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1、第三章 向量复习题一、填空题：1.当_时，向量线性无关.3. 如果线性无关，且不能由线性表示，则 的线性 无关4. 设 , ，当 时，线性相关.5. 一个非零向量是线性 无关；的，一个零向量是线性 相关的.6. 设向量组A: 线性无关，线性 相关7. 设为阶方阵，且， 是AX=0的两个不同解，则一定线性 相关8. 向量组能由向量组线性表示的充分必要条件是 等于 。(填大于，小于或等于)9.设向量组 , ,线性相关，则的值为 。 二、选择题： 1. . 阶方阵的行列式,则的列向量（ A ）线性相关线性无关2. 设为阶方阵，则的行向量中（A ） A、必有个行向量线性无关 B、任意个行向量构成极大线
2、性无关组 C、任意个行向量线性相关 D、任一行都可由其余个行向量线性表示3. 设有维向量组（）：和（）：，则（ B ） A、向量组（）线性无关时，向量组（）线性无关 B、向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关C、向量组（）线性相关时，向量组（）线性相关D、向量组（）线性无关时，向量组（）线性相关4. 下列命题中正确的是( C ) (A)任意个维向量线性相关 (B)任意个维向量线性无关(C)任意个 维向量线性相关(D)任意个维向量线性无关5. 向量组线性相关且秩为s，则( D )（A）(B) (C) (D) 6. 维向量组 (3 s n）线性无关的充要条件是（ B ）.(A）中任意两个向量都线
3、性无关(B) 中任一个向量都不能用其余向量线性表示(C) 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D) 中不含零向量7. 向量组线性无关的充要条件是（D ） A、任意不为零向量 B、中任两个向量的对应分量不成比例 C、中有部分向量线性无关 D、中任一向量均不能由其余n-1个向量线性表示8. 设为阶方阵，则的行向量中（A ） A、必有个行向量线性无关 B、任意个行向量构成极大线性无关组 C、任意个行向量线性相关 D、任一行都可由其余个行向量线性表示9. 设为阶方阵，且秩是非齐次方程组的两个不同的解向量,则的通解为( C )A、 B、 C、 D、10. 已知向量组的秩为2，则（ A）.A、3 B、-
4、3 C、2 D、-211. 设为阶方阵，则的行向量中（ A ） A、必有个行向量线性无关 B、任意个行向量构成极大线性无关组 C、任意个行向量线性相关 D、任一行都可由其余个行向量线性表示12. 设向量组A: 线性无关，则下列向量组线性无关的是（C ） A、， B、，C、，D、，14. 已知向量组A 线性相关，则在这个向量组中(C )(A)必有一个零向量 .(B)必有两个向量成比例 .（C)必有一个向量是其余向量的线性组合 .(D)任一个向量是其余向量的线性组合 .15. 设为阶方阵，且秩,是非齐次方程组的两个不同的解向量, 则 的通解为 ( )（A） （B) （C) (D) 16. 已知向量
5、组 线性相关， 则（C ） （A）该向量组的任何部分组必线性相关 .（B) 该向量组的任何部分组必线性无关 .（C) 该向量组的秩小于 . (D) 该向量组的最大线性无关组是唯一的. 17已知则 ( C )（A） 线性无关 （B) 线性相关（C) 能由 线性表示 (D) 能由 线性表示18. 若有 则k 等于(A) 1 (B) 2 (C) (D) 4第三题 计算题： 1. 已知向量组（1）求向量组的秩以及它的一个极大线性无关组；（2）将其余的向量用所求的极大线性无关组线性表示。解: ： 其极大线性无关组可以取为且：，2. 求向量组： a ，a，的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.解：由
6、题意， 故向量组A的一个极大无关组为，其中 3. 设1) a为何值时, 线性无关.2) a为何值时, 线性相关.4. 求向量组的极大无关组，并把其余向量用极大无关组线性表示.解 第一步先用初等行变换把矩阵化成行 (最简形) 阶梯形矩阵 即，或均为的极大无关组，记，由矩阵F可见，则有.5. 已知，问为何值时，可由唯一线性表示？并写出表示式解 （1） 当时，线性相关. 当时，线性无关.班级（学生填写）： 姓名： 学号： -密-封-线- （答题不能超出密封线）7. 求向量组: ，的一个极大无关组，并将其余向量由它线性表示.解：由题意， 故向量组A的一个极大无关组为，其中，8. 试求向量组=(1,1,
7、2,2)T,=(0,2,1,5)T,=(2,0,3,-1)T,=(1,1,0,4)T的秩和该向量组的一个最大无关组，并将其他向量用此最大无关组表示。解:以,作为列构造矩阵A,即A=(,) 用初等行变换化A为行阶梯形矩阵T,则T的非零行的行数r即为R(A),再化T为行最简形T0,则T0中任意r个线性无关的向量所对应的向量组即为该向量组的最大无关组. A=(,)=T, 所以R(A)=3. 故R(,)=3. 四、证明题：（10分）1、 设向量组：线性无关，求证：，线性无关.证明：设存在数，使成立。 由得，。2分 线性无关 4分 ，线性无关.2.已知向量组线性无关，线性无关.证：因为 因而向量组线性无关. 3. 若向量组 线性无关， 而，试 证： 线性无关。证明：设存在常数，使得 得 由 线性无关得 ， 由于它的系数行列式 由克莱姆法则，此方程只有零解 , 因此 线 性 无 关。 方法2由已知，= 由于，故矩阵可逆， 由矩阵的秩的性质可知：= 又因为向量组 线性无关，所以=3. 则=3. 故 线 性 无 关.
