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1、目 录摘要1关键词1Abstract1Key words1引言11 变量分离微分方程与变量代换11.1 变量分离方程11.2 可化为变量分离方程的类型22 线性微分方程与常数变易法53 恰当微分方程与积分因子83.1 恰当微分方程83.2 积分因子104 可解出y（或x）的方程的解法11 结论14致谢14参考文献14一阶微分方程的初等解法数学与应用数学专业学生 肖姗姗指导教师 刘爱晶摘要：主要对一阶微分方程的初等解法及其与若干应用进行了研究，把微分方程的求解问题化为积分问题，应用到实际中，用理论指导实践，由抽象总结出具体规律，加深对所学知识的理解.对于一般的一阶微分方程没有通用的初等解法，仅对
2、若干能有初等解法的方程类型及求解的一般方法进行了调查，这是常微分方程发展初期数学家的辛勤成果.讨论的主要类型有：变量可分离方程、可化为变量可分离方程的类型、齐次方程、一阶线性微分方程；在解决这些类型的一阶常微分方程时，用到的方法有：变量分离法和一阶线性方程的常数变易法关键词：变量微分方程 恰当微分方程 常数变易法 积分因子. The Elementary Solution of First-order Differential Equations Student majoring in Mathematics and Applied Mathematics Xiao ShanshanTutor
3、 Fen GuanghuiAbstract：Some related solutions of the first-order differential equations and its several applications are mainly discussed, through different methods to solve this important technology for the application of integration. Theories to guide practice, from the abstract into concrete laws,
4、 so as to enhance the understanding of the knowledge.In most of the first order differential equations,there are not general elementary methods. Firstly the basic concept of differential equations are introduced .on such a basis,the solutions of the first-order differential equations are introduced
5、including the main types such as variable and separable equations,the equations which can be translated into the variable and separable equations, homogeneous equations and the first-order linear differential equations.To solve such types of first-order differential equations, the methods can be use
6、d: variable separation and the constant variation of first-order linear differential equations Key words: separable equations；exact equations；constant variation；integrating factors引言 一阶微分方程的解法有很多，而且技巧性也很强，仅对一些简单的方法和其应用惊醒了研究.如变量变换法，常数变易法，恰当微分方程的求法及一阶隐式微分方程的参数表示法.1 变量微分方程与变量代换变量分离微分方程是一种最简单也是最基本的可用初等方
7、法求解的微分方程类型，对一般的微分方程总是设法寻求适当的变量代换，将其化为变量分离微分方程来求解1.1 变量分离微分方程形如 （1.1）的方程，称为变量分离微分方程，其中分别是的连续函数.如果，方程改写为： （1.2）如果是方程的解，且，则在解的定义域内满足 （1.3）两边积分得 （1.4）则是由隐函数方程 （1.5）所确定的函数，对一切允许值，都将是方程的解，即（1.5）实际给出了方程的通解公式.如果有实根（k=1,2,3，,m）,则可以验证（k=1，2,3，m）也能是方程的解.有时可以通过扩大常数C的取值范围，使其包含于通解表达式中.例 1求微分方程 的通解.解： 方程是可分离变量的，分离
8、变量后得两端积分 得 从而 又因为仍是任意常数，把它记作C便得到方程的通解1.2可化为变量分离方程的类型对于方程 （1）如果 ， 则称为齐次微分方程 作变量代换 ，则，于是从而 ，分离变量得 两端积分得 求出积分后，再用代替，便得所给齐次方程的通解.例2. 解： 原式可化为，令=，则 ，于是分离变量 两端积分得 即 故方程通解为 （2）形如 （1.6） 的方程称为线性分式方程，这里均为常数. 当时，方程（1.6）是齐次方程，当不全为零时，如何化为某种已知的可解类型？ 当的情形设，则方程可以写成 （1.7）令，方程就化为变量分离微分方程 （1.8） 当时解方程组 （1.9）设所求得的解为 作坐标
9、平移变换 （1.10）将方程（1.6）变成齐次方程 （1.11）经过变换将方程（1.11）化为变量微分方程.求解所得变量微分方程后，逐步代回原来的变量，求得原方程的解例3求解方程 （1）解 解方程组 得 令代入方程（1），则有 （2） 再令 即 则（2）化为 两边积分，得 因此 记并代回原变量，就得 此外，易验证 即 也就是（2）的解.因此方程（1）的通解为 其中为任意的常数.2 线性微分方程与常数变易法我们把一阶线性方程通常写成其标准形式： （2.1）其中，为连续函数，当时，方程成为： （2.2）称方程（2.2）为方程（2.1）对应的齐次线性方程，而称（2.1）为非齐次线性方程.齐次线性方程（2.2）是变量分离微分方程，可求其通解为： （2.3）为了求（2.1）的解，设想用两个新的未知函数 的乘积表示原来的未知函数，即： （2.4）代入方程得 （2.5）将其整理得： （2.6）设为齐次方程的解，则方程变成 （2.7）这是一个变量
