微积分及经济学应用.doc

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1、第3章 微积分及其经济学应用3.1 一元函数和多元函数在数学上，函数的定义为：如果在一个变化过程中有两个变量和，对任意给定的值，仅存在一个值与其对应，则称是的函数，表示为。其中为自变量，为因变量。由于函数关系中仅有一个自变量，因此该函数称为一元函数。能够取得的所有值的集合称为函数定义域，能够取得的所有值的集合称为函数值域。在对经济问题的分析过程中，我们通常用函数来描述经济变量之间的变化关系。例如，在商品的供求关系中，定义某种商品价格为，需求量为，供给量为。那么，需求与价格的函数关系可以表示为：，。然而我们所处的经济环境是非常复杂的，每一个经济变量都要受到多种因素的影响。因此，采用一元函数来分析

2、经济问题就会有很大的局限性。所以我们常常采用多元函数来研究经济问题。多元函数是在一个函数关系中函数值是由多个变量确定的，用的形式来表示，它表示因变量的值取决于个自变量的大小。例如在消费理论的基本假设中，每个消费者都同时对多种商品有需求，“效用”取决于所消费的各种商品的数量，效用函数就可以表示为，其中表示消费者的效用，是对种商品的消费量。这个函数称为效用函数。同样，生产函数常表示为，为产出水平，表示资本，表示劳动力。它说明产出水平既取决于劳动力又取决于资本。Q=A*L alpha *K beltaA=1;alpha=0.5;belta=0.5;3.2水平曲线二元函数的水平曲线定义为：，为常数，它

3、表示曲面上值为常数的点连接而成的曲线。对于三元函数，称为水平曲面，它表示值为常数的点连接而成的曲面。水平曲线在经济学中有重要的应用，如生产函数为，其中为产出，为劳动力，为资金，如下图所示第一象限中的点表示正的劳动投入和资金投入的所有可能组合，且每一个点对应一个值，所有对应的点（L，K）连接起来就是一条曲线，这条曲线就是一条水平曲线，经济学家将这条水平曲线称为等产量曲线，实际上这条曲线是用平面截曲面所得曲线在平面的投影。自然这条曲线上所有点对应的值为5，如下图中，点A、B、C、D对应的值皆为5，因此将这条水平线也称为等值线、等高线，E点则代表产出为10的等产量曲线，F点则代表产出为15的等产量曲

4、线，可见越向右上方向的等产量曲线的产出值越大。在消费理论中，假设消费者只消费两种商品，那么它的效用取决于这两种商品消费量的组合。如果用表示效用，分别表示这两种商品的消费量，那么它的效用函数就是二元函数，可以表示为。平面直角坐标系第一象限中的点表示出两种商品消费量的所有可能组合，平面上的每一点对应曲面上的一个值。如果将对应的点连起来就表示在效用水平为的情况下的一条水平曲线。经济学上将这条水平曲线称为无差异曲线或等效用曲线。3.3 极限1.极限的定义数列极限的定义：在数列中，任取，如果存在，使得当时，则称当趋于无穷大时，为的极限。表示为： 或者。在数列中，与一一对应，因此可以将视为定义域为正整数的

5、函数。因此对数列极限的定义进行推广，就可以得到函数当和极限的定义。函数极限的定义当时函数极限的定义：任取，存在，使得当时，那么常数为当时的极限，记为或者。当时函数极限的定义：任取，存在，使得当时，那么常数为当时的极限，记为或者。2. 左极限与右极限当从的左侧（即小于的方向）趋向于（记为），若此时有极限，则称为当时的左极限。记为或者。当从的右侧（即大于的方向）趋向于（记为），若此时有极限，则称为当时的右极限。记为或者。3. 极限的运算法则定理：如果，且A，B有限则(1) (2) (3) (4) 4. 两个重要的极限(1) ，(2) 3.4连续复利连续复利的计算，是函数极限在经济学的经典应用。假设

6、一个人将元存入银行，银行年利率为，若利息按复利计息，每年计算一次，则年底时他的存款总额为。如果银行改为半年计算一次利息，年利率不变，则半年的利率为，则年底时，他的存款总额应为元。当银行每年计息次，可以推得，年底时存款总额应为元。当银行在年内连续计息时，即时，年底存款总额为元。对其求极限可以得到：因此，在连续计息的情况下，年底时这个人的存款的余额为元。我们可以将其推广到存款多年的情况，在连续计息时，第二年年底的存款余额为元，则可以得出年末的存款余额为元。因此，连续复利时，本金为元，年利率为，则年末的资金余额为：元。同样可以得到，年末的资金元，在连续复利的情况下，贴现值为：。3.5一元函数的导数1

7、. 一元函数导数的定义：设为定义在集合上的一元函数，则函数在点处的导数定义为：或2. 导数的四则运算法则：设函数和都在点可导，则这两个函数的和、差、积、商均在点可导。(1) (为常数)；(2) ；(3) ；(4) ，3复合函数的导数链式法则设函数是和的复合函数，且函数在点处可导，在点处可导，则有或（链式法则）3.6二元函数求偏导3.6.1二元函数的一阶偏导数二元函数的偏导数的定义为：设函数在点的一个邻域有定义，当固定在而在处有增量时，如果极限存在，则称此极限为函数在点的对的偏导数，记作，或类似地，函数在点处对的偏导数定义为记作，或如果函数在定义域内每一点对的偏导数都存在，那么这个偏导数是、的函

8、数，它就称为对的偏导数函数。记作，类似地，可以定义对自变量的偏导数函数，在求偏导数时，实际上和一元函数求导方法相同，求时，只要把y看作常量而对求导数；求时，只要把看作常量而对求导数。3.6.2二元函数高阶偏导数设函数在定义域内具有偏导数，那么在内，都是、的函数，如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数的二阶偏导数，按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数：， ，类似地，可以定义三阶、四阶以及阶偏导数，二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，在二阶偏导数计算中引出一个重要定理：杨格定理 如果函数的两个二阶混合偏导数，在区域D内连续，那么自该区域内这两个二阶混合偏导数必相等。杨格定理说明在求导时不

9、必关心求导的顺序。3.7多元函数的求导二元函数偏导数的概念可以推广到多元的情况，定义为：多元偏导数的计算并不需要引入新的方法。因为在函数中仅有一个自变量在变化，其他各个自变量都是固定的，所以，在计算时只需要将其他自变量看作常量，对变动的自变量运用一元函数求导法则计算即可。二元函数的杨格定理也可以直接推广到多元函数如果元函数对于的一阶偏导数函数是连续的，则有对于多元函数的求导有一个重要的向量和矩阵，称为梯度向量和海赛（Hessian）矩阵定义元函数对于的一阶偏导数构成的维列向量称为梯度向量，记为，即，其中元函数的所有二阶偏导数组成的矩阵称为的海赛（Hessian）矩阵，记为：即其中，根据杨格定理

10、，故为对称矩阵。3.8隐函数3.8.1 定义我们将方程确定的函数关系，称为隐函数，既对于任意一组变量，相应地总有满足方程的唯一的值存在，那么就称方程确定了一个隐函数隐函数不一定能写为y=f(x)的形式，因此按照函数“设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作 y=f(x).”的定义，隐函数不一定是“函数”，而是“方程”。 总的说来，函数都是方程，但方程却不一定是函数。 把隐函数化成显函数，叫做隐函数的显化。例如将方程解出，就把隐函数化成显函数。要注意的是方程能确定隐函数，一般并不都能从方程中解出，并

11、用自变量的算式来表示。对于方程可以证明确实存在一个定义在上的函数，使得但这函数却无法用的算式来表达。3.8.2隐函数经济问题的应用在经济问题分析中，需要计算隐函数的导数和偏导数。例如，经济学中的一个内生变量y和一组外生变量常满足一个方程在一定条件（或一定经济背景）下，对某给定区域给定上述变量，由方程可确定唯一的内生变量y的值。我们需要研究外生变量的变化如何影响内生变量y的变化，即需要求内生变量关于外生变量的偏导数，用作经济理论的分析。3.8.3 隐函数定理3.8.3.1一个方程的情形隐函数存在惟一性定理 若函数满足下列条件：（1）函数在以为内点的某一区域上连续；（2）（通常称为初始条件）；（i

12、ii）在内存在连续的偏导数；（3）0，则在点的某邻域内，方程=0惟一地确定一个定义则在某区间内的函数（隐函数），使得 ,当时，且； 在内连续.例如方程为由于，与均连续，故满足定理条件(1) (2) (3)但因，致使在原点的无论怎样小的邻域内都不可能存在唯一的隐函数隐函数可微性定理 （1）设满足隐函数存在唯一性定理中的条件，又设在D内还存在连续的偏导数，则由方程所确定的隐函数在在其定义域内有连续导函数，且 （2）设三元函数满足隐函数存在唯一性定理中的条件，又设在内还存在连续的偏导数，则由方程所确定的隐函数在在其定义域内有连续偏导函数，且3.8.3.2方程组的情况我们将隐函数存在定理作另一方面的推

13、广。我们不仅增加方程中变量的个数，而且增加方程的个数。例如，考虑方程组这时，在四个变量中，一般只能有两个变量独立变化，因此该方程组就有可能确定两个二元函数。在这种情况下，我们可以由函数F、G的性质来断定由该方程组所确定的两个二元函数的存在，以及它们的性质，我们有下面的定理。方程组的隐函数定理 设函数，满足下列条件（1）在点的某邻域内具有对各个变量的连续偏导数；（2），；（3）函数的偏导数所组成的函数行列式(或雅可比行列式) ，在点则方程组，在点的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数，满足条件， 并有偏导数公式 ， ， 3.8.4 隐函数求导例子根据以上三个定理，可对隐函数进

14、行求导。例1 设，求.解 设 ，因为所以例 2设方程，求偏导数 解 将所给方程的两边对求偏导数并移项，得 在条件下，；同理，方程的两边对求偏导数，解方程组得 ， 例3 假设方程隐含地定义了一个生产函数，让我们求出表示与函数F相关的边际物质产品和的方法。因为边际产品仅为偏导数和,我们可应用隐函数法则并写出： 和 .此外，我们还可由方程得到另一个偏导数.它的经济含义是：当劳动力L发生变化时，为了保持产量不变，资本K的变化。因此，此偏导数所描述的K和L的变化实质上是一种“补偿”变化，从而使产出Q维持在某一特定水平不变，因而这种变化属于沿着等产量曲线上的移动，该等产量曲线以K为纵轴，L为横轴绘制。实际

15、上，导数表示等产量线斜率，它在正常情况下为负。而则是两种投入的边际技术替代率。例4 设，求和，和.解 令则而从而，事实上，对具体题目可以不用该公式计算，而直接用隐函数方程两边同时求偏导解方程组的方法来做。3.9边际、弹性和增长率3.6.1 边际（Marginality）在经济学研究中许多重要的概念是用导数来描述的，数学上的导数概念对应经济学上的边际概念，利用导数进行经济分析，简称边际分析。经常用到的边际量有边际收入、边际成本、边际产量、边际利润等。在经济学上对于函数在点的边际定义为：，记为 边际的数值可以用近似的代替，虽然一阶导数的概念和边际的概念不同，但是为了边际计算的简单性，经济学家在计算边际数值时仍然采用一阶导数的数值代替。例 设某商品的总成本函数为，求时的边际成本解按照边际的概念求时的边际成本为：时的一阶导数值为：可见用导数计算出