《2020年高考数学（理）总复习：导数的简单应用与定积分（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学（理）总复习：导数的简单应用与定积分（解析版）（17页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020年高考数学（理）总复习：导数的简单应用与定积分题型一导数的几何意义及导数的运算【题型要点解析】(1)曲线yf(x)在点xx0处导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，即kf(x0)，由此当f(x0)存在时，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(2)过P点的切线方程的切点坐标的求解步骤：设出切点坐标；表示出切线方程；已知点P在切线上，代入求得切点坐标的横坐标，从而求得切点坐标(3)分式函数的求导，要先观察函数的结构特征，可化为整式函数或较为简单的分式函数；对数函数的求导，可先化为和、差的形式；三角函数
2、的求导，先利用三角函数的公式转化为和或差的形式；复合函数的求导过程就是对复合函数由外层逐层向里求导所谓最里层是指此函数已经可以直接引用基本初等函数导数公式进行求导例1函数f(x) ln xx2bxa(b0，aR)的图象在点(b，f(b)处的切线的倾斜角为，则倾斜角 的取值范围是()A.B.C.D.【解析】依题意得f(x)2xb，f(b)b2 1(b0)，当且仅当b0，即b时取等号，因此有tan 1，即0)上任意一点，l是曲线C在点P处的切线，且l交坐标轴于A、B两点，则以下结论正确的是()AOAB的面积为定值2BOAB的面积有最小值为3COAB的面积有最大值为4DOAB的面积的取值范围是3,4
3、【解析】设P是双曲线xy1上任意一点，其坐标为P(x0，y0)，经过P点的切线方程为ykxb.双曲线化为y形式，y对x的导数为y，在P点处导数为，切线方程为(yy0)(xx0)，令x0，yy02y0，(其中x0y01)，则切线在y轴截距为2y0，令y0，x2x0，则切线在x轴截距为2x0，设切线与两坐标轴相交于A、B两点构成的三角形为OAB.SOAB|OA|OB|2x0|2y0|2|x0y0|2，故切线与两坐标轴构成的三角形面积定值为2.【答案】A题型二利用导数研究函数的单调性【题型要点解析】求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况大多数情况下，这类
4、问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论(2)在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论【提醒】讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制例1.已知函数f(x)x2aln x.(1)当a2时，求函数f(x)的单调区间；(2)若g(x)f(x)，在1，)上是单调函数，求实数a的取值范围【解】(1)f(x)2x，令f(x)0，得x1；令f(x)0，得0x1，所以f(x)的单调递增区间是(1，)，单调递减区间是(0,1)(2)由题意g(x)x2aln x，g(
5、x)2x，若函数g(x)为1，)上的单调增函数，则g(x)0在1，)上恒成立，即a2x2在1，)上恒成立，设(x)2x2.(x)在1，)上单调递减，(x)max(1)0，a0；若函数g(x)为1，)上的单调减函数，则g(x)0在1，)上恒成立，不可能实数a的取值范围为0，)题组训练二 利用导数研究函数的单调性设函数f(x)(aR)(1)若f(x)在x0处取得极值，确定a的值，并求此时曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在3，)上为减函数，求a的取值范围【解析】(1)对f(x)求导得f(x)因为f(x)在x0处取得极值，所以f(0)0，即a0.当a0时，f(x)，f(x
6、)，故f(1)，f(1)，从而f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y(x1)，化简得3xey0.(2)由(1)知f(x).令g(x)3x2(6a)xa，由g(x)0，解得x1，x2当xx1时，g(x)0，即f(x)0，故f(x)为减函数；当x1x0，即f(x)0，故f(x)为增函数；当xx2时，g(x)0，即f(x)0)，若对于任意的x(0，)，恒有f(x)0成立，求实数a的取值范围【解】(1)由已知得0x1，G(x)ln xln (1x)ln .令G(x)0，得0x0，得x0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g(0)(a1)，且当x时，g(x)0，所以存在x0(0，)，使g(x0)
7、0，且f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增因为g(x0)axex0(a1)0，所以axex0a1，即aex0，因为对于任意的x(0，)，恒有f(x)0成立，所以f(x)minf(x0)aex02(a1)0，所以2(a1)0，即20，即2xx010，所以x01.因为axex0a1，所以xex01.又x00，所以0x01，从而xex0e，所以10)的导函数yf(x)的两个零点为3和0.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)的极小值为e3，求f(x)在区间5，)上的最大值【解】(1)f(x).令g(x)ax2(2ab)xbc，因为ex0，所以yf(x)的零点就是g(x)ax
8、2(2ab)xbc的零点且f(x)与g(x)符号相同又因为a0，所以当3x0，即f(x)0，当x0时，g(x)0，即f(x)5f(0)，所以函数f(x)在区间5，)上的最大值是5e5.题型四定积分【题型要点解析】(1)求简单定积分最根本的方法就是根据微积分定理找到被积函数的原函数，其一般步骤：把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；利用定积分的性质把所求定积分化为若干个定积分的和或差；分别用求导公式找到F(x)，使得F(x)f(x)；利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；计算所求定积分的值有些特殊函数可根据其几何意义，求其围成的几何图形的面积，即其对应的定积分(2)
9、求由函数图象或解析几何中曲线围成的曲边图形的面积，一般转化为定积分的计算与应用，但一定找准积分上限、积分下限及被积函数，且当图形的边界不同时，要讨论解决，其一般步骤：画出图形，确定图形范围；解方程组求出图形交点范围，确定积分上、下限；确定被积函数，注意分清函数图象的上、下位置；计算下积分，求出平面图形的面积例1设f(x)，则f(x)dx的值为()A. B.3C. D.3【解析】f(x)dxdx(x21)dx12，故选A.【答案】A例2dx_.【解析】dxdxxdx，xdx，dx表示四分之一单位圆的面积，为，所以结果是.【答案】例3由曲线yx21，直线yx3，x轴正半轴与y轴正半轴所围成图形的面积为()A3 B.C. D.【解析】由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由，解得(舍去)或，即A(1,2)，结合图形可知，所求的面积为(x21)dx22|2，选B.【答案】B题组训练四 定积分1已知2，若，则(x22x)dx(
