《高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词课件4 新人教A版选修1-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词课件4 新人教A版选修1-1（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1 4全称量词与存在量词1 4 1全称量词1 4 2存在量词 自主预习 1 全称量词与全称命题 1 全称量词 在指定范围内 表示整体或全部的含义的短语 如 符号 2 全称命题 含有 的命题叫做全称命题 符号表示 所有的 任意一个 全称量词 x M p x 2 存在量词与特称命题 1 存在量词 表示个别或一部分的含义的短语 如 符号 2 特称命题 含有 的命题叫做特称命题 符号表示 存在一个 至少有一个 存在量词 x0 M p x0 即时小测 1 下列命题中 不是全称命题的是 A 任何一个实数乘以0都等于0B 自然数都是正整数C 每一个向量都有大小D 一定存在没有最大值的二次函数 解析 选D A
2、 B C都是全称命题 D是特称命题 2 下列命题中的假命题是 A 存在实数 和 使cos cos cos sin sin B 不存在无穷多个 和 使cos cos cos sin sin C 对任意 和 有cos cos cos sin sin D 不存在这样的 和 使cos cos cos sin sin 解析 选B 如 k k Z 时 cos cos cos sin sin 故B为假命题 其余为真命题 3 对任意x 3 x a恒成立 则实数a的取值范围是 解析 对任意x 3 x a恒成立 即大于3的数恒大于a 所以a 3 答案 3 4 已知命题 存在x0 1 2 使x02 2x0 a 0
3、为真命题 则a的取值范围是 解析 要使命题为真命题 则22 2 2 a 0 即a 8 答案 8 知识探究 探究点全称量词 全称命题 与存在量词 特称命题 的理解1 你能说出一些常用的全称量词和存在量词吗 提示 全称量词 一切 任意 任给 每一个 都是 有 全体 全部 存在量词 有一个 有一些 有的 对某个 不都是 个别的 部分 2 全称命题 x M p x 为真的含义是什么 提示 对M中的每一个个体x 都具有或满足性质p x 毫无例外 3 特称命题 x0 M p x0 为真的含义是什么 提示 在M的个体中 至少有一个x0具有或满足性质p x0 而不是所有的个体都不具有性质p x 归纳总结 1
4、理解全称命题及特称命题时应关注的三点 1 全称命题就是陈述某集合中所有元素都具有某种性质的命题 常见的全称量词还有 一切 每一个 等 相应的词语是 都 2 有些命题省去了全称量词 但仍是全称命题 如 有理数是实数 就是 所有的有理数都是实数 3 特称命题就是陈述某集合中存在一个或部分元素具有某种性质的命题 常见的存在量词还有 存在 等 2 全称命题与特称命题的区别 1 全称命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具有某一性质 无一例外 强调 整体 全部 2 特称命题中的存在量词则表明给定范围内的对象有例外 强调 个别 部分 易错警示 通过举例验证的方式判断全称命题为真易犯以偏概全的错误 类型一
5、全称命题与特称命题的判定 典例 1 下列语句不是特称命题的是 A 有的无理数的平方是有理数B 有的无理数的平方不是有理数C 对于任意x Z 2x 1是奇数D 存在x0 R 2x0 1是奇数 2 判断下列语句是全称命题 还是特称命题 1 凸多边形的外角和等于360 2 有些实数a b能使 a b a b 3 对任意a b R 若a b 则 4 有一个函数 既是奇函数 又是偶函数 解题探究 1 典例1中特称命题的特征是什么 提示 含有存在量词 如 有的 有些等 2 典例2中判断一个命题是全称命题 还是特称命题的关键是什么 提示 关键是分清量词类型 若没有量词可根据命题的意义将量词补上 解析 1 选
6、C 因为 有的 存在 为存在量词 任意 为全称量词 所以选项A B D均为特称命题 选项C为全称命题 2 1 可以改写为 所有的凸多边形的外角和等于360 是全称命题 2 含有存在量词 有些 故是特称命题 3 含有全称量词 任意 故是全称命题 4 含有存在量词 有一个 是特称命题 延伸探究 把本例1中的各个选项用符号 表示 解析 A x0 无理数 x02 Q B x0 无理数 x02 Q C x Z 2x 1是奇数 D x0 R 2x0 1是奇数 方法技巧 判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤 1 判断语句是否为命题 若不是命题 就当然不是全称命题或特称命题 2 若是命题 再分析命题中所含
7、的量词 含有全称量词的命题是全称命题 含有存在量词的命题是特称命题 3 当命题中不含量词时 要注意理解命题含义的实质 特别提醒 全称命题可能省略全称量词 特称命题的存在量词一般不能省略 拓展延伸 全称命题 特称命题不同表述形式的应用 变式训练 设非空集合P Q满足P Q 则表述正确的是 A x Q 有x PB x P 有x QC x0 Q 使得x0 PD x0 P 使得x0 Q 解析 选B 因为P Q 则由子集的定义 P集合中的任何一个元素都在Q中 所以选B 类型二全称命题与特称命题的真假判断 典例 1 2016 新乡高二检测 有下列四个命题 x R 2x2 3x 4 0 x 1 1 0 2x
8、 1 0 x0 N x02 x0 x0 N x0为29的约数 其中真命题的个数为 A 1B 2C 3D 4 2 2016 太原高二检测 已知命题p x 0 x 4 命题q x0 0 则下列判断正确的是 A p是假命题B q是真命题C p q 是真命题D p q是真命题 解题探究 1 全称命题和特称命题为真的含义是什么 提示 全称命题为真必须所给范围内每一个元素都满足后面的性质 特称命题为真必须至少一个元素满足后面的性质 2 基本不等式的内容和指数函数的定义域是什么 提示 基本不等式 a b R 时 指数函数的定义域为R 解析 1 选C 对于 这是全称命题 因为 3 2 4 2 40恒成立 故
9、为真命题 对于 这是全称命题 因为当x 1时 2x 1 0不成立 故 为假命题 对于 这是特称命题 当x0 0或x0 1时 有x02 x0成立 故 为真命题 对于 这是特称命题 当x0 1时 x0为29的约数成立 所以 为真命题 2 选C 由基本不等式知命题p正确 由知 x0 1 故命题q不正确 结合逻辑联结词的含义可知应选C 延伸探究 1 本例2中命题p改为 x R x 0 x 4 判断其真假 解析 当x R x 0 时 x 4 4 故命题为假命题 2 本例2中命题q改为 x 0 2x 判断其真假 解析 当x 0 时 2x 1 恒成立 所以命题为真命题 方法技巧 全称命题与特称命题的真假判断
10、的技巧 1 全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题 必须对限定集合M中的每个元素x验证p x 成立 但要判定全称命题是假命题 却只要能举出集合M中的一个x x0 使得p x0 不成立即可 这就是通常所说的 举出一个反例 2 特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题 只要在限定集合M中 找到一个x x0 使p x0 成立即可 否则 这一特称命题就是假命题 特别提醒 判断全称命题为假比判断其为真容易 只需一个反例即可 判断特称命题为真比判断其为假容易 只需一个特例 补偿训练 1 下列命题的否定为假命题的是 A x R x2 x 1xC x y Z 2x 5y 12D x0 R sin
11、2x0 sinx0 1 0 解析 选A 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题 只有选项A中的命题为真命题 其余均为假命题 2 下列命题中是真命题且为特称命题的是 A 棱柱是多面体B 对任意 R 函数f x sin 2x 都不是偶函数C 对任意实数x 有cosx 1D 至少有一条直线过点 2 0 且与圆x2 y2 1相交 解析 选D A省略了全称量词 所有的 是全称命题 B C中命题都是全称命题 类型三全称命题与特称命题的应用 典例 1 2016 雅安高二检测 若命题 x0 R使得x02 mx0 2m 5 0 为假命题 则实数m的取值范围是 A 10 6 B 6 2 C 2 10 D 2 10
12、2 2015 山东高考 若 x tanx m 是真命题 则实数m的最小值为 解题探究 1 典例1中二次不等式解集非空时 判别式应满足什么条件 提示 大于0 2 典例2中正切函数在上的单调性是怎样的 提示 增函数 解析 1 选C 命题 x0 R x02 mx0 2m 50 解得m10 所以当命题为假时 m的取值范围是 2 10 2 若 x tanx m 是真命题 则m大于或等于函数y tanx在上的最大值 因为函数y tanx在上为增函数 所以 函数y tanx在上的最大值为1 所以 m 1 即实数m的最小值为1 答案 1 方法技巧 应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型 1 全称命题的常见
13、题型是 恒成立 问题 全称命题为真时 意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质 所以利用代入可以体现集合中相应元素的具体性质 也可以根据函数等数学知识来解决 2 特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论 存在 不存在 是否存在 等语句表述 解答这类问题 一般要先对结论作出肯定存在的假设 然后从肯定的假设出发 结合已知条件进行推理证明 若推出合理的结论 则存在性随之解决 若导致矛盾 则否定了假设 变式训练 若 x R f x a2 1 x是单调减函数 则a的取值范围是 解析 依题意有 0 a2 1 1 a 1或1 a 答案 1 1 补偿训练 若 x R 函数f x mx2 x m a的图
14、象和x轴恒有公共点 求实数a的取值范围 解析 1 当m 0时 f x x a与x轴恒相交 所以a R 2 当m 0时 二次函数f x mx2 x m a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是 1 4m m a 0恒成立 即4m2 4am 1 0恒成立 又4m2 4am 1 0是一个关于m的二次不等式 恒成立的充要条件是 4a 2 16 0 解得 1 a 1 综上所述 当m 0时 a R 当m 0时 a 1 1 自我纠错全称命题与特称命题的应用 典例 f x x2 2x g x ax 2 a 0 x1 1 2 x0 1 2 使f x1 g x0 则a的取值范围是 A B C 3 D 0 3 失误案例 分析解题过程 找出错误之处 并写出正确答案 提示 错误的根本原因是对 x1 1 2 x0 1 2 使f x1 g x0 理解错误 由x1的任意性和x0的存在性可知 对f x 的每一个函数值 都存在一个g x 的函数值与其相等 所以函数f x 的值域应是函数g x 值域的子集 正确的解答过程如下
