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1、海涅定理在函数极限证明中的应用摘 要：函数极限理论是数学分析中的重要组成部分。关于证明函数极限存在的方法探讨具有十分重要的意义。本文给出了一些利用海涅定理证明函数极限存在性的应用，将函数极限归结为数列极限问题来处理。不仅给出了一类证明函数极限存在的方法，同时也加深了对函数极限和数列极限两者间的关系的理解。关键词：海涅定理；函数极限；数列极限Abstract: The limit theory of functions plays an important role in mathematical analysis. Study on the method proving existence o
2、f function limit is very meaningful. In this paper, we gave some applications for existence of function limit by using Heine theorem and dealt with the function limit problems to the sequence limit problems. These not only gave a kind of the method for existence of function limit, but also deepen th
3、e comprehension about the relationship between the function limit and the sequence limit. Key words: Heine theorem; function limit; sequence limit数列极限与函数极限是分别独立定义的，但是两者是有联系的。而海涅定理就是沟通函数极限与数列极限之间的桥梁。也是证明函数极限性质和极限存在的判定定理的一个重要的理论指导，而且在关于函数的极限证明中也有应用。除此之外还可以运用海涅定理优化极限的运算。其意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处理。海涅定理深刻地揭示
4、了变量变化的整体与部分、连续与离散之间的关系。数列极限与函数极限其变量不管是离散地变化还是连续地变化，只要它们的变化趋势相同，从极限的意义上来说，效果都是一样的。因此，数列极限和函数极限在一定条件下能相互转化，而能够建立起这种联系的就是海涅定理。近几年，一些学者对海涅定理的应用及推广进行了一系列的研究。此外，一些学者利用海涅定理来证明一些函数的性质、优化极限的运算等，见参考文献1-6。还有一些学者对海涅定理进行进一步推广，见参考文献7-10。根据文献 6，8,10 对海涅定理进行归类整理的。1 预备知识定义1.1 函数在点的极限的定义：设函数在点的附近（但可能除掉点本身）有定义，又设是一个定数
5、。如果对任意给定的，一定存在，使得当时，总有，我们就称是函数在点的极限，记为 （或者记为）.这时也称函数在点极限存在，其极限是。2 海涅定理的证明及推广定理2.1 海涅定理 的充分必要条件为对任何以为极限的数列，都有。证明 先证必要性。由于，所以对任意的，存在，当时，.但是，故对，又可得正整数，时， .因为，故上面的不等式可改写为 .而对于适合这个不等式的，其函数值满足 .亦即当时，这个不等式成立，这也就证明了数列以为极限。再证充分性。用反证法，若，则对某一个，不能找到函数极限定义中的，也就是对任意的，都可以找到一点，使得；特别地，若取为，得到 满足，；，；，； 从左边一列可以看出，而右边一列
6、却说数列不以为极限，与假设矛盾。充分性得证。等价类型的海涅定理：定理2.2 设在上有定义则的充要条件是：对于任何以为极限的数列，都有。证明 先证必要性。因为，则得到对任意的，存在，当时有.但是，故对，可得正整数，当时有。又因为。故上面的不等式可以改写为.亦即当时，这个不等式成立，这也就证明了数列以为极限。再证充分性。用反证法，假设，则对于某一个，不能找到函数极限定义中的，也就是对任意都能找到一个点时，使得。特别地，当取时，得到适合，. 从左边一列可以看出，而右边一列却说数列不以 为极限，与假设矛盾。充分性得证。 定理2.3 设在的某一邻域内有定义，则函数在点连续的充要条件是：对任何含于且以为极
7、限的数列，都有。定理2.4 设函数在点的某空心右邻域有定义，则的充要条件是：对任何以为极限的单调递减数列，都有。定理2.5 设函数在点的某空心左邻域有定义，则的充要条件是：对任何以为极限的单调递增数列，都有。3 海涅定理的应用3.1 利用海涅定理对函数极限运算法则、性质及判定定理等的证明对于一些函数极限的性质和定理等，无法用函数极限的定义证明或用函数的定义证明比较复杂时，就可以利用海涅定理将函数转化成数列来证明。例3.1 若与且皆存在，则有.证明 设，.又设是任意一个含于函数的定义域且以为极限的数列。那么 .由海涅定理的必要性可得 .而根据数列极限的运算法则有.又由于数列的任意性和定理2.1的
8、充分性得.例3.2 证明：若对任意的有 ，且.则。证明 任作一数列，且，则由海涅定理知 .因为，所以.所以由数列极限的迫敛性知 .又由海涅定理的充分性知存在且收敛于。例3.3 若极限存在，则此极限是唯一的。证明 设和都是当时的极限，即.作数列且，由海涅定理知 且.由数列极限存在唯一性知。3.2 利用函数的性质及海涅定理求数列的极限对于求数列的极限，有时直接求不好求，就可先求与之相对应的函数极限，再利用函数的性质和海涅定理求出数列的极限。1）求含有三角函数的数列极限例3.4 求极限。解 因为在处连续。当，。 由海涅定理可知.例3.5 求极限。解 设，当时，有。由海涅定理可知，如果 存在，则一定有
9、 .下面我们先求 。因为.又因为 ，.所以.再由海涅定理得 .2）求带有积分的数列的极限例3.6 求极限。解 因为.所以要求，只要能求出即可。由海涅定理可知 .再由洛必达法则可得 .所以.故.3） 求带有抽象函数的数列极限例3.7 设，。求。解 由海涅定理可知 .由导数的定义.令，当时，于是就有 .所以.4.3 利用海涅定理判断级数敛散性级数实质是一个和式的极限，因此运用海涅定理及其推论去判断常数项级数的敛散性是一种有效的方法。例3.8 判断级数的敛散性。解 构造函数.当时，经Taylor展开为 .因为时，.所以当时，.即当时，与为同阶无穷小，或。令，由海涅定理有.因为级数收敛，由第2比较准则
10、，所以级数收敛。而.故收敛。3.4 海涅定理在判断常量函数中的应用1）判断当 时，的极限为的周期函数是否为常量函数例3.9 证明若为上的周期函数，且，则。证明 假设，则存在，使。又因为为周期函数，不妨设为，记，则.由作法知 . （3.1）又因为，由海涅定理有.这与（3.1）矛盾，故。2）给出函数之间的关系，判断函数为常量函数例3.10 设函数在上满足方程，且，证明。证明 假设函数在上不恒为，则必存在一点，使得。又因 满足方程，于是得到数列，故 . （3.2）又因及，所以由海涅定理有 .这与（3.2）矛盾。因此，。3.5 利用海涅定理证明某些函数极限不存在即若可找到一个以为极限的数列，使不存在；
11、或找到两个都以为极限的数列与数列，使与都存在而不相等，则不存在。例 3.11 证明不存在。证明 取数列，。则。易知，.由海涅定理可知不存在.例3.12 证明函数在点0不存在极限。证明 取 ，.显然.则有，.从而，.于是，函数在点0处不存在极限。3.6 利用海涅定理判断函数在某点的可导性利用海涅定理，可求得函数差、商的极限，从而可判断函数在某点的可导性。例3.13 证明函数（其中为常数，且，为Dirichlet 函数）在原点可导而在其他点处不可导。证明 因为.所以在处可导且，当时，设数列是大于且趋于的有理数列，数列是大于且趋于的无理数列。于是当为无理数时，因为.而.故由海涅定理可知，在无理点处不
12、可导。当为非零有理数时，因为.而.故由海涅定理可知，在有理点处也不可导，所以只在原点可导，而在其他点处不可导。4 结束语海涅定理作为函数极限和数列极限的桥梁。将函数与数列之间进行互换，使其运用最简便的方法得出极限。即根据海涅定理的必要性，可以将函数极限化为函数值数列的极限；根据海涅定理的充分性，又能够把数列极限的性质转移到函数极限上来。本文主要就是根据不同的文献，将常见的用海涅定理求极限的类型归纳分类整理。参考文献：1 欧阳光中, 朱学炎, 金福临等. 数学分析M. 北京：高等教育出版社, 2007.2 程其襄. 数学分析M. 北京：高等教育出版社, 1990.3 王晓敏, 李晓奇, 惠兴杰等
13、. 数学分析学习方法与解题指导M. 沈阳：东北大学出版社, 2006.4 斯坎得尔伊布拉音,艾斯卡尔阿布力米提. H.E.Heine 定理的应用J. 新疆教育学院学报, 2009, 25(4): 114-115.5 鲜思东. Heine定理在极限判别及运算中的应用J. 重庆邮电学院学报（自然科学版）, 2006,18(1): 139-140.6 王淑云. 归结原则在证明函数为常量函数上的应用J. 山西大同大学学报(自然科学版),2008,24(4): 11-12.7 王振芳, 周宝明. 海涅（Heine）定理的推广及其应用J. 雁北师范学院学报, 2004, 2(2): 46-47.8 吴少祥, 余庆红. 海涅定理及其定理J. 高等数学研究, 2007, 10(5): 30-32.9 张祖峰, 宁群. 函数极限性质和存在性的证明J. 宿州师专学报, 2004, 19(1): 85- 88.10 朱国卫. 以海涅定理为例谈数学分析中的直觉、证明与感悟J. 吉林省教育学院学报, 2010, 26: 153-154.第13页（共13页）-
