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1、线性代数案例Cayler-Hamilton定理【实验目的】1理解特征多项式的概念 2掌握Cayler-Hamilton定理 【实验要求】掌握生成Vandermonde矩阵的vander命令、求矩阵特征多项式系数的poly()命令、求矩阵范数的norm命令及矩阵多项式运算的polyvalm命令【实验内容】Cayler-Hamilton定理是矩阵理论中的一个比较重要的定理，其内容为：若矩阵A的特征多项式为则有亦即假设矩阵A为Vandermonde矩阵，试验证其满足Cayler-Hamilton定理。【实验方案】Matlab提供了求取矩阵特征多项式系数的函数poly()，但是poly()函数会产生一
2、定的误差，而该误差在矩阵多项式求解中可能导致了巨大的误差，从而得出错误的结论。在实际应用中还有其他简单的数值方法可以精确地求出矩阵的特征多项式系数。例如，下面给出的Fadeev-Fadeeva递推算法也可以求出矩阵的特征多项式。该算法首先给出一个单位矩阵I，并将之赋给，然后对每个k的值分别求出特征多项式参数，并更新矩阵，最终得出矩阵的特征多项式的系数。该算法可以直接由下面的Matlab语句编写一个函数实现：Function c=poly1(A) nr,nc=size(A); if nc=nr % 给出若为方阵，则用Fadeev-Fadeeva算法求特征多项式 I=eye(nc); R=I; c
3、=1 zeros(1,nc); for k=1:nc,c(k+1)=-1/k*trace(A*R);r=A*R+c(k+1)*I; end elseif (nr=1 nc=1) % 给出为向量时，构造矩阵 A=A(isfinite(A);n=length(A) ; % 出去非数或无界的特征根 c=1 zeros(1,n); for j=1:n c(2:(j+1)=c(2:(j+1)-A(j).*c(1:j);endelse % 参数有误则给出错误信息 error (Argument must be a vector or a square matrix.)end.【实验过程】 A = vand
4、er(1 2 3 4 5 6 7);运行结果：A = 1 1 1 1 1 1 1 64 32 16 8 4 2 1 729 243 81 27 9 3 1 4096 1024 256 64 16 4 1 15625 3125 625 125 25 5 1 46656 7776 1296 216 36 6 1 117649 16807 2401 343 49 7 1 A运行结果：aa1 = 1.0e+009 * 0.0000 -0.0000 -0.0002 0.0287 1.1589 -6.2505 -2.4223 0.0249如调用新的poly1()函数，则可以得出如下的精确结果。 aa1=p
5、oly1(A);b1=polyvalm(aa1,A);norm(B1)运行结果：ans = 0可见，由此得出的B矩阵就会完全等于0，故该矩阵满足Cayley-Hamilton定理。小行星轨道问题【实验目的】1. 掌握线性方程组求解2. 加深对正交变换的理解3. 掌握Matlab软件中的ezplot、zplot命令的区别和适用范围【实验要求】掌握绘制隐函数曲线ezplot命令和彗星状轨迹图comet命令【实验内容】天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（一天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）。在五个不同的时间点对小
6、行星作了观察，测得轨道上五个点的坐标数据如下: 表 2-1 小行星观测数据 x4.55965.08165.55465.96366.2756y0.81451.36851.98952.69253.5265由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆。设方程为试确定椭圆的方程并在轨道的平面内以太阳为原点绘出椭圆曲线。并应用坐标平移变换和正交变换将上例题中的二次曲线方程化为标准方程，绘椭圆轨道图，完成小行星运行的动态模拟。【实验方案】（1）二次曲线方程中有五个待定系数：，。将观察所得的五个点坐标数据，代入二次曲线方程得到关于，的线性方程组 求解该方程组得椭圆方程的系数：， 。（2）将椭圆的一般方程写成矩阵形
7、式通过变量变换（平移变换和旋转变换）化为椭圆标准方程。首先化去一次项，然后将二次型化为标准型。为了用平移变换消去一次项，令，（，待定），代入方程整理，得其中，。要化简消去一次项，只须选择，使满足二阶线性方程组将，代入椭圆的一般方程，得令求出特征值极其对应的特征向量。可以取与等价的正交单位向量。构造正交矩阵，利用正交变换得椭圆的标准方程：。椭圆长半轴和短半轴分别为，。【实验过程】(1) MATLAB程序如下：x=4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756;y=0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265;A=x.2,2*x.*y,y.2,2*x,
8、2*y;b=-1;1;1;1;1;a=Ab;syms x y a1 a2 a3 a4 a5fun=a1*x2+2*a2*x*y+a3*y2+2*a4*x+2*a5*y+1;fun=subs(fun,a1,a(1);fun=subs(fun,a2,a(2);fun=subs(fun,a3,a(3);fun=subs(fun,a4,a(4);fun=subs(fun,a5,a(5);ezplot(fun,-1.4,7,-1.5,6.5)运行结果：a=-0.33780.1892-0.38180.46090.4104结果表明：二次曲线方程中的各项系数为=-0.3378，=0.1892，=-0.3818
9、，=0.4609，=0.4104。 图2-2小行星绕太阳运行的轨道(2) MATLAB程序如下：x=4.5596;5.0816;5.5546;5.9636;6.2756;y=0.8145;1.3685;1.9895;2.6925;3.5265;A=x.2,2*x.*y,y.2,2*x,2*y;b=-1;1;1;1;1;ak=Ab;C=ak(1),ak(2);ak(2),ak(3);X=-Cak(4);ak(5);x0=X(1);y0=X(2);X=X;1;D=ak(1),ak(2),ak(4);ak(2),ak(3),ak(5);ak(4),ak(5),1;F=X*D*X;U d=eig(C)
10、;a=sqrt(-F/d(1,1);b=sqrt(-F/d(2,2);t=2*pi*(0:5000)/5000;u=a*cos(t);v=b*sin(t);V=U*u;v;x1=V(1,:)+x0;y1=V(2,:)+y0;plot(x1,y1,x,y,*,x0,y0,rO),hold onx2=x1,x1,x1;y2=y1,y1,y1;comet(x2,y2)disp(x0,y0)disp(a,b)图2-3 椭圆轨道图运行结果：2.7213 2.42342.4299 4.3799。结果表明：椭圆标准方程为：。矩阵相似变换在控制理论中的应用【实验目的】1.掌握矩阵的相似变换2.利用矩阵相似变换
11、方法，将控制理论中一般的状态方程变换成某种特殊的形式，以便于更好地进行系统的性质分析3.掌握控制系统的可控标准型、可观察标准型和Jordan标准型【实验要求】掌握Matlab软件中有关相似变换的命令【实验内容】给出系统的相似变换的概念，介绍基于矩阵相似变换的各种标准及变换方法，并用MATLAB编程实现。试求出下面系统的可控标准型:+，并求该状态方程模型的可观测标准型以及Jordan标准型。【实验方案】1. 线性系统的相似变换 假设存在一个非奇异矩阵，且定义了 一个新的状态变量使得，这样关于新状态变量的状态方程模型可以写成 ，且 式中，。在矩阵下的状态变换称为相似变换，称为相似变换矩阵。 2.
12、单变量控制系统的可控、可观测标准型转换对单变量系统（1）来说，若系统的特征多项式可以写成+ 则可以够造出变换矩阵 这样就可以将原来系统变换成可控制标准型。可以用容易地写出变换矩阵 ；求特征多项式系数，建议用取代 3. 控制系统的Jordan标准型转换 系统的Jordan标准型可以由函数直接求出。值得指出的是，若系统的矩阵含有复数特征值，则用函数不能得出正确结果，应该结合前面Jordan变换的方法手工构造变换矩阵，得出合适的变换系统。【实验过程】（1）得出可控标准型的MATLAB程序 A = -4, -3, 0, -1; -3 , -7, -1, -3; 0, -1, -13, -1; -1, -3, -1, -10; B = 0; -14; 7; 16; C = 0, 0, 12, 0; v = poly1(A);Tc = fliplr(ctrb(A, B) * flipud(hankel(v(end-1: -1: 1)Gc = ss(inv(Tc) * A * Tc, inv(Tc) * B, C * Tc, 0) 变换矩阵和标准型分别为，可观测系统标准型是可控标准型的对偶形式。可观测标准型的变换矩阵为类似于前面的可控标准型变换矩阵，可以由下面语句定义出变换矩阵 % 求特征多项式系数 A=-4, -3,
