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1、习题七( A )1、设总体服从参数为和的二项分布，为取自的一个样本，试求参数的矩估计量与极大似然估计量.解：由题意，的分布律为： .总体的数学期望为则.用替换即得未知参数的矩估计量为. 设是相应于样本的样本值，则似然函数为取对数，.令，解得的极大似然估计值为.从而得的极大似然估计量为.2,、设为取自总体的一个样本,的概率密度为其中参数，求的矩估计.解：取为母体的一个样本容量为的样本，则用替换即得未知参数的矩估计量为.3、设总体的一个样本, 的概率密度为 其中是未知参数，是已知常数,求的最大似然估计.解：设为样本的一组观测值，则似然函数为取对数 解极大似然方程 得的极大似然估计值为从而得的极大似
2、然估计量为. 4、设总体服从几何分布 试利用样本值,求参数的矩估计和最大似然估计.解：因,用替换即得未知参数的矩估计量为.在一次取样下，样本值即事件同时发生，由于相互独立，得联合分布律为,即得极大似然函数为取对数 解极大似然方程 得的极大似然估计值为从而得的极大似然估计量为. 5、设总体的概率密度为为未知参数, 为总体的一样本,求参数的最大似然估计.解：设为样本的一组观测值，则似然函数为 取对数 解极大似然方程 得的极大似然估计值从而得的极大似然估计量为.6、证明第5题中的最大似然估计量为的无偏估计量.证明：由第5题知的最大似然估计量为故 又从而 ，即是的无偏估计.7,、设总体的概率密度为,为
3、未知参数, 为总体的一个样本,求参数的的矩估计量和最大似然估计量.解：因用替换即得未知参数的矩估计量为从而得未知参数的估计量为设为样本的一组观测值，则似然函数为取对数解极大似然方程 得的极大似然估计值从而得未知参数的估计量为.8、设总体,已知,为未知参数, 为的一个样本, 求参数,使为的无偏估计.解：由无偏估计的定义，要使为的无偏估计，则又由题意知总体，从而且由对称性有从而有 ，即.9、设是参数的无偏估计量,且有,试证不是的无偏估计量.证明：因为是参数的无偏估计量，故，且有即不是的无偏估计量.10、设总体,是来自的样本,试证：估计量;都是的无偏估计,并指出它们中哪一个最有效.证明：总体,是来自
4、的样本，则即估计量都是的无偏估计.又有 ，从而估计量最有效.11,、设是总体的一个样本,证明：是的相合估计量.证明：由题意，总体，则由样本的独立同分布性知，即是的无偏估计.又，且故，有故是的相合估计量12、设总体的数学期望为,方差为,分别抽取容量为和的两个独立样本,分别为两样本均值,试证明:如果满足,则是的无偏估计量,并确定,使得最小.解：由题意，且,分别为容量为和的两个独立样本得样本均值，故，.当时，有，即是的无偏估计量.令，由知函数的稳定点为，且，故为函数唯一极小值点，即当时，最小.13、设是总体的一个样本, 的概率密度为,未知，已知,试求的置信水平为的置信区间.解：由题意，统计量，则给定
5、置信度为时，有由置信区间的定义知，的置信水平为的置信区间为.14、从大批彩色显像管中随机抽取100只,其平均寿命为10000小时,可以认为显像管的寿命服从正态分布.已知均方差小时,在置信水平0.95下求出这批显像管平均寿命的置信区间.解：设是母体的样本容量为的子样，则显像管平均寿命构造统计量，有由题意，查表可得，故显像管平均寿命的置信度为的置信区间为：.15、设随机地调查26年投资的年利润率(%),得样本标准差,设投资的年利润率服从正态分布,求它的方差的区间估计(置信水平为0.95). 解：由题意，构造统计量，则给定置信水平为，有取，查表可得，故方差的置信度为的置信区间为.16,、从一批钉子中
6、抽取16枚,测得其长度为(单位:厘米)2.14, 2.10, 2.13, 2.15, 2.13, 2.12, 2.13, 2.10, 2.15, 2.12, 2.14, 2.10, 2.13, 2.11, 2.14, 2.11.设钉子的长度服从正态分布,试求总体均值的置信水平为0.90的置信区间.解：设是母体的样本容量为的子样，由题意知，.构造统计量，有由题意，查表可得，故显像管平均寿命的置信度为的置信区间为：.17、生产一个零件所需时间(单位：秒),观察25个零件的生产时间得,.试求和的置信水平为0.95的置信区间.解：设是母体的样本容量为25的子样，由题意知，.构造统计量，有由题意，查表可
7、得，故参数的置信度为的置信区间为：.构造统计量，则给定置信水平为，有取，查表可得，故方差的置信度为的置信区间为.18、产品的某一指标，已知，未知.现从这批产品中抽取只对该指标进行测定,问需要多大,才能以95%的可靠性保证的置信区间长度不大于0.01?19、设和两批导线是用不同工艺生产的,今随机地从每批导线中抽取5根测量其电阻,算得,若批导线的电阻服从,批导线的电阻服从,求的置信水平为0.90的置信区间.20,、从甲乙两个蓄电池厂的产品中分别抽取6个产品,测得蓄电池的容量(A.h)如下:甲厂 140 , 138 , 143 , 141 , 144 , 137; 乙厂135 , 140 , 142
8、 , 136 , 138 , 140设蓄电池的容量服从正态分布,且方差相等,求两个工厂生产的蓄电池的容量均值差的95%置信区间.（ B ）1、设总体的概率分别为 0 1 2 3 其中是未知参数,利用总体的如下样本值: 3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3求的矩估计值和最大似然估计值.解：由题意可知总体为离散型随机变量，则总体的数学期望为有，由样本值可知，用替换即得未知参数的矩估计量为，矩估计值.设是相应于样本的样本值，则似然函数为取对数 解极大似然方程 有，从而又当时，矛盾，故舍去.所以的最大似然估计值2、设和是参数的两个相互独立的无偏估计量,且方差,试确定常数,使得是的无偏估计量,且
9、在一切这样的线性估计类中方差最小.解：由题意，和是参数的两个相互独立的无偏估计量，则.要使得是的无偏估计量，有恒成立，即.又，相互独立，且，则令，由知函数的稳定点为，且，故线性估计类中方差最小时，.3、在测量反应时间中,一心理学家估计的标准差为0.05秒,为了以0.95的置信水平使他对平均反应时间的估计误差不超过0.01秒,应取多大的样本容量.习题八1在正常情况下，某炼钢厂的铁水含碳量（%）.一日测得5炉铁水含碳量如下： 4.48，4.40，4.42，4.45，4.47在显著性水平下，试问该日铁水含碳量得均值是否有明显变化.解：设铁水含碳量作为总体，则，从中选取容量为5的样本，测得.由题意，设
10、原假设为构造检验统计量 ，则在显著性水平下，查表可得，拒绝原假设，即认为有显著性变化.2根据某地环境保护法规定，倾入河流的废物中某种有毒化学物质含量不得超过3ppm.该地区环保组织对某厂连日倾入河流的废物中该物质的含量的记录为：.经计算得知, .试判断该厂是否符合环保法的规定.（该有毒化学物质含量X服从正态分布）解：设有毒化学物质含量作为总体，则，从中选取容量为15的样本，测得，.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则，在显著性水平下,查表可得，即拒绝原假设，接受备择假设，认为该厂不符合环保的规定.3某厂生产需用玻璃纸作包装，按规定供应商供应的玻璃纸的横向延伸率不应低于65.已知该
11、指标服从正态分布，.从近期来货中抽查了100个样品，得样本均值，试问在水平上能否接受这批玻璃纸？解：设玻璃纸的横向延伸率为总体，则，从中选取容量为100的样本，测得.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则在显著性水平下,查表可得，即拒绝原假设，接受备择假设，不能接受该批玻璃纸.4某纺织厂进行轻浆试验，根据长期正常生产的累积资料，知道该厂单台布机的经纱断头率（每小时平均断经根数）的数学期望为9.73根，标准差为1.60根.现在把经纱上浆率降低20%，抽取200台布机进行试验，结果平均每台布机的经纱断头率为9.89根，如果认为上浆率降低后均方差不变，问断头率是否受到显著影响（显著水平=
12、0.05）？解：设经纱断头率为总体，则，从中选取容量为200的样本，测得.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则在显著性水平下,查表可得，即接受原假设，认为断头率没有受到显著影响.5 某厂用自动包装机装箱，在正常情况下，每箱重量服从正态分布.某日开工后，随机抽查10箱,重量如下（单位：斤）：99.3，98.9，100.5，100.1，99.9，99.7，100.0，100.2，99.5，100.9.问包装机工作是否正常，即该日每箱重量的数学期望与100是否有显著差异?（显著性水平=0.05）解：设每箱重量为总体，则，从中选取容量为10的样本，测得，.由题意，设原假设为，备择假设为.
13、构造检验统计量，则，在显著性水平下,查表可得，即接受原假设，认为每箱重量无显著差异.6某自动机床加工套筒的直径X服从正态分布.现从加工的这批套筒中任取5个，测得直径分别为(单位:)，经计算得到 , .试问这批套筒直径的方差与规定的有无显著差别？（显著性水平）解：设这批套筒直径为总体，则，从中选取容量为5的样本，测得，.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则，在显著性水平下,查表可得，从而，即接受原假设，认为这批套筒直径的方差与规定的无显著差别.7.甲、乙两台机床同时独立地加工某种轴，轴的直径分别服从正态分布、（未知）.今从甲机床加工的轴中随机地任取6根，测量它们的直径为，从乙机床加
14、工的轴中随机地任取9根，测量它们的直径为，经计算得知： , 问在显著性水平下，两台机床加工的轴的直径方差是否有显著差异？解：设两台机床加工的轴的直径分别为总体，则、，从总体中选取容量为6的样本，测得从总体中选取容量为9的样本，测得由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则，在显著性水平下,查表可得，从而，即接受原假设，认为两台机床加工的轴的直径方差无显著差异.8.某维尼龙厂根据长期正常生产积累的资料知道所生产的维尼龙纤度服从正态分布，它的标准差为0.048.某日随机抽取5根纤维，测得其纤度为1.32，1.55，1.36，1.40，1.44.问该日所生产得维尼龙纤度的均方差是否有显著变化（显著性水平=0.1）？解：设维尼龙纤度为总体，则，从中选取容量为5的样本，测得，.由题意，设原假设为，备择假设为.构造检验统计量，则在显著性水平下,查表可得即拒绝原假设，认为维尼龙纤度的均方差有显著变化.9.某项考试要求成绩的标准差为12，先从考试成绩单中任意抽出15份，计算样本标准差为16，设成绩服从正态分布，问此次考试
