《精编》线性代数课程改造的理念和目标

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1、线性代数课程改造的理念与目标 教育部 使用信息技术工具改造课程 项目 改革的缘由 需求牵引 现在的线性代数教学大纲存在着重大的缺陷 主要是没有把 需求牵引 和 技术推动 作为动力 1 不能满足工科后续课的需求 按所教的方法后续课无法用来解高阶 复数的矩阵题目 后续课普遍不用线性代数解题 工科后续课能用而不用矩阵的调查 给数学教指委的建议书中列出 一些典型的应用 1 静力学中的核心是平衡方程 一个空间物体有6个平衡方程 就是n 6的线性方程组 两个刚体相联 方程数n就加倍 电路课中稳态电路核心是基尔霍夫方程 n个节点 或回路 就有n个方程 交流电路更是复数方程 构成n元复数方程组 线性代数教的手

2、工解法解决不了 只好不用 还是用中学的代入法 这就是现状 后续课中要算的n都大于3 现代的科学计算问题n达到几百 几千 不教计算机结果是统统不用矩阵 简单的用中学的方法 复杂的只好不算 静力学模型 交流电路模型 典型的应用 2 计算信号流图传递函数公式 在传统的教材中 都向学生介绍梅森公式 这个公式是以图论为基础的 既没有证明 计算又极繁琐 后面根本不用 但几十年就是这样讲下来的 其实线性系统的任何复杂信号流图都可以严格地用矩阵表示 写成 其中 有N个信号 方程就有N个 矩阵就有N阶很容易得出传递函数W的公式 靠手算 这个N阶矩阵求逆的运算 谁都不敢碰 但若用MATLAB算 很复杂的系统 这个

3、式子不过几秒钟就出结果了 既有严格理论 又可快速计算 比梅森公式强得多 它的前提是 学生会用计算机解线性代数问题 学生的数学基础是符合现代化标准的 一个信号流图的实例 信号流图代表的是线性方程组 x1 u x2 x1 x3 x5 x3 G1 x2 x4 x3 x1 x5x5 G2 x4 x6 x3 x5 x7x7 G3 x6 x8 K x7 应用 3 频谱的计算 把DFT写成矩阵形式 设通常N 1024 记作 W矩阵是1024 1024阶的 106个元素输入技巧 列 行 应用 4 最优FIR滤波器设计 归结为解以下的超定线性方程组求d 估计圆直径的方法 测圆周上n个点 求其半径 设圆周方程为

4、c1 c2为圆心的坐标 r为半径 整理上述方程 得到用n个测量点坐标 xi yi 代入 得到这是关于三个未知数的n个线性方程 所以是一个超定问题 解出就可得知这个最小二乘圆的圆心坐标和半径r的值 应用 5 坐标测量仪测园直径 归结为求超定方程最小二乘解c 为什么不用 技术推动 从 需求牵引 的角度 我们知道 即使是大学后续课程 需要的是高阶 复数 超定的线性方程组 用中学的代入法 消去法是不行的 所以要引进线性代数 其实 它比中学方法更繁 因为它不找窍门 而是死算 但死算有一个好处 因为程序简单了 所以线性代数的好处只有与计算机结合才能显示 线性代数不用计算机解题 不联系应用 不符合课程现代化

5、的要求 落后于美国十多年 一个比方 中学代数中的 代入法 消去法 相当于手推独轮车 解决个体户自留地中的运输问题 大学学线性代数是 载重汽车 解决大生产中大规模 长距离的运输问题 载重汽车很复杂 要讲它的原理和设计方法很费时间 但许多人忘掉了最关键一点 要使载重汽车发挥作用 必须要用发动机 要加油 MATLAB 其次必须要学会开车 机算 认路 建模 如果仍然用手工 那么载重汽车还不如手推车 除了耍杂技玩 谁也不会用的 现在的问题就在这里 我们在造 手工载重车 方面下的功夫很大 但在汽油发动机 开车 认路方面一点不教 所以在后续课的广阔天地中没人用载重汽车 都是用独轮车在解题 离开 现代化 太远

6、了 一个比方 中学代数中的 代入法 消去法 相当于手推独轮车 解决个体户自留地中的运输问题 大学学线性代数是 载重汽车 解决大生产中大规模 长距离的运输问题 载重汽车很复杂 要讲它的原理和设计方法很费时间 但许多人忘掉了最关键一点 要使载重汽车发挥作用 必须要用发动机 要加油 MATLAB 其次必须要学会开车 机算 认路 建模 如果仍然用手工 那么载重汽车还不如手推车 谁也不会用的 现在的问题就在这里 我们在造 手工载重车 方面下的功夫很大 但在汽油发动机 开车 认路方面一点不教 所以在后续课的广阔天地中没人用载重汽车 要把大多数用汽车的与少数造汽车的区分开来 教会他们开车 认路 解决现代化大

7、生产的需要 这是我们改革的目标 矩阵在科学计算中的重大意义 矩阵是组织海量数据进行运算的最好的数学方法 如果矩阵运算仍然用单个元素运算来完成 那末人们宁愿用代入法或消去法等中学方法 至少它可以省掉一些运算量 要使矩阵运算带来实际的好处 必须要有能进行海量数据运算 处理 绘图的工具 笔算无法显示矩阵优势 只有靠计算机 如果计算机每次只对两个数进行运算 那它的效率和计算器差不多 计算机的优势只有在数据批处理中才能显示 会矩阵不会计算机 是瘸子 会计算机不会矩阵 也是瘸子 要把两者的优势结合起来 才算真正进入了科学计算的殿堂 线性代数能完成这一点 对大学生 对现代化 将是功德无量 国内外教材简要对比

8、 说明我国教材的三个弱点 1 不注意从几何图形引入线性代数的概念 不用图说明问题 2 不使用现代化计算工具 使得解题的范围无法扩大 3 不联系应用实际 不了解科学和工业现代化对线性代数的需求 不能激发学生学习的热情 国内的线性代数改革 多侧重于课程内部概念的讲法 但缺少两点 一是不注意与应用 与后续课等外部的关系的改革 二是不注意引进新技术 没有用现代化的计算和教学工具 这正是我们常讲的引领科技发展的两个动力 需求牵引 和 技术推动 少了这两点 创新的新思想 新课题就没法诞生 机算和手算解题范围的对比 可以用下图表示数学软件对线性代数的作用 白色部分为手工能解的区 黑色区是手工不能解的区域 灰

9、色区是计算太繁的区域 用了数学软件后全部都能解 不难看出 数学软件可以使线性代数较好地满足后续课和未来工程计算的需要 新旧线性代数内容覆盖图 大纲改革后的解题指标 1 解6元以上的实数线性代数方程组 力学 2 解3元以上的复数线性代数方程组 电路 3 会进行3阶以上的信号流图传递函数计算 即学会做文字变量的求逆运算 信号与系统 4 进行6阶3元以上超定方程组的求解 这是指教材中控制的例题和习题的深度 我们觉得 线性代数达到这个水平 与后续课就可以实现无缝衔接了 实际上 只要学会使用计算机编程以后 阶数是没有上限的 补丁书 线性代数实践 补充的内容为 1 后续课和工程中的应用实例 2 线性代数中

10、所有概念的几何形象 甚至动画 3 解各种线性代数问题的MATLAB程序 4 适合计算机算的习题 另外就是MATLAB语言入门 它的宗旨是实现下面三句口号 线性代数抽象吗 看了本书后 你会知道它的概念都基于空间形象 线性代数冗繁吗 学了本书后 你会懂得它的计算全藉助简明程序 线性代数枯燥吗 读了本书后 你会发现它的应用极其广泛又精彩 美国的做法 1990年开始 先组成了线性代数课程研究组 LinearAlgebraCurriculumStudyGroup LACSG 8月 他们和工程界的代表 共同提出了几条建议 简称为LACSGRecommendations 要点是 i 线性代数课程要面向应用

11、满足广大的非数学专业学生的需要 ii 它应该是面向矩阵的 iii 它应该是根据学生的水平和需要来组织的 iv 它应该利用最新的计算技术 v 对数学专业要另设课程提高其抽象性 1992年NSF又资助了一个ATLAST计划 ATLAST是AugmenttheTeachingofLinearAlgebrausingSoftwareTools 用软件工具增强线性代数教学 的缩写 该计划在1992到1997六个暑期组织了许多学习班 使大批教师接受了科学计算语言的培训 从而在全国推动了线性代数与计算机的结合 本项目工作过程 2005 2005年5月 8月写出了 线性代数实践与MATLAB入门 2005年9

12、月在学校的支持下办了40余人的线性代数教师培训班 以稿为教材 讲8节课 并举行座谈 听取反馈意见 2005年11月 在一个学生班中试点加1学分的 线性代数实践 也收集反馈 这两项试点的结果都反映在2006年4月给教指委的建议书中 试用的方法和效果 我校利用这本书的初稿在全校线性代数老师办了一次培训班 给参加培训的老师计工作量 因此参训老师踊跃 在学生班中也作了加一个学分 线性代数实践 的试点 收到了很好的反映 书的用法是在线性代数课中加一个 线性代数实践 学分 在线性代数上到一半的时候开设 1学分 15学时 其中讲课10学时 MATLAB4学时 线性代数实践6学时 上机10机时 5学时 考试成

13、绩按10 15 计入线性代数总分 教师培训班的部分反映 见 培训班部分成员谈学习体会 培训班40名教师 有27名写了心得 普遍盛赞引入软件和实践的好处 见给教指委建议书 老师不能只抱着一本规定的教材上课 必须看外国的最新教材和发展趋势 并从历史的观点分析差距产生的原因和克服的办法 必须了解后续课如何用线性代数 要更多地了解线性代数在工程中的应用 这次培训班和这本实践教材的最大贡献是在这个方面 在当前条件下 可以改革的地方应该先做起来 比如用本教材中的应用实例使学生提高学习的目的性和积极性 充分利用二维 三维的空间形象强化学生的感性认识 在计算能力方面 目前马上让全部学生大量使用MATLAB有一

14、定困难 但至少要告诉同学哪些工作应该由计算机来完成 05届学生反映举例 一边学理论 一边学实践 让我们在其他同学面前多了一份自豪 欣慰之情难以言表 自豪只是内心之感 学这们课的最大体会是多了一技之长 学以制用 此为学的目的 学matlab让我深刻地体会到了学习线性代数的用途所在 为此解除了困惑 有了学习的动力 这门课对我们很有用 可惜只有我们班开课 应推广至全部同学 最好能增加上机次数 以后每学期最好也能开几次课 不然就忘了 白学了 在2008年初 对这个已是三年级的班又重做了调查 对 线性代数实践 课程仍然反映很好 97 学生认为线性代数应该笔算 机算都会 才能解决实际问题 线性代数实践教给

15、他们很有用的能力 而且反映学习机算并不难 另外 反映后续课没有很好用机算使他们无用武之地 08年1月对05班学生重新调查 7 你觉得学生学完线性代数课后应该 a 只会用笔算就够了 b 只会用计算机算就行了 c 笔算 机算都会 请说明理由 答 2人答 a 8人答 b 70人答 c 未答4 9 增加计算机算题的内容对教师费不费时 大概要增加多少学时 对学生掌握起来难不难 会帮助还是削弱理论理解 答 不难 8 10学时 能帮助理解 编程有困难 要有多练的条件 13 你在其他哪些课程中曾用计算机解过题 用什么语言 对学校做好 提高教育现代化水平 的其他建议 答 数值算法 C语言 MATLAB语言 工作

16、过程 2007 1 在总结2006胶印教材的基础上 编写了正式教材 工程线性代数 MATLAB版 2007 7由电子工业出版社正式出版 2 教材出版后 迅速作出课件 3 争取了分教指委的基金项目 4 继续在本科班进行试点 特别是为了检验教材的适用性 除正式安排了三个班试点外 在普通班也介绍这本书作为参考书 5 对试点学生的效果进行调查 用MATLAB的教材优越性何在 根据两年的实践 我们在新书中又把其特点归纳为四个方面 即四个主要特点 1 基本概念都从几何图形引入 做到抽象与形象的结合 2 一切繁琐计算都有简明程序 推动笔算与机算的结合 3 大量实例诠释了课程的价值 实现理论与实践的结合 4 能与后续课的需要无缝衔接 体现课程的辐射效应 考虑到部分教师和学生工程基础不足 把与后续课有关的内容移到最后一章 可以选修 关于抽象与形象的结合 三元方程组解的几何意义 适定 超定与欠定 两个向量的行列式是它们组成的平行四边形的面积 三个向量的行列式是它们组成的平行六面体的体积 二维 三维向量线性相关和线性无关的几何意义 平面 二维 线性变换的几何特征及其意义 二维特征值和特征向量的几何意义 三元