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1、6 2定积分的几何应用1 用二重积分计算旋转体的体积 蜀南竹海 6 2定积分的几何应用2 作为定积分的几何应用 旋转体的体积一般是用定积分来计算 本课件用元素法来推导旋转体体积的二重积分的计算公式 将二重积分化为二次积分可以得到计算旋转体体积的定积分公式 最后 举例加以说明 6 2定积分的几何应用3 先看特殊的情形 旋转轴为坐标轴 6 2定积分的几何应用4 设D是上半平面内的一个有界闭区域 将D绕x轴旋转一周得一旋转体 求该旋转体的体积Vx 我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式 D 6 2定积分的几何应用5 D 在区域D的 x y 处取一个面积元素 它到x轴的距离是y 如图 该面积元素绕
2、x轴旋转而成的旋转体的体积约为 体积元素 于是整个区域绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 6 2定积分的几何应用6 D 命题1 上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积为 6 2定积分的几何应用7 D 命题2 右半平面内一个有界闭区域D绕y轴旋转而成的旋转体的体积为 同理 6 2定积分的几何应用8 下面针对不同的区域将二重积分化为定积分得到熟悉的旋转体体积公式 6 2定积分的几何应用9 x型区域绕x轴旋转 6 2定积分的几何应用10 y f x 如果 圆片法 则D绕x轴旋转的旋转体体积为 6 2定积分的几何应用11 y f x y g x 如果 则D绕x轴旋转的旋转体体积为 垫圈法
3、6 2定积分的几何应用12 y型区域绕y轴旋转 6 2定积分的几何应用13 x f y 如果 则D绕y轴旋转的旋转体体积为 圆片法 6 2定积分的几何应用14 x f y x g y 如果 则D绕y轴旋转的旋转体体积为 垫圈法 6 2定积分的几何应用15 x型区域绕y轴旋转 注意 一般教材没有介绍这个公式 6 2定积分的几何应用16 y f x y g x 如果 则D绕y轴旋转的旋转体体积为 柱壳法 6 2定积分的几何应用17 下面看一个极坐标的情形 6 2定积分的几何应用18 如果D是曲边扇形 则D绕极轴 x轴 旋转的旋转体体积为 6 2定积分的几何应用19 我们用命题1来推导一个有关区域D
4、的形心 质心 和旋转体体积之间的关系的定理 古尔丁定理 PaulGuldin 古尔丁 1577 1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity 6 2定积分的几何应用20 D 上半平面内一个有界闭区域D绕x轴旋转而成的旋转体的体积等于该区域的形心所经过的路程与D的面积A的乘积 古尔丁定理 形心 A 6 2定积分的几何应用21 D 形心 A 如果你很容易求得D的面积和形心 用古尔丁定理就很容求得旋转体的体积 6 2定积分的几何应用22 下面来看一般的情形 一般的区域 一般的旋转轴 6 2定积分的几何应用23 设D是xOy坐标平
5、面内的一个有界闭区域 直线L与D的内点不相交 如图 将D绕直线L旋转一周得一旋转体 求该旋转体的体积V 我们用元素法来建立旋转体体积的二重积分公式 D L 6 2定积分的几何应用24 D 在区域D的 x y 处取一个面积元素 它到直线L的距离是 该面积元素绕L旋转而成的旋转体的体积约为 于是整个区域D绕直线L旋转而成的旋转体的体积为 设直线L的方程为ax by c 0 L 6 2定积分的几何应用25 D 命题3区域D绕直线ax by c 0 D在直线的一侧 旋转而成的旋转体的体积为 L 6 2定积分的几何应用26 下面举几个例子来说明命题3中的公式的应用 所有计算都用数学软件Maple验证了
6、6 2定积分的几何应用27 例1求由y 2x和y x2所围区域D绕直线y 2x旋转的旋转体体积V f x y 2 x y x1 0 x2 2 y1 x x 2 y2 x 2 x int f x y y y1 y2 int int f x y y y1 x y2 x x x1 x2 2 Pi sqrt 5 Int Int f x y y y1 x y2 x x x1 x2 2 Pi sqrt 5 int int f x y y y1 x y2 x x x1 x2 with plots quxian plot x 2 2 x x 1 3 y 1 5 thickness 4 display quxi
7、an tickmarks 0 0 scaling constrained 6 2定积分的几何应用28 例2求由x y2和y x2所围区域D绕直线y x 1旋转的旋转体体积V f x y y x 1 x1 0 x2 1 y1 x x 2 y2 x sqrt x int f x y y y1 y2 int int f x y y y1 x y2 x x x1 x2 sqrt 2 Pi Int Int f x y y y1 x y2 x x x1 x2 sqrt 2 Pi int int f x y y y1 x y2 x x x1 x2 with plots quxian implicitplot
8、 y x 2 x y 2 y x 1 x 1 3 y 1 2 thickness 4 display quxian tickmarks 0 0 scaling constrained 6 2定积分的几何应用29 例3求由y 0 y lnx和x e所围区域D绕直线y x旋转的旋转体体积V f x y y x 1 x1 0 x2 1 y1 x x 2 y2 x sqrt x int f x y y y1 y2 int int f x y y y1 x y2 x x x1 x2 sqrt 2 Pi Int Int f x y y y1 x y2 x x x1 x2 sqrt 2 Pi int int
9、 f x y y y1 x y2 x x x1 x2 with plots quxian implicitplot y x 2 x y 2 y x 1 x 1 3 y 1 2 thickness 4 display quxian tickmarks 0 0 scaling constrained 6 2定积分的几何应用30 也可以按先x后y的积分次序计算二重积分 f x y x y y1 0 y2 1 x1 y exp y x2 y exp 1 sqrt 2 Pi Int Int f x y x x1 y x2 y y y1 y2 sqrt 2 Pi int int f x y x x1 y x2 y y y1 y2 6 2定积分的几何应用31 以上几个例子说明用二重积分计算旋转体的体积是很方便的尤其是旋转轴不平行于坐标轴时这种方法特别显示其优越性
