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1、ch73 68 区间估计 引例已知X N 1 不同样本算得的 的估计值不同 因此除了给出 的点估计外 还希望根据所给的样本确定一个随机区间 使其包含参数真值的概率达到指定的要求 的无偏 有效点估计为 7 3 ch73 69 如引例中 要找一个区间 使其包含 的真值的概率为0 95 设n 5 取 查表得 ch73 70 这说明 即 称随机区间 为未知参数 的置信度为0 95的置信区间 ch73 71 反复抽取容量为5的样本 都可得一个区间 此区间不一定包含未知参数 的真值 而包含真值的区间占95 置信区间的意义 若测得一组样本值 它可能包含也可能不包含 的真值 反复 抽样得到的区间中有95 包含
2、 的真值 算得 ch73 72 ch73 73 取 0 05 ch73 74 设 为待估参数 是一给定的数 0 1 若能找到统计量 使 置信区间或区间估计 置信下限 置信上限 置信区间的定义 定义 ch73 75 反映了估计的可靠度 越小 越可靠 置信区间的长度反映了估计精度 越小 1 越大 估计的可靠度越高 但 确定后 置信区间的选取方法不唯一 常选最小的一个 几点说明 越小 估计精度越高 这时 往往增大 因而估计精度降低 ch73 76 处理 可靠性与精度关系 的原则 ch73 77 寻找一个样本的函数 它含有待估参数 不含其它未知参数 它的分布已知 且分布不依赖于待估参数 常由 的点估计
3、出发考虑 例如 求置信区间的步骤 称为枢轴量 取枢轴量 ch73 78 给定置信度1 定出常数a b 使得 引例中 由 解出 得置信区间 引例中 ch73 79 一 一个正态总体X N 2 的情形 置信区间常用公式 1 方差 2已知 的置信区间 公式 一 1 ch73 80 解 得 的置信度为的置信区间为 ch73 81 2 方差 2未知 的置信区间 由 确定 故 的置信区间为 推导选取枢轴量 公式 2 ch73 82 3 当 已知时 方差 2的置信区间 取枢轴量 得 2的置信度为置信区间为 由概率 公式 3 ch73 83 4 当 未知时 方差 2的置信区间 选取 得 2的置信区间为 则由
4、公式 4 ch73 84 例1某工厂生产一批滚珠 其直径X服从 解 1 即 正态分布N 2 现从某天的产品中随机 1 若 2 0 06 求 的置信区间 2 若 2未知 求 的置信区间 3 求方差 2的置信区间 抽取6件 测得直径为 15 1 14 8 15 2 14 9 14 6 15 1 例1 ch73 85 由给定数据算得 由公式 1 得 的置信区间为 2 取 查表 由给定数据算得 ch73 86 由公式 4 得 2的置信区间为 3 选取枢轴量 查表得 由公式 2 得 的置信区间为 ch73 87 为取自总体N 1 12 的样本 为取自总体N 2 22 的样本 置信度为1 分别表示两样本的
5、均值与方差 二 两个正态总体的情形 二 ch73 88 相互独立 的置信区间为 公式 5 ch73 89 2 未知 但 的置信区间 ch73 90 的置信区间为 公式 6 ch73 91 相互独立 3 未知 n m 50 的置信区间 公式 7 ch73 92 令Zi Xi Yi i 1 2 n 可以将它们看成来自正态总体Z N 1 2 12 22 的样本 仿单个正态总体公式 2 的置信区间为 4 未知 但n m 的置信区间 公式 8 ch73 93 取枢轴量 公式 9 ch73 94 取枢轴量 ch73 95 公式 10 ch73 96 例2某厂利用两条自动化流水线罐装番茄酱 现分别从两条流水
6、线上抽取了容量分别为13与17的两个相互独立的样本 与 已知 假设两条流水线上罐装的番茄酱的重量都服从正态分布 其均值分别为 1与 2 例2 ch73 97 ch73 98 解 查表得 由公式 6 的置信区间为 1 取枢轴量 ch73 99 2 枢轴量为 查表得 由公式 9 得方差比的置信区间为 ch73 100 三 单侧置信区间 定义对于给定的 0 1 是待估参数 是总体X的样本 若能确定一个统计量 使得 则称 为置信度为1 的单侧置信区间 三 ch73 101 例3已知灯泡寿命X服从正态分布 从中随机抽取5只作寿命试验 测得寿命为1050 1100 1120 1250 1280 小时 求灯
7、泡寿命均值的单侧置信下限与寿命方差的单侧置信上限 解 未知 例3 取 ch73 102 1 选取枢轴量 2 选取枢轴量 ch73 103 若总体X的分布未知 但样本容量很大 由中心极限定理 可近似地视 若 2已知 则 的置信度为1 的置信区间可取为 若 2未知 则 的置信度为1 的置信区间可取为 四 非正态总体均值的区间估计 四 ch73 104 例4设X服从参数为p的0 1分布 样本为 求p的置信度为1 的置信区间 解 令 ch73 105 所以参数p的置信区间为 p1 p2 例如自一大批产品中抽取100个样品 其中有60个一级品 求这批产品的一级品率p的置信度为0 95的置信区间 p的置信区间为
