《以二次函数为载体的绝对值不等式例析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《以二次函数为载体的绝对值不等式例析（4页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、以二次函数为载体的绝对值不等式例析函数是高中数学的重要容，它把中学数学各个分支紧紧地联系在一起以函数为载体，综合不等式交叉汇合处为主干，构筑成知识网络型不等式证明问题，在高考试题出现的频率相当高，占据着令人瞩目的地位由于此类问题的解题目标与已知条件之间的跨度大，使得题型新颖、容综合、解法灵活、思维抽象，所以它既是高考的热点题型，又是颇难解决的重点问题下面就以二次函数为载体的绝对值不等式问题选解几例，以开阔读者的视野例1 已知= xaxb (a、bR)的定义域为1，1，记|的最大值为M，求证：M解：= xaxb，x1，1且|M，M|，M|，M|，2M| = |1ab|1ab|(1ab)(1ab)
2、| = |22b|22|b| = 22|22M，M例2 设= axbxc，当| x |1时，总有|1，求证：|7证明：当| x |1时，有|1，| = | c |1，|1，|1，又= abc，= abc，| = | 4a2bc | = | 3(abc)(abc)3c |33|3|3|313 = 7，即|7例3 已知二次函数= axbxc (a、b、cR)，若|1，|1，|3，1x1，求证：|证明：= abc，= abc，= c，a =，b =，c = xx=x(x1)x(x1)(1x)，|x(x1)|x(x1)|(1x)|，|1，|1，|3，且1x1，| x |(1x)| x |(1x)3(1
3、x) =3x| x |3 =3(| x |)例4 设= axbxc，对一切x1，1，都有|1，求证：对一切x1，1，都有|2axb|1证明：由= abc，= abc，= c，得a =，b =，c =，2axb = (x)(x)2x因当x1，1时，|1，所以有 |2axb | = |(x)(x)2x|x|x|2x|x|x|2x| 当x1，时，|2axb |4x4； 当x，0时，|2axb |12x2； 当x0，时，|2axb |12x2； 当x，1时，|2axb |4x4综上所述，对一切对一切x1，1，都有|2axb|1例5 已知a、b、c是实数，函数(x) = axbxc ，g(x) = ax
4、b ，当1x1 时，|(x) |1求证：当1x1 时，| g(x) |2证明：1x1时，|(x) |1成立，有|(0) | = | c |1 由x = = 可得：g(x) = axb = a()()b() = a()b()c a()b()c =()() ，当1x1 时，有01，10，由绝对值不等式的性质，得：|()() |() |() |2 ，即| g(x) |2例6 实系数多项式p(x) = axbxc (a0，b0)，当| x |1时，| p(x) |1，令= cx bxa，求证：当| x |1时，|2证明：将x = 1，x = 0， x =1分别代入| p(x) |1得：| abc|1，
5、| c |1，| abc|1于是，| ab | = | abcc| abc| c |11 = 2| ab | = | abcc| abc| + | c |11 = 2令x为任意实数，且| x |1假设c0，于是有0cxc，bbxb，从而2ab = 0(b) + acxbxa =cba1另一方面，若c0，则ccx0，而bbxb，于是1cbacxbxa =0ba = ba2综上，当| x |1时，|2成立评析：二次函数是中学代数的基本容之一，它有丰富的涵与外延，解答此类问题的关键之一是合理利用函数的性质把欲求式整体表示成已知式的代数和的形式；二是将抽象数学问题具体化，巧妙利用端点值，这些都是转化问题的常用手段以二次函数为载体的绝对值不等式证明中，前面所说的转化都是“凑”成能够使用绝对值不等式，剩下的就是放缩法的合理使用了
