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1、第二章故障诊断的信号分析与处理技术 内容提要 1 信号的分类2 常用数学变换 付里叶 Fourier 变换 拉普拉斯 Laplace 变换 Z变换 希尔伯特 Hilbert 变换3 时域分析4 频域分析5 时间序列分析6 信号处理的一些特殊方法 第二章故障诊断的信号分析与处理技术 信号 信息的载体 通常表示为x t y t 等 信号分析与处理 对信号的加工过程 信号分析与处理的目的 从原始信号中获取更多的有用信息 更便于根据信号的特征进行判断 第二章故障诊断的信号分析与处理技术 信号分析与处理的常用方法 时域分析 统计特征参量分析 例如概率密度函数p x 概率分布函数F x 均值 x 偏态指标
2、K3 峭度指标K4 无量纲指标等 相关分析 自相关 互相关分析 频域分析 幅度谱分析 功率谱分析等 时间序列分析 特殊方法 时域平均 倒频谱分析 自适应消噪技术 共振解调技术等 第二章故障诊断的信号分析与处理技术 信号的分类 目的不同的信号种类采取不同的处理方法 以便获取更多的有用信息 信号的分类 依据1根据其能否用明确的数学表达式进行描述而将信号分为 确定性信号 是指能用数学表达式进行精确描述的一类信号 它可进一步分为周期信号和非周期信号 周期信号是指每隔一定的时间便重复发生一次的一类信号 简谐信号是最简单的周期信号 可表示为 x t x t T T 周期随机信号 是指其单次试验所得信号的规
3、律不能确定 而在大量的重复试验中则表现出某种统计特性的一类信号 说明 工程实际中 特别是在机械故障诊断领域中 我们所测得的信号大都是确定性信号和随机信号的组合 因而总体上具有一定的随机性 绝对的确定性信号是很少见的 因此 我们往往把所测机械信号笼统地说成是随机信号 第二章故障诊断的信号分析与处理技术 信号的分类 依据2根据其统计特性的不同 可将随机信号分为 平稳随机信号 统计特性不随时间变化而改变的一类信号 如果信号的各阶矩都不随时间而改变 则称此信号是严平稳 强平稳 如果信号的统计特性中只有均值和方差不随时间而改变 则称此信号是宽平稳 弱平稳 说明 在大多数情况下 在诊断机械状态监测中所测得
4、的信号都属于平稳随机信号的范畴 实际工作中 我们往往事先假定所测信号为平稳随机信号 在平稳随机信号中各态历经信号最为重要 各态历经性 是指其总体的集合统计量与其样本的时间统计量对应相等 各态历经性的重要意义在于 可用样本来研究信号的总体特性 非平稳随机信号 统计特性随时间而改变的一类信号 第二章故障诊断的信号分析与处理技术信号的分类各态历经 st x t st x1 t st x2 t st xn t 平稳信号 st x t st x t1 st x t2 st x tn 第一节信号分析与处理中的常用数学变换 数学变换是信号分析与处理的数学基础常用算法 一 付里叶 Fourier 变换二 拉普
5、拉斯 Laplace 变换三 Z变换四 希尔伯特变换 HilbertTransform 一 付里叶 Fourier 变换 内涵 任何时域信号都可以由各种不同频率的简谐信号组成 付里叶变换就是研究它们之间关系的有力工具 即从时域变换至频域 重要意义 主要表现在以下几个方面1 可以把对复杂的时域信号的分析 转化为一系列不同频率的简谐信号的分析 而简谐信号是最容易产生 最便于分析 理论最成熟的信号 2 任何一个系统 机械的 电器的 电子的 液压的 气动的 都具有自身的频率特性 即对不同的频率简谐信号的输入 有不同的响应特性 如 人体 弹簧 质量系统 放大电路系统 滤波电路系统等 3 为了分析系统的工
6、作状态 经常要求了解不同频率条件下系统的工作状态 如合唱队各个声部的音响状态 机床嘈声的悦耳要求 设备的故障源的识别等 举例 付里叶 Fourier 级数 矩形波分解 举例 付里叶 Fourier 级数 周期函数分解 举例 齿轮系统的振动信号分析齿根裂纹 输入轴回转频率 f1 990 60 16 5HzZ1 Z2啮合频率 330HzZ3 Z4啮合频率 171 2Hz 一 付里叶 Fourier 变换 主要内容 1 付里叶 Fourier 级数 周期函数 2 付里叶 Fourier 变换 非周期函数 3 离散付里叶 Fourier 变换 DFT DiscreteFourierTransform
7、4 快速付里叶 Fourier 变换 FFT FastFourierTransform 1965年Cooley Tukey首先提出 1 付里叶 Fourier 级数 1 周期函数及其付里叶级数展开周期函数 弹簧质量系统的简谐振动 内燃机活塞的往复运动 偏心质量的旋转运动等都是周而复始的运动 这种运动叫做周期运动 它反映在数学上就是周期函数的概念 对于函数x t 若存在着不为零的常数T 对于时间t的任何值都有 x t T x t 2 1 则称x t 为周期函数 而满足上式的最小正数T称为x t 的周期 1 付里叶 Fourier 级数 1 周期函数及其付里叶级数展开 三角函数形式根据付里叶级数理
8、论 对于任何一个周期为T的周期函数x t 如果在 T 2 T 2 上满足狄利赫利 Dirichlet 条件 即函数在 T 2 T 2 上满足 连续或只有有限个第一类间断点 只有有限个极值点 则可展开为如下的付里叶级数 1 付里叶 Fourier 级数 周期函数及其付里叶级数展开 三角函数形式以上展开式称为周期函数x t 的付里叶级数 其中a0 an bn为付里叶系数 完全决定了付里叶变换的结果 在信号处理中 这种展开又叫做频率分析 其中常数a0 2表示信号的静态部分 称为直流分量 而依次叫做一次谐波 二次谐波 n次谐波分量 注 第一类间断点 就是函数在t0点的左极限f t0 0 和右极限f t
9、0 0 存在但不相等 或存在且相等但不等于f t0 1 付里叶 Fourier 级数 复习 复数由实部和虚部组成 j是虚数 本身并无真正的数值的意义 但它的整指数运算特性给数学分析带来很多方便 特别是它和三角函数的关系 广泛用于信号分析 欧拉 Euler 公式的推导和理解 1 付里叶 Fourier 级数 2 付里叶级数的复指数形式为了运算的方便 我们可将上述用三角函数形式表示的付里叶级数变为复指数形式 根据欧拉公式 可改写为 1 付里叶 Fourier 级数 2 付里叶级数的复指数形式 令则有 1 付里叶 Fourier 级数 2 付里叶级数的复指数形式 讨论 由付里叶级数的三角函数表达式可
10、以看出 x t 由幅值为An 相位为 n频率为n 的各阶谐波分量完全决定 其几何意义非常明确 2 由付里叶级数的复数数表达式可以看出 只包含了简谐信号和频率n 的信息 因是复数 则An n的信息必然包含其中 故称为付里叶系数 它决定了各阶谐波分量的幅值和相位 2 傅立叶积分 非周期函数 周期函数的傅立叶级数展开得到离散频谱 幅值和相位只在存在 当 离散频谱变成连续频谱 如图2 4图谱的演变 离散 连续 所示 2 傅立叶积分 非周期函数 事实上 任何一个非周期函数x t 都可看作是由周期为T的函数当时转化而来 这样 就可以用周期函数的频谱分析方法来分析非周期函数 前面已得到傅立叶级数的复指数形式
11、为 令 上式就可看作为周期函数x t 的展开式 即 3 付里叶变换 1 令称为付里叶正变换 记为 2 于是有 称为付里叶逆变换 记为工程上习惯使用频率f 因为故有在频率分析中 称X X f 为x t 的谱函数 谱特性 或谱密度函数 由于是复值函数 具有幅频特性和相频特性 3 付里叶变换 例1 求指数衰减函数的付氏变换例2 求单位脉冲函数 t 的付氏变换 齿轮系统的振动信号分析正常 齿轮系统的振动信号分析点蚀 齿轮系统的振动信号分析点蚀 齿轮系统的振动信号分析齿根裂纹 输入轴回转频率 f1 990 60 16 5HzZ1 Z2啮合频率 330HzZ3 Z4啮合频率 171 2Hz 3 付里叶变换
12、 3 付里叶变换的基本性质 讨论的意义研究付里叶变换的基本性质 一方面可以简化计算 另一方面还可用来检验变换结果的正确与否 其更重要的意义还在于 工程信号处理中的许多实用技术都利用了这些变换性质 主要性质 线性 比例伸缩性质 相似性质 位移性质 对称性质 奇偶性质 曲线下的面积 卷积与乘积 微分与积分性质 3 付里叶变换 4 离散付里叶变换 基于数字计算机的现代信号处理技术只能处理数字量而不能处理模拟量 因此 要在计算机上实现前述的连续付里叶变换 必须首先将各模拟量离散化为数字量 这个连续付里叶变换的离散化实现过程即是所谓的离散付里叶变换 简称DFT DiscreteFouerierTrans
13、form 有标准的软件 该部分可参阅有关书籍 3 付里叶变换 5 快速付里叶变换 1965年 美国库列 J W Cooley 和图基 J W Tukey 提出了快速傅里叶变换 FastFourierTransform FFT 计算方法 使计算离散傅里叶变换 DiscreteFourierTransform DFT 的复数乘法次数从减少到次 从而大大减少了计算量 使时域问题转换到频域的高效处理成为可能 FFT的提出是信号处理的里程碑 70年代以后 大规模集成电路的发展以及微型机的应用 使信号分析技术具备了广阔的发展前景 许多新的算法不断出现 3 付里叶变换 5 快速付里叶变换 1976年美国维诺
14、格兰德 S Winograd 提出了一种傅里叶变换算法 WinogradFourierTransformAlgorithm 简称WFTA 用它计算DFT所需的乘法次数仅为FFT算法乘法次数的1 3 1977年法国努斯鲍默 H J Nussbaumer 提出了一种多项式变换傅里叶变换算法 PolynomialtransformFourierTransformAlgorithm 简称PFTA 结合使用FFT和WFTA方法 在采样点数较大时 较FFT算法快3倍左右 上述几种方法与DFT方法比较 当采样点N 1000 DFT算法为200万次 FFT算法为1 5万次 WFTA算法为0 5万次 PFTA算
15、法为0 3万次 均有标准程序 该部分可参阅有关书籍 第二节时域分析方法 引言 时域分析 如果对所测得的时间历程信号直接实行各种运算且运算结果仍然属于时域范畴 则这样的分析运算即为时域分析 如统计特征参量分析 相关分析等 第二节时域分析方法一 统计特征参量分析 统计特征参量分析又称信号幅值域分析 在各态历经的假设前提下 对随机过程的分析可变为对其任一样本的统计分析 以下研究在时域中描述信号特征的几个常用统计参量 1 概率密度函数p x 2 概率分布函数F x 3 均值 x 4 均方值 x2 5 有效值 均方根值 Xrms 6 方差 x2和标准差S 7 偏态指标K3和峭度指标K4 8 无量纲指标
16、第二节时域分析方法一 统计特征参量分析 1 概率密度函数p x 如图2 8所示 概率密度函数p x 定义为信号幅值为x的概率 概率密度函数p x 其数学表达式为 式中T 样本长度 Tx 信号幅值落在x和x x之间的时间和 第二节时域分析方法一 统计特征参量分析 1 概率密度函数p x 对于正态过程 其概率密度函数为 2 82 式中 x 数学期望 x 标准差 概率密度函数可直接用于机械设备的状态监测和故障诊断 图2 9所示是新旧两个齿轮箱的振动信号的概率密度函数 图示直观地说明新旧两个齿轮箱的振动信号之间有明显的差异 第二节时域分析方法一 统计特征参量分析 2 概率分布函数F x 概率分布函数是信号幅值小于等于某一值x的概率 其数学表达式为 2 83 第二节时域分析方法一 统计特征参量分析 3 均值 x信号的均值又称一次矩 它描述了信号的平均变化情况 代表信号的静态部分或直流分量 其数学表达式为 2 84a 其离散化计算公式为 2 84b 式中N 采样点数 第二节时域分析方法一 统计特征参量分析 4 均方值 x2均方值反映了信号的平均能量 其数学表达式为 2 85a 其离散化计算公式为
