《新高考数学（理）函数与导数 专题14 恒成立及存在性问题（解析版）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新高考数学（理）函数与导数 专题14 恒成立及存在性问题（解析版）（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2020年高考数学（理）函数与导数14 导数及其应用 恒成立及存在性问题【考点讲解】1、 具体目标：1. 导数在研究函数中的应用：了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）.2.生活中的优化问题：会利用导数解决某些实际问题。考点透析：1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； 2.单独考查利用导数研究函数的某一
2、性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；3.适度关注生活中的优化问题.3.备考重点： (1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；(2) 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.二、知识概述：一）函数的单调性：1.设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果，则函数y=f(x)为增函数；如果f (x)0非必要条件为增函数，一定可以推出，但反之不一定4. 讨论可导函数的单调性的步骤：（1）确定的定义域；（2）求，令，解方程求分界点；（3）用分界点将定义域分成若干个开区间；（4）判断在每个开区间内的符
3、号，即可确定的单调性.5.我们也可利用导数来证明一些不等式如f(x)、g(x)均在a、b上连续，(a，b)上可导，那么令h(x)f(x)g(x)，则h(x)也在a，b上连续，且在(a，b)上可导，若对任何x(a，b)有h (x)0且 h(a)0，则当x(a，b)时 h(x)h(a)=0，从而f(x)g(x)对所有x(a，b)成立二）函数的极、最值：1函数的极值 (1)函数的极小值：函数yf(x)在点xa的函数值f(a)比它在点xa附近其它点的函数值都小，f(a)0，而且在点xa附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点a叫做函数yf(x)的极小值点，f(a)叫做函数yf(x)的极小值(2)函数
4、的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0，则点b叫做函数yf(x)的极大值点，f(b)叫做函数yf(x)的极大值极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值2函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数f(x)在a，b上必有最大值与最小值(2)若函数f(x)在a，b上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在a，b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值三）高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合
5、高考试题对此类问题进行归纳探究相关结论：结论1：；结论2：；结论3：； 结论4：； 结论5：的值域和的值域交集不为空. 【真题分析】1. 【2019年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（ ）AB CD【解析】当时，恒成立；当时，恒成立，令，则，当，即时取等号，则.当时，即恒成立，令，则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，则时，取得最小值，综上可知，的取值范围是.【答案】C2.【优选题】设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A B C D【解析】本题考点是函数的单调性、存在性问题的综合应用.令.由题意知存在唯一整数，使得在直线的下方.，当
6、时，函数单调递减，当，函数单调递增，当时，函数取得最小值为.当时，当时，直线过定点，斜率为，故且，解得.【答案】D3.【2019年高考北京】设函数（a为常数）若f（x）为奇函数，则a=_；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是_【解析】首先由奇函数的定义得到关于的恒等式，据此可得的值，然后利用可得a的取值范围.若函数为奇函数，则即，即对任意的恒成立，则，得.若函数是R上的增函数，则在R上恒成立，即在R上恒成立，又，则，即实数的取值范围是.【答案】4.【优选题】已知函数f(x)mx2xln x，若在函数f(x)的定义域内存在区间D，使得该函数在区间D上为减函数，则实数m的取值范围为_【解析】
7、f(x)2mx1，即2mx2x10时，由于函数y2mx2x1的图象的对称轴x0，故只需0，即18m0，解得m0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减；若a=0，在单调递增；若a0，则当时，；当时，故在单调递增，在单调递减.（2）满足题设条件的a，b存在.（i）当a0时，由（1）知，在0，1单调递增，所以在区间0，l的最小值为，最大值为.此时a，b满足题设条件当且仅当，即a=0，（ii）当a3时，由（1）知，在0，1单调递减，所以在区间0，1的最大值为，最小值为此时a，b满足题设条件当且仅当，b=1，即a=4，b=1（iii）当0a3时，由（1）知，在0，1的最小值为，最大值为b或若，b=1
8、，则，与0a3矛盾.若，则或或a=0，与0a3矛盾综上，当且仅当a=0，或a=4，b=1时，在0，1的最小值为-1，最大值为110.【2019年高考浙江】已知实数，设函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）对任意均有 求的取值范围注：e=2.71828为自然对数的底数【解析】（1）当时，所以，函数的单调递减区间为（0，3），单调递增区间为（3，+）（2）由，得当时，等价于令，则设，则（i）当 时，则记，则.故10+单调递减极小值单调递增所以，因此，（ii）当时，令 ，则，故在上单调递增，所以由（i）得，所以，因此由（i）（ii）知对任意，即对任意，均有综上所述，所求a的取值范围是【答案】（1）
9、的单调递增区间是,单调递减区间是；（2）.【模拟考场】1.设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（ ）A B C D【解析】当时，不符合题意，故排除C，D.当时，故符合题意.【答案】B2.设函数，其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）A B C D【解析】 ，记，则题意说明存在唯一的整数，使的图象在直线下方，当时，当时，因此当时，取得极小值也是最小值，又，直线过点（1,0）且斜率为，故，解得【答案】D3.若函数有两个零点，则的取值范围（ ）A. B. C. D.【解析】考查函数，则问题转化为曲线与直线有两个公共点，则，则，当时，当时，则，当，则，此时，函数在区间上单调递减
10、，在区间上单调递增，同理，当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，因此函数在处取得极小值，亦即最小值，即，由于函数有两个零点，结合图象知，解得，故选A.【答案】A4.设（1）求函数的单调区间；（2）若当时恒成立，求的取值范围【解析】试题分析：（1）由原函数求出导数，通过导数的正负求出相应的单调区间（2）将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，本题中需求函数的最大值，可通过导数求解.试题解析：（1）由 得或，所以函数的单调增区间为， ；单调减区间为.（2）根据上一步知函数在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，又，所以在区间上要使恒成立，只需即可.【答案】（1）增区间为， 单调减区间为（2）5.【2018年高考全国卷理数】已知函数（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，证明：【解析】（1）的定义域为，.（i）若，则，当且仅当，时，所以在单调递减.（ii）若，令得，或.当时，；当时，.所以在单调递减，在单调递增.（2）由（1）知，存在两个极值点当且仅当.由于的两个极值点满足，所以，不妨设，则.由于，所以等价于.设函数，由（1）知，在单调递减，又，从而当时，.所以，即.6.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）设函数，若时，恒成立，求实数的取值范围【解析】（1）的定义域为，令，则，时，即，方程两根为，当时，恒成立，的增区间为；
