.5）
11、仍然满足方程和边界条件，这就是一般解，其中为任意常数，由初始条件确定， （3.6）至此，定解问题已解决。3.2弦的受迫振动 若受外力作用的受迫振动6，其泛定方程为 （3.7）为了研究方便设弦的初位移、初速度均为零，只受外力的扰动，定解条件为 （3.8）由（3.7）表明，作用在每单位长弦上的外力为 （3.9）根据叠加原理，把持续作用力看成许许多多前后相继的“瞬时”力的叠加，从时刻零持续作用到时刻t的振动，就等于“瞬时”力引起的振动的叠加，每个“瞬时”力作用时间为，作用在x点的冲量为，可用函数表示“瞬时”力为，那么我们就得到则（3.7），（3.8），（3.9）的定解问题就转化为（3.10）的定解问
12、题可以这样求出，“瞬时”力在时刻（比略大的时刻）以后不起作用，这样，“瞬时”力的作用只视为使系统带有一个冲量，这个冲量使系统初速度不再为零，定解问题为： （3.11）原定解问题已化为齐次方程可用分离变量法或傅立叶级数法求解。这种方法用到冲量定理所以又叫冲量定理法。若初始条件不为零，可利用叠加原理，把u分解为之和，其中的初始条件是非零值，但方程是其次的，可用分离变量法求解；的方程是非齐次的，但初始条件为零值，可用冲量定理法求解。求解拉普拉斯6方程时，利用分离变量法把偏微分方程分解为几个常微分方程，自变量各自分离开来，另代入齐次边界条件把其转化为常微分方程的附加条件，这些条件和相应的常微分方程构成本征问题，求得线性独立的特解。所求确定解为本征特解的叠加，最后利用初始条件确定叠加系数。求解泊松方程时，可任取方程的一个特解v，然后令u=v+w，这就把问题转化成求解w,而这不再是泊松方程而是拉普拉斯方程。4叠加原理在光学中的运用光的波动满足的方程波动方程是线性方程，因此光波也遵从叠加原理，当几个波相遇时,在相遇处的总位移是它们各自独立在该处所产
