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1、3 1 2用二分法求方程的近似解 1 通过用 二分法 求方程的近似解 使学生体会函数的零点与方程根之间的联系 初步形成应用函数观点处理问题的意识 重点 2 体会数学逼近过程 感受精确与近似的相对统一 难点 假设在区间 1 5 上 f x 的图象是一条连续的曲线 且f 1 0 f 5 0 即f 1 f 5 0 我们怎样依如上方法求得方程f x 0的一个解 像上面这种求方程近似解的方法称为二分法 二分法的定义 定义 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间一分为二 使区间的两个端点逐步逼近零点 进而得到零点近似值的方法叫做二分法
2、bisection 思考 1 所有的函数都有零点吗 2 若函数有零点 是否都可用二分法求出 例1 求函数f x x3 2x2 3x 6的正数零点 精确度为0 1 解题指南 本题考查函数零点的概念以及用二分法求函数零点的具体步骤 求正数零点 关键是确定一个包含此零点的区间 解析 确定一个包含正数零点的区间 m n 且f m f n 0 所以可以取区间 1 2 作为计算的初始区间 因为f 1 60 所以存在x0 1 2 使f x0 0 用二分法逐步计算 列表如下 由于 1 75 1 6875 0 0625 0 1 函数的正零点的近似值为1 6875 给定精确度 用二分法求函数f x 的零点近似值的
3、步骤如下 1 确定区间 验证 给定精确度 2 求区间 a b 的中点c 3 计算 1 若 则c就是函数的零点 2 若 则令b c 此时零点x0 a c 3 若 则令a c 此时零点x0 c b 即若 则得到零点近似值a 或b 4 判断是否达到精确度 否则重复步骤2 4 例2 求函数f x lnx 2x 6在区间 2 3 内的零点 精确度为0 01 解 画出y lnx及y 6 2x的图象 观察图象得 方程lnx 6 2x有唯一解 记为x1 且这个解在区间 2 3 内 y 2x 6 y lnx 2 3 f 2 0 2 5 f 2 5 0 2 5 3 f 2 5 0 2 75 f 2 75 0 2
4、5 2 75 f 2 5 0 2 625 f 2 625 0 2 5 2 625 f 2 5 0 2 5625 f 2 5625 0 2 53125 2 5625 f 2 5 0 2 5 2 5625 f 2 53125 0 f 2 53125 0 2 5390625 2 546875 2 53125 2 546875 2 53125 f 2 5390625 0 f 2 53125 0 2 53125 2 5390625 f 2 546875 0 f 2 53125 0 列出下表 由于 所以 可以将 作为函数 零点的近似值 也即方程 的近似根 注意精确度 2 二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区
5、间 找中点 中值计算两边看 同号丢 异号算 零点落在异号间 重复做 何时止 精确度来把关口 对二分法概念的理解 技法点拨 运用二分法求函数零点需具备的二个条件 1 函数图象在零点附近连续不断 2 在该零点左右函数值异号 典例训练 1 下列图象与x轴均有交点 其中不能用二分法求函数零点的是 2 下面关于二分法的叙述 正确的是 A 用二分法可求所有函数零点的近似值 B 用二分法求方程的近似解时 可以精确到小数点后的任一位 C 二分法无规律可循 D 只有在求函数零点时才用二分法 用二分法求函数的零点 技法点拨 1 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 1 需依据图象估计零点所在的初始区间 m n
6、一般采用估计值的方法完成 2 取区间端点的平均数c 计算f c 确定有解区间是 m c 还是 c n 逐步缩小区间的 长度 直到区间的两个端点符合精确度要求 终止计算 得到函数零点的近似值 典例训练 1 函数f x x3 x2 2x 2在区间 1 2 的一个零点是 精确度为0 1 2 求函数f x x3 3x2 9x 1的一个负零点 精确度为0 01 用二分法求方程的近似解 技法点拨 用二分法求方程的近似解的思路和方法 1 根据函数的零点与相应方程解的关系 求函数的零点与求相应方程的解是等价的 所以求方程f x 0的近似解 可按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解 2 对于求形如f x g x
7、 的方程的近似解 可以通过移项转化成求函数F x f x g x 的零点的近似值 然后按照用二分法求函数零点的近似值的步骤求解 典例训练 1 利用计算器 算出自变量和函数值的对应值如下表 那么方程2x x2的一个根所在区间为 A 0 6 1 0 B 1 4 1 8 C 1 8 2 2 D 2 6 3 0 2 求方程x2 2x 1的一个近似解 精确度为0 1 1 二分法求函数的零点的近似值适合于 A 零点两侧函数值符号相反 B 零点两侧函数值符号相同 C 都适合 D 都不适合 A 2 下列函数不能用二分法求零点的是 A f x 3x 2 B f x log2x 2x 9 C f x 2x 3 2
8、 D f x 3x 3 3 用二分法求函数f x 的一个正实数零点时 经计算f 0 64 0 f 0 68 0 则函数的一个精确度为0 1的正实数零点的近似值为 A 0 64 B 0 74 C 0 7 D 0 6 C C 4 用二分法求函数y f x 在区间 2 4 上的近似零点 精确度为0 01 验证f 2 f 4 0 取区间 2 4 的中点x1 3 计算得f 2 f x1 0 则此时零点x0所在的区间是 2 3 5 2012 抚州高一检测 某同学在借助计算器求 方程lgx 2 x的近似解 精确到0 1 时 设f x lgx x 2 算得f 1 0 在以下过程中 他用 二分法 又取了4个x的值 计算了其函数值的正负 并得出判断 方程的近似解是x 1 8 那么他所取的x的4个值中最后一个值是 1 8125 1 二分法的定义 2 用二分法求函数零点近似值的步骤 3 逐步逼近思想 4 数形结合思想 5 近似与精确的相对统一 世间没有一种具有真正价值的东西 可以不经过艰苦辛勤的劳动而得到
