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1、 第三章立体的表面交线 返回 返回 空间几何体分为平面立体和曲面立体 平面立体 表面由平面围成的几何体 曲面立体 表面由曲面或者曲面与平面围成的几何体 截交 平面与立体相交 截去立体的一部分 平面与立体 立体与立体两两相交形成不同的表面交线 可分为两大类 截交线 截平面与立体表面的交线 相贯 两曲面立体相交 相贯线 曲面立体与曲面立体表面的交线 3 1平面立体表面的截交线 3 1 1概述 2 截交线的形状是由直线段围成的平面多边形 3 多边形的顶点是立体棱线与截平面的交点 多边形的各边是截平面与立体各表面的交线 截交线的性质 1 截交线既在截平面上 又在立体表面上 是截平面与立体表面的共有线
2、3 1 2平面与平面立体截交线的求法 A 求各棱线与截平面的交点 线面交点法 B 求各棱面与截平面的交线 面面交线法 求截交线的步骤 1 空间及投影分析 2 画出截交线的投影 a 截平面与立体的相对位置 确定截交线的形状 确定截交线的投影特性 b 截平面与投影面的相对位置 分别求出截平面与棱面的交线 并连接成多边形 例1 四棱锥被正垂面P切割 求其截交线的投影 1 空间分析 2 投影分析 3 求截交线 4 补全棱线的投影 检查 尤其注意检查截交线投影的相仿性 S S S 截平面与体的几个棱面相交 截交线的形状 采用的是哪种解题方法 四边形 线面交点法 例2 求P Q两平面与三棱锥截交线的投影
3、解题步骤1 分析 截平面为正垂面和水平面 正面投影积聚 2 求出点1 2 3 4 S s a a a b c b b c c Pv Qv 3 顺次地连接各点 作出截交线 并且判别可见性 S 4 补全轮廓线 例3 已知立体的V W投影 试求其H投影 例4 已知主视图和左视图 求俯视图 3 2曲面立体表面的截交线 3 2 1概述回转体截切的基本形式 平面与回转体表面相交 其截交线是封闭的平面图形 截交线是由曲线围成 或者由曲线与直线围成 或者由直线段围成 求回转体截交线 常利用积聚性或者辅助平面以及投影变换的方法 求平面与回转体截交线的一般步骤 空间及投影分析 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴
4、线的相对位置 以便确定截交线的形状 分析截平面与投影面的相对位置 明确截交线的投影特性 如积聚性 相仿性等 找出截交线的已知投影 预见未知投影 画出截交线的投影 当截交线的投影为非圆曲线时 其作图步骤为 光滑连接各点 并判断截交线的可见性 先找特殊点 补充中间点 3 2 2圆柱的截交线 平面与圆柱面相交时 根据平面与圆柱轴线的相对位置不同 其截交线有三种情况 圆 椭圆和矩形 圆柱的截交线 多个平面截切立体时 要分别对各截平面进行截交线的分析和作图 例1 圆柱体被P Q两平面截切 试完成其三视图 1 空间及投影分析 3 求截交线 2 分析圆柱体轮廓素线的投影 截平面与立体的相对位置 截平面与投影
5、面的相对位置 解题步骤 保留动画 确定截交线形状为矩形和圆弧 例2 圆柱被正垂面截切 试画出三视图 1 分析 截平面为正垂面 截交线的正面投影积聚 侧面投影和水平投影为椭圆 2 求出截交线上的特殊点a b c d 3 求出若干个一般点e e1 4 光滑顺次连接各点 作出截交线 并判别可见性 5 补全轮廓线 解题步骤 截平面与圆柱轴线的倾角为 其交线的H投影为椭圆 且椭圆的长 短轴随 的变化而变化 截平面与圆柱轴线成45 时 投影为圆 1 作圆柱的W面投影 图平面与圆柱体相交举例之一 例 如图a 根据V面投影和H面投影补出立体的W面投影 a 题图 解 2 作左切块上的投影 图平面与圆柱体相交举例
6、之一 3 作下部通槽的投影 4 判别可见性 整理 加深完成全图 图平面与圆柱体相交举例之一 例4 空心圆柱上部开有长方槽 若已知其V H投影 试求W投影 例4 空心圆柱上部开有长方槽 若已知其V H投影 试求W投影 3 2 3圆锥截交线 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同 截交线有五种形状 圆锥的五种截交线 图3 9平面与圆锥体相交举例 例 补全立体的三面投影 辅助平面 例3 圆锥被正垂面P和侧平面Q截切 已知其主视图 求作俯视图和左视图 圆球的截交线总是圆 由于截平面相对于投影面的位置不同 截交线的投影可能是圆 椭圆或直线 3 2 4圆球的截交线 两个侧平面截切圆球 交线在左视图上为部分圆弧
7、 在俯视图上积聚为直线 例2 已知上部开有通槽的半圆球的主视图 求其俯视图和左视图 水平面截切圆球 交线在俯视图上为部分圆弧 在左视图上积聚为直线 3 2 5综合举例 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系 然后分别求出这些基本回转体的截交线 并依次将其连接 保留动画 例1 已知立体的俯 左视图 完成其主视图 3 3 1概述相贯线的主要性质 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影 1 共有性相贯线是两立体表面的共有线 2 分界性相贯线两立体表面的分界线 3 封闭性相贯线一般是封闭的空间曲线 特殊情况下为不封闭或平面曲线或直线 3 3回转体的相贯线 两立体相交可分为
8、 1 两平面立体相交 可归结为求两平面的交线问题 或求棱线与平面的交点问题 2 平面立体与曲面立体相交 可归结为求平面与曲面立体截交线问题 本节主要介绍此问题 3 曲面立体相贯线 3 3 2轴线正交的两圆柱体的相贯线 3 3 2 1轴线垂直相交的两圆柱 试求其相贯线 相贯线的侧面投影积聚在水平大圆柱侧面投影上 即为圆的一部分 空间及投影分析 相贯线的水平投影与直立小圆柱的水平投影重合 是一个圆 求相贯线的投影 利用积聚性 采用表面取点法 1 找全特殊点 2 补充一般点 3 判别可见性 光滑连接 4 补全轮廓线 3 3 2 2圆柱与圆锥相贯 例3 12 求圆柱与圆锥的相贯线 a 求特殊点 b 求
9、一般点 连线 整理 图3 16圆柱与圆锥相贯举例 曲面立体相贯的三种基本形式 2 外表面与内表面相交 1 两外表面相交 3 两内表面相交 以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯 圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况 以下分别是圆柱外表面与圆柱内表面相贯 圆柱内表面与圆柱内表面相贯的情况 圆柱 圆锥相贯线变化规律 当圆柱直径变化时 相贯线的变化趋势 动画一 动画二 特例 轴线正交的两等径圆柱体相贯 相贯线为椭圆 1 蒙日定理 若两个二次曲面共切于第三个二次曲面 则两曲面的相贯线为平面曲线 椭圆 3 3 4相贯线的特殊情况 相贯线 相贯线 相贯线 2 具有公共回转轴的两回转体相贯 相贯线为垂直于公共回转
10、轴线的圆 图3 17具有公共回转轴的两回转体相贯 图3 18轴线相互平行的两圆柱相贯及共锥顶的两圆锥相贯 3 轴线相互平行的两圆柱相贯 相贯线为直线4 共锥顶的两圆锥相贯 相贯线为直线 例3 13 补全主视图 外形交线 两外表面相贯 一内表面和一外表面相贯 内形交线 两内表面相贯 形体分析 例3 13 补全主视图 无轮是两外表面相贯 还是一内表面和一外表面相贯 或者两内表面相贯 求相贯线的方法和思路是一样的 小结 1 2 3 例3 14 补全主视图 这是一个多体相贯的例子 首先分析它是由哪些基本体组成的 这些基本体是如何相贯的 然后分别进行相贯线的分析与作图 由哪些立体组成呢 哪两个立体相贯 与 与 2与3 例3 14 补全主视图 作图时要抓住一个关键点 相贯线汇交于这一点 例3 15 补画左视图 实体1 视图 实体2 例3 16 求俯视图 例3 16 求俯视图 例3 17 补全如下图所示的形体的正面投影 形体分析 外形相贯线 内形相贯线 三维实体 返回 单击图形区或此处可观看三维动画
