高中数学 第一章 三角函数 1.1.1 任意角课件3 新人教A版必修4

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1、第一章三角函数1 1任意角和弧度制1 1 1 1 角的概念的推广和分类 1 角的概念平面内一条射线绕着端点从一个位置 到另一个位置所成的图形 旋转 2 构成角的要素如下 3 角的分类 正角 按 方向旋转形成的角 负角 按 方向旋转形成的角 零角 如果一条射线 作任何旋转 则称它形成了一个零角 逆时针 顺时针 没有 2 象限角和终边相同的角 1 象限角 前提 角的顶点与 重合 角的始边与 重合 结论 角的终边在第几象限 就说这个角是 原点 x轴的非负半轴 第几象限角 2 终边相同的角所有与角 终边相同的角 连同角 在内 可构成一个集合 S 即 任一与角 终边相同的角 都可以表示成角 与整数个周角

2、的和 如图所示 k 360 k Z 1 判一判 正确的打 错误的打 1 研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点 2 相等的角终边一定相同 同样终边相同的角也一定相等 3 象限角与终边落在坐标轴上的角表示形式是唯一的 解析 1 错误 研究终边相同的角的前提条件是角的顶点在坐标原点 且角的始边与x轴的非负半轴重合 2 错误 相等的角终边一定相同 但终边相同的角不一定相等 如390 角的终边与30 角的终边相同 但这两个角不相等 3 错误 不唯一 如终边落在y轴的非正半轴上的角的集合可以表示为 k 360 90 k Z 也可表示为 270 k 360 k Z 答案 1 2 3 2 做一做 请

3、把正确的答案写在横线上 1 将0 角的终边顺时针旋转45 后所得角是第 象限角 2 将0 角的终边顺时针旋转45 后再逆时针旋转65 后所得角是 角 3 与 19 角终边相同的角的集合可表示为 解析 1 将0 角的终边顺时针旋转45 后所得角是 45 角 为第四象限角 答案 四 2 将0 角的终边顺时针旋转45 后再逆时针旋转65 后所得角为 45 65 20 角 答案 20 3 与 19 角终边相同的角的集合可表示为 19 k 360 k Z 答案 19 k 360 k Z 要点探究 知识点1角的概念的推广和分类对任意角概念的四点说明 1 角的三个要素 顶点 始边 终边 角可以是任意大小的

4、2 用旋转的观点来定义角 就可以把角的概念推广至任意角 包括任意大小的正角 负角以及零角 3 对角概念的理解关键是抓住 旋转 二字 要明确旋转方向 要明确旋转的大小 要明确射线未作任何旋转时的位置 4 角的范围不能局限于0 360 而应扩充为任意角 知识拓展 轴线角 象限界角 角的顶点与原点重合 角的始边与x轴的非负半轴重合 如果角的终边在坐标轴上 就认为这个角不属于任何一个象限 此时称其为轴线角或象限界角 微思考 如果一个角的终边和始边重合 那么这个角一定是零角吗 提示 不一定 若角的终边未作旋转 则这个角是零角 若角的终边作了旋转 则这个角不是零角 即时练 1 下列各角 60 126 63

5、 0 99 其中是正角的个数是 A 1B 2C 3D 4 解析 选B 结合正角 负角和零角的概念可知 126 99 是正角 60 63 是负角 0 是零角 故选B 2 30 角的始边与x轴的非负半轴重合 把终边按顺时针方向旋转2周 所得角是 解析 由题意知 所得角为30 2 360 690 答案 690 知识点2象限角与终边相同的角1 各象限角的表示 第一象限 S k 360 90 k 360 k Z 第二象限 S 90 k 360 180 k 360 k Z 第三象限 S 180 k 360 270 k 360 k Z 第四象限 S 270 k 360 360 k 360 k Z 2 对终边

6、相同的角的说明所有与角 终边相同的角 连同角 在内 而且只有这样的角 可以用式子 k 360 k Z表示 在运用时 需注意以下几点 1 k是整数 这个条件不能漏掉 2 是任意角 3 k 360 与 之间用 号连接 如k 360 30 应看成k 360 30 k Z 4 终边相同的角不一定相等 但相等的角终边一定相同 终边相同的角有无数个 它们相差周角的整数倍 3 终边在坐标轴上的角的表示 1 终边落在x轴非负半轴上的角的集合为 x x k 360 k Z 2 终边落在x轴非正半轴上的角的集合为 x x k 360 180 k Z 故角的终边落在x轴上的角的集合为 x x k 180 k Z 3

7、 终边落在y轴非负半轴上的角的集合为 x x k 360 90 k Z 4 终边落在y轴非正半轴上的角的集合为 x x k 360 270 k Z 故终边落在y轴上的角的集合为 x x k 180 90 k Z 由 1 2 3 4 可知终边落在坐标轴上的角的集合为 x x k 90 k Z 微思考 1 第二象限角一定比第一象限角大吗 提示 不一定 象限角只能反映角的终边所在象限 不能反映角的大小 2 终边相同的角的表达形式唯一吗 提示 一般地 终边相同的角的表达形式不唯一 可利用图形来验证 如 90 k 180 k Z 与 90 k 180 k Z 都表示终边在y轴上的角 即时练 1 2014

8、 福州高一检测 与角 70 终边相同的角是 A 70 B 110 C 250 D 290 解析 选D 与角 70 终边相同的角可表示为 k 360 70 k Z 当k 1时 290 故选D 2 2014 抚顺高一检测 1120 角所在的象限是 A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限 解析 选D 因为 1120 3 360 40 而 40 为第四象限角 所以 1120 是第四象限角 故选D 题型示范 类型一任意角的概念问题 典例1 1 2014 莆田高一检测 已知集合A 第一象限角 B 锐角 C 小于90 的角 则下面关系正确的是 A A B CB A CC A C BD B C C

9、2 有下列说法 相差360 整数倍的两个角 其终边不一定相同 是锐角 0 90 小于180 的角是钝角 直角或锐角 其中正确说法的序号是 解题探究 1 题 1 中的第一象限角 锐角 小于90 的角这三种角的主要区别是什么 2 题 2 中相差360 整数倍的两个角的终边有什么关系 探究提示 1 这三种角的取值范围不一样 2 相差360 整数倍的两个角的终边重合 自主解答 1 选D 第一象限角可表示为k 360 k 360 90 k Z 锐角可表示为0 90 小于90 的角可表示为 90 由三者之间的关系可知 选D 2 不正确 终边相同的两个角一定相差360 的整数倍 反之也成立 因为 是锐角 即

10、0 90 故 0 90 0 90 故 正确 0 角小于180 但它既不是钝角 也不是直角或锐角 故 不正确 答案 方法技巧 判断角的概念问题的关键与技巧 1 关键 正确理解象限角与锐角 直角 钝角 平角 周角等概念 2 技巧 判断命题为真需要证明 而判断命题为假只要举出反例即可 变式训练 2014 淮北高一检测 下列说法正确的是 A 终边相同的角一定相等B 钝角一定是第二象限角C 第一象限角一定不是负角D 小于90 的角都是锐角 解析 选B 终边相同的角可以相等 也可以差360 的整数倍 故A错误 钝角即大于90 且小于180 的角 一定是第二象限角 故B正确 而第一象限角可以是负角 也可以是

11、正角 故C错误 负角是小于90 的角 但不是锐角 故D错误 补偿训练 下列说法中正确的是 A 三角形的内角必是第一 二象限角B 第二象限角必是钝角C 不相等的角终边一定不相同D 若 k 360 k Z 则 和 终边相同 解题指南 根据角的概念判断 解析 选D 90 的角可以是三角形的内角 但它不是第一 二象限角 210 的角是第二象限角 但它不是钝角 390 角和30 角不相等 但终边相同 故A B C均不正确 对于D 由终边相同的角的概念可知正确 类型二象限角与终边相同的角的表示及应用 典例2 1 若角 为第四象限角 则90 是 A 第一象限角B 第二象限角C 第三象限角D 第四象限角 2

12、已知角 是锐角 则2 是 A 第一象限角B 第二象限角C 小于180 的正角D 第一或第二象限角 3 已知 315 把 改写成k 360 k Z 0 360 的形式 并指出它是第几象限角 求 使 与 终边相同 且 1080 360 解题探究 1 题 1 中角 为第四象限角 应如何表示 2 题 2 中 是锐角 则角 如何用不等式表示 3 题 3 中为什么把一个角转化到0 360 之间就可以判定是第几象限的角 探究提示 1 角 是第四象限角 可表示为k 360 270 k 360 360 k Z 2 锐角 可表示为0 90 3 因为在0 360 之间的角与坐标中的射线是一一对应的 自主解答 1 选

13、A 方法一 因为角 为第四象限角 所以k 360 270 k 360 360 k Z 所以k 360 360 90 k 360 450 k Z 可知90 在第一象限 方法二 特值法 由角 为第四象限角 可取 300 故90 390 可知其在第一象限 2 选C 因为 是锐角 所以0 90 所以0 2 180 故选C 3 因为 315 360 45 又0 45 360 所以把 写成k 360 k Z 0 360 的形式为 360 45 45 它是第一象限角 与 315 终边相同的角为 k 360 45 k Z 所以当k 3 2时 1035 675 满足 1080 360 即得所求角 为 1035

14、和 675 延伸探究 在题 3 中 若 2010 其他不变 则结果又如何呢 解析 因为 2010 6 360 150 0 150 360 所以把 2010 写成k 360 k Z 0 360 的形式为 6 360 150 150 它是第二象限角 与 2010 终边相同的角为 k 360 150 k Z 所以当k 3 2时 930 570 满足 1080 360 即得所求角 为 930 和 570 方法技巧 1 象限角的两种判定方法一是根据角的范围 在直角坐标系内讨论 二是结合条件及选项取特殊值验证 2 2 等角的终边位置的确定方法 1 不等式法一般首先利用象限角的概念或已知条件 写出角 的范围

15、 然后利用不等式的性质 求出2 等角的范围 最后利用 旋转 的观点 确定角终边的位置 例如 如果得到k 120 k 120 30 k Z 可画出0 30 所表示的区域 再将此区域依次逆时针或顺时针转动120 如图所示 2 几何法 或等分象限法 若已知 所在的象限 确定所在的象限 可先将各个象限n等分 从第一象限离x轴最近的区域开始逆时针方向依次循环标注号1 2 3 4 直到将所有区域标完为止 如果 在第几象限 则在图中标号为几的区域内 例如 已知 为第四象限角 则终边所在的位置为下图标4的区域内 变式训练 在0 到360 之间找出与下列各角终边相同的角 并判定下列各角是第几象限角 1 640

16、2 234 5 解析 1 因为640 280 360 所以在0 到360 之间与640 角终边相同的角是280 角 又因为280 是第四象限角 所以640 是第四象限角 2 234 5 125 55 360 所以与 234 5 角终边相同的角是125 55 所以 234 5 是第二象限角 补偿训练 设角 与 的终边互相垂直 且 是第二象限角 则 是 A 第一象限角B 第三象限角C 第一或第三象限角D 第一或第四象限角 解析 选C 的终边在第二象限时 的终边有两个位置 即第一或第三象限 故选C 易错误区 对象限角判断时因考虑不全而致误 典例 若 是第三象限的角 则是 A 第一象限的角B 第三象限的角C 第四象限的角D 第一象限或第三象限或第四象限的角 解析 选D 因为 是第三象限的角 所以k 360 180 k 360 270 k Z 则k 120 60 k 120 90 k Z 取k 0 得到在第一象限 取k 1 得到在第三象限 取k 2 得到在第四象限 故选D 常见误区 防范措施 由角 所在的象限判断 n N 所在象限应把角 写成k 360 k 360 k Z 的形式 再求出分别取k