《备战2014中考数学专题讲座第15讲 几何辅助线图作法探讨.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《备战2014中考数学专题讲座第15讲 几何辅助线图作法探讨.doc（74页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、福州五佳教育锦元数学工作室 编辑一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当的辅助线（图），将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。网络上有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套是很好的：人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短
2、可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个
3、内切圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。在几何题的证明或求解时，需要构成一些基本图形来求证（解）时往往要通过添加辅助线（图）来形成，添加辅助线（图），构成的基本图形是结果，构造的手段是方法。笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果（1）构
4、造基本图形；（2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6）构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10）对称变换；（11）平移变换和旋转变换。下面通过2013年全国各地中考的实例探讨其应用。一、构造基本图形：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。如平行线，垂直线，直角三角形斜边上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰（边）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四边形和圆的特殊图形也都是基本图形，但我们
5、后面把它们单独表述。典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1： （2013年河北省3分）如图1，M是铁丝AD的中点，将该铁丝首尾相接折成ABC，且B = 30，C = 100，如图2.则下列说法正确的是【 】A点M在AB上B点M在BC的中点处C点M在BC上，且距点B较近，距点C较远例2：（2013年辽宁盘锦3分）如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则1的度数是【 】例3：（2013年山东莱芜3分）如图所示，将含有30角的三角板的直角顶点放在相互平
6、行的两条直线其中一条上，若1=35，则2的度数为【 】1=35，AEC=ABC1=25。GHEF，2=AEC=25。故选C。例4：（2013年江苏连云港3分）如图，一束平行太阳光线照射到正五边形上，则1 例5：（2013年浙江金华、丽水4分）如图，在RtABC中，A=Rt，ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则BDC的面积是 。例6：（2013年福建泉州4分）如图，顺次连结四边形ABCD四边的中点E、F、G、H，则四边形EFGH的形状一定是例7：（2013年四川乐山12分）阅读下列材料： 如图1，在梯形ABCD中，ADBC，点M、N分别在边AB、BC上，且MNAD，记AD=a
7、，BC=b，若，则有结论：。 请根据以上结论，解答下列问题： 如图2，3，BE、CF是ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作ABC三边的垂线段PP1、PP2、PP3，交BC于点P1，交AB于点P2，交AC于点P3。（1）若点P为线段EF的中点，求证：PP1=PP2PP3；（2）若点P在线段EF上任意位置时，试探究PP1、PP2、PP3的数量关系，给出证明。例8：（ 2013年广西梧州3分）如图，把矩形ABCD沿直线EF折叠，若1=20，则2=【 】A80 B70 C40 D20例9：（2013年湖北恩施8分）如图所示，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD，E、F、G、H分别为边AB、BC
8、、CD、DA的中点，求证：四边形EFGH为菱形【答案】证明：如图，连接AC、BD，二、构造等腰（边）三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边）三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造等腰（边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年黑龙江大庆3分）正三角形ABC的边长为3，依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，则A1B1C1的面积是【 】A B C DSA1B1C1=SAB
9、CSAA1C1SCC1B1SBB1A1=33=。故选B。例2：（ 2013年广西贵港3分）如图，ABC和FPQ均是等边三角形，点D、E、F分别是ABC三边的中点，点P在AB边上，连接EF、QE若AB=6，PB=1，则QE= 例3：（2013年海南省4分）如图，在梯形ABCD中，ADBC，AB=CD=AD=5，B=60，则BC= 例4：（2013年山东烟台3分）如图，ABC中，AB=AC，BAC=54，BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则OEC为 度例5：（2013年山东德州10分）（1）如图1，已知ABC，以AB、AC为边向
10、ABC外作等边ABD和等边ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得ABC=45，CAE=90，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长【答案】解：（1）完成图形，如图所示： 例6：（2013年山东菏泽3分）如图，ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AEB=450，BD=2，将ABC沿A
11、C所在直线翻折180到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B，则DB的长为 【答案】。【考点】翻折变换（折叠问题），平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质三、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定理，两锐角互余，锐角三角函数），达到求证（解）的目的。典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1：（2013年广东深圳3分）如图，已知l1l2l3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角ABC的三个项点分别在这三条平行直线上，则sin的值是【 】A. B. C. D. 例2：（2013年江西南昌3分）如图，正六边形ABCDEF中，AB=
12、2，点P是ED的中点，连接AP，则AP的长为（）AB4C D例3：（2013年福建福州4分）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形的顶点称为格点。已知每个正六边形的边长为1，ABC的顶点都在格点上，则是 。【答案】。【考点】正六边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，转换思想的应用。【分析】如图可知，。例4：（2013年贵州贵阳3分）如图，P是的边OA上一点，点P的坐标为（12，5），则tan等于【 】A B C D例5：（2013年山东日照10分）如图，已知四边形ABDE是平行四边形，C为边B D延长线上一点，连结AC、CE，使AB=AC.（1）求证：BADAEC；（2
13、）若B=30，ADC=45，BD=10，求平行四边形ABDE的面积.例6：（2013年新疆乌鲁木齐4分）如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG=1，则ABC的周长为【 】A、 B、6 C、 D、4【答案】A。例7：（2013年贵州安顺3分）如图，有两颗树，一颗高10米，另一颗高4米，两树相距8米一只鸟从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢，问小鸟至少飞行【 】A8米 B10米 C12米 D14米例8：（2013年山东威海3分）如图，ACCD，垂足为点C，BDCD，垂足为点D，AB与CD交于点O若AC=1，BD=2，CD=4，则AB= 四、构造全等三角形
14、：通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，达到求证（解）的目的。典型例题：版权归福州五佳教育锦元数学工作室邹强，转载必究例1： （2013年新疆乌鲁木齐4分）如图，ABC中，AD是中线，AE是角平分线，CFAE于F，AB=5，AC=2，则DF的长为 DF=BG=（ABAG）=（ABAC）=。例2：（2013年山东聊城8分）如图，四边形ABCD中，A=BCD=90，BC=CD，CEAD，垂足为E，求证：AE=CE例3：（2013年山东烟台10分）已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是 ，QE与QF的数量关系式 ；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF
