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1、上次课主要内容上次课主要内容 质点动量定理质点动量定理 00 dvmvmpptFI t to rrrr rr 质点系的动量定理质点系的动量定理 ppptF t t i rrr r 0 0 d 动量守恒定律动量守恒定律 iiv mp rr 0 i F r 当时 常矢量 当时 常矢量 质心的位矢质心的位矢 i i i ii m rm r r r c m mr r d d c r r c c d d am t v mF i i r r r 质心运动定理质心运动定理 一 火箭推力一 火箭推力 222 ddd d mumvmuvv 喷气喷气的动量变化 的动量变化 2 ddmutF 喷气受力 喷气受力 t
2、 m uF d d 2 2 1 4 火箭的运动火箭的运动 设设 t 时刻 火箭质量为时刻 火箭质量为 m1 速度为 速度为 v 向 上 向 上 在 在 dt 内 喷出气体内 喷出气体 dm2 喷气相对 火箭的速度 喷气相对 火箭的速度 称称喷气速度喷气速度 为为 u 向下向下 由动量定理 由动量定理 t m uFP d d 2 箭体受到喷气的推力 箭体受到喷气的推力 t dt 2 dm 21 dmm v dv u z o t 1 m v 二 箭体运动方程二 箭体运动方程 对箭体和喷气组成的系统对箭体和喷气组成的系统 设受外力设受外力F vmuvvm vvmmtF 12 21 d d d d d
3、 21 ddmuvm t m u t v mF d d d d 2 1 t m uFp d d 2 Q t v mFF P d d 1 t dt 2 dm 21 dmm v dv u z o t 1 m v 21 ddmm F r t v mFF P d d 1 12 ddmm Q t m u t v mF d d d d 1 1 箭体运动方程箭体运动方程可适用于所有质量流动物体的动力学问题 可适用于所有质量流动物体的动力学问题 0 FFP时 加速上升 时 加速上升 注意 注意 dm1可正可负 当可正可负 当dm1取负时 表明物体质 量减小 取负时 表明物体质 量减小 宇宙飞船以初速宇宙飞船以
4、初速 0 v 在宇宙尘埃中飞行 飞船质量为在宇宙尘埃中飞行 飞船质量为 0 m 前表面积为 前表面积为S 尘埃密度为 尘埃密度为 假设宇宙尘埃在飞船上的淀积速率 假设宇宙尘埃在飞船上的淀积速率Sv t m d d 求飞船 的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系 求飞船 的速度与其在尘埃中飞行的时间的关系 例 例 0 d d d d t m u t v mF vu m m vv 0 0 动量守恒 动量守恒 0 d d Svv t v m 0 d d 00 Svv t v m vm Stvmm vm v 00 2 0 00 2 解 解 三 火箭的速度公式三 火箭的速度公式 只计重力 只计重力 gmF
5、1 t m u t v m d d d d 1 1 gt m m uv 1 10 ln 1 10 1 1 00 d dd m m vt m m uvtg 1 10 ln m m uvgt 设设t 0时 时 v 0 m1 m10 任一时刻 任一时刻t 时为时为v和和m1 50 min110 mm min1 10 max ln m m uv 1 u min1 10 2 m m 若若u 4000 m s m10 m1 min 15 v 10 8 km s 提高火箭速度的途径 提高火箭速度的途径 当当 v0 0 u 2000 m s 时 要达到第一宇宙速度时 要达到第一宇宙速度 v v1 7 9 km
6、 s 须有 须有 1 10 ln m m uv 不计重力 不计重力 齐奥尔科夫斯基公式齐奥尔科夫斯基公式 如美国发射如美国发射 阿波罗阿波罗 登月飞船的登月飞船的 土星五号土星五号 运载 火箭 运载 火箭 N1 16 u1 2 9 km s N2 14 N3 12 u2 3 4 km s 则有 则有 v 28 5 km s 考虑重力和阻力 后仍大于第二宇宙速度 足够完成登月 考虑重力和阻力 后仍大于第二宇宙速度 足够完成登月 11 lnNuv ln ln 323212 NuvvNuvv 最终速度 最终速度 ln ln 321 NNNuNuv i i 采用采用多级火箭多级火箭技术 设 技术 设N
7、1 N2 N3 为各级火箭的质量比 为各级火箭的质量比 END 神州五号神州五号 运载火箭 长征 运载火箭 长征2号号F CZ 2F 两级捆绑式运载火箭两级捆绑式运载火箭 2 2 功和能功和能 一 功一 功 功是度量能量转换的基本物理量 它描写了 力对空间的积累效应 功是度量能量转换的基本物理量 它描写了 力对空间的积累效应 rFA r cos F v r v 变力的功 变力的功 焦耳 焦耳 J 恒力的功 恒力的功 rF r r iiii rFA r cos ii i i rFA r cos i i i rF r r i i r r r F i aaa zyxa bbb zyxb 2 2 1
8、功 动能定理功 动能定理 zFyFxFrFA zyx ddddd r r b a b a b a y y z z zy x x x zFyFxFAddd b a b a rFrFA rr r dd t 直角坐标系 自然坐标系 直角坐标系 自然坐标系 2 与参照系无关 位移与参照系有关 故与参照系无关 位移与参照系有关 故 A与参照系有关 与参照系有关 F r 1 一般情况下 功与力和路径有关一般情况下 功与力和路径有关 b a b a sFrFAdcosd r r zyx AAA b a b a sFsFdcosd t 说明 S S o o t1 A B u o t2 r r r r rrr
9、rrr 0 rrr rrr 0 0 r r 位移与参照系有关位移与参照系有关 4 平均功率 平均功率 t A P vF t rFr r r r d d 瞬时功率 瓦特 瞬时功率 瓦特 W J s 3 质点所受合力的功等于各分力的功的代数和 质点所受合力的功等于各分力的功的代数和 b a i i rFA r r d i i i b a i ArF r r d t A P d d sincosmgF sincostan t mgmgF rgmA mg rr d 解 解 tanmgF cos1 mgl sFrFAFdd t r r cos1 mgl 变力 恒力 曲线运动 变力 恒力 曲线运动 例例
10、小球在水平变力作用下缓慢移动 即在所有位 置上均近似处于力平衡状态 直到绳子与竖直方向成 小球在水平变力作用下缓慢移动 即在所有位 置上均近似处于力平衡状态 直到绳子与竖直方向成 角 求 角 求 1 的功 的功 2 重力的功 重力的功 F r F r m l F r gm r 0 d sinlmg 0 d sinlmg jjiiij rFrFA r r r r ddd 二 内力的功二 内力的功 jiij rrr rrr ijij rFA r r dd 相对元位移相对元位移 dd jiij rrr rrr j r r d j b r Fij r F ji ij r r i r r d r r i
11、 j r r i b j a i a O i j 一对内力的功 一对内力的功 r rij i r r d j r r d ijij rr rr d ij r r d 相对位矢相对位矢 d jiij rrF rr r dd jiij rrF rr r 质点系内 内力是成对出现的 质点系内 内力是成对出现的 1 系统内一对内力的功一般不为零 系统内一对内力的功一般不为零 2 一对内力做功之和与所选的参照系无关 一对内力做功之和与所选的参照系无关 ijij rr rr Qd 与参照系无关 与参照系无关 0dd ff ij rFA r r 0dd NN ij rFA r r ij rF r r Qd
12、N 一对摩擦力做功一对摩擦力做功 Af f l 地面系 木块系 子弹系地面系 木块系 子弹系 i j r rij ij r r df F r f F r N F r N F r v r ij r r ijij rr rr d sl 子弹 木块 子弹 木块 说明 ijij rFA r r dd 三 质点的动能定理三 质点的动能定理 sFrFAdcosdd r r t v mmaF d d cos t s t v msFAd d d dcosd 设质点设质点m在力的作用下沿曲线从在力的作用下沿曲线从a点移动到点移动到b点 总功 点 总功 2 1 dd v v vmvAA r r d F r b a
13、 1 v r 2 v r 元功 元功 vmvd ab EEvvm kk 2 1 2 2 2 1 质点的动能定理 质点的动能定理 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量 合外力对质点所做的功等于质点动能的增量 ab EEmvmvA kk 2 1 2 2 2 1 2 1 0 kkab EEA k EA 3 应用 应用 1 合外力的功是动能变化的量度 合外力的功是动能变化的量度 k EA与参考系有关 动能定理只在与参考系有关 动能定理只在惯性系惯性系中成立 中成立 2 dd k ErF r r t E vF d d k r r 4 微分形式 微分形式 ab EEA kk 0 说明 例例 质量质量 m
14、 长长 l 的均匀链条 一部分放在光滑桌面上的均匀链条 一部分放在光滑桌面上 另一部分从桌面边缘下垂另一部分从桌面边缘下垂 下垂部分长下垂部分长 b 假定开始时链 条静止 求链条全部离开桌面瞬间的速度 假定开始时链 条静止 求链条全部离开桌面瞬间的速度 解法一 由动能定理 解法一 由动能定理 2 d dd d xgmxgmA xx x O gmx r x l m mx l b x xgmAd 2 22 bl l mg 0 2 1 2 mv lblgv 22 l b xgx l m d xgmxd 由牛顿定律由牛顿定律 gm l xr T r a ma l x Tmg l x ma l xl T g l x a t v a d d x v vg l x d d xx l g vv l b v dd 0 lblgv 22 也可由机械能守恒定律计算 也可由机械能守恒定律计算 解法二 解法二 gm l xlr N r T r a t x x v d d d d x v v d d 作业作业 P160 习题习题 2 11 12 15 16 18
