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1、湍流理论和湍流模型 西北工业大学2012年3月 许和勇 绕圆柱的理想流动 a 无升力流动 b 有升力流动1 c 有升力流动2 d 有升力流动3 0 Re 4 4 Re 40 40 Re 190 3 5 105 Re 3 106 103 Re 2 105 绕圆柱的真实流动 P257 Re 1 54 Re 26 Re 140 粘性流体运动的两种流态 层流和湍流雷诺实验 1883年圆管内流动实验层流 管中水流稳定地沿轴向运动 流线之间层次分明 互不掺混 流体质点没有垂直于主流方向的横向运动 湍流 流体作复杂的 无规则的 随机的非定常运动 也称紊流 上临界流速 层流变湍流下临界流速 湍流变层流 流动为
2、层流 流动为不稳定的过渡状态 流动为湍流 工程上 将下临界雷诺数作为流态的判断依据 1 1湍流的不规则性 湍流速度场是时间 空间坐标 实验次数的不规则函数 在不规则湍流中 流动的最小时间尺度和最小空间尺度都远远大于分子热运动的相应尺度 因此湍流运动产生质量和能量的输运远大于分子热运动产生的宏观输运 所以湍流场中质量和能量的平均扩散远大于层流扩散 随机变量的概率 随机变量的概率密度 1 2湍流的统计 随机变量 湍流速度变量u的实数集合 可表示为u 事件集合 相同边界条件下不同初场演化出的所有流场状态系综 所有可能实现的事件集合举例 在相同边界条件下 N个真实初始条件产生N个实验流场 理论上N可以
3、无穷大 是一个系综 其中某一次实验称为一个事件 概率的定义 规定全系综的测度为1 则随机变量u的概率P x 定义为一切u x事件的测度M 又称为累积概率 可写作 概率密度的定义 如果累积概率P x 是可微函数 则它的导数定义为概率密度 并用p x 表示 即 累积概率可表示为 联合概率 两个随机变量的累积概率 联合概率密度 如果联合概率函数是可微的 则可定义联合概率密度函数为 随机函数 或随机过程 的概率和概率密度 是随机变量中相应定义的推广 可以对每一时刻t给出u t 的概率 概率密度为 随机函数的联合概率 湍流的统计量 平均值 随机变量u依概率密度p u 的加权积分称为u的期望值 在湍流中称
4、为系综平均值 全系综平均 随机函数或随机过程u t 的期望值或平均值是确定性变量t的函数 因为 系综平均是确定性量 即 通过统计平均 不规则的信息已经全部消失 所以 系综平均可以看作一种低通过滤运算 脉动值 随机变量u和它的期望值或平均值之差是随机变量 称为涨落 在湍流中称为脉动 脉动量的平均值等于零 因为 统计矩 随机变量u的n次幂的期望值或平均值称为随机变量u的n阶统计矩 在湍流中 称为n阶自相关量 特征函数 概率密度的傅里叶变换称为随机变量的特征函数K z 已知特征函数K z 通过傅里叶逆变换 可以求出概率密度 自相关是用统计方法表示随机函数u t 在不同时刻之间的关系 确切地表示不同时
5、刻的脉动的联系程度可以用自相关系数 定义为 随机函数的自相关函数 随机函数u t 在时刻t和时刻t 的乘积的统计平均值 称为随机函数u t 的时间自相关函数 并用Ruu t t 表示 或者 性质 平稳过程 如果随机过程的自相关函数Ruu t 只和时间间隔 有关 则称它为平稳过程 平稳过程有如下定理 各态遍历定理 设随机函数的涨落 是平稳过程 即 且有 则应有 该定理表示平稳过程中随机变量的系综平均等于随机过程的时间平均 这一性质称为随机过程的各态遍历 意义 一次实验中u的时间序列几乎取尽了系综中所有可能出现的值 定常湍流 在时间历程上平稳过程的系综平均不仅可以用长时间平均来取代 而且平均值和时
6、间无关 因此 可以把这种平稳过程简称为定常湍流 空间自相关 如果随机变量和空间变量有关 则称它为空间上的随机过程 一般可以写作 例如 圆管中湍流的脉动可写作 不同空间位置x1 x2上随机变量的自相关称为空间相关 空间自相关函数为 通常 令x2 x1 则 如果x1 x2 或 0 则空间自相关函数等于变量u 的2阶矩 即 它又称为一点空间自相关 空间平稳过程的体积平均 如果两点空间相关函数Ruu只和两点的相对位置有关 而和两点本身的空间位置无关 则称这种随机过程为空间平稳过程 即当 时 称 为空间平稳过程 类似于时间平稳过程中各态遍历定理 可证明 令 代入上式后得到 意义 空间平稳态中某一次实验在
7、空间的分布值几乎遍历随机变量全系综的所有可能状态 空间平稳态的湍流称为均匀湍流 从动力学角度来看 完全均匀湍流必然是衰减的 但是有不少近似均匀湍流的例子 例如 风洞工作段的核心区 小结 一般情况下 湍流量的平均量是指系综平均 在定常湍流中 可以用长时间平均取代系综平均 在均匀湍流中 可以用体积平均取代系综平均 时空自相关函数 例如 脉动速度的2阶时空自相关公式为 湍流的互相关函数 不同随机函数之间乘积的统计平均 湍流运动中流体速度ui 压强p 温度 等都是随机函数 例如 两个速度分量u1 u2之间的2阶时空相关函数记作 为简单起见 规定 1 在以后系综平均表达式中 随机函数中表示系综事件的变量
8、不再明确写出 2 相关函数中的随机函数均指脉动函数 即平均值等于零的随机函数 1 3湍流脉动的谱 1 3 1时间平稳态中的频谱定义 时间相关函数的傅里叶变换称为对应相关变量的频谱 2阶脉动速度的时间相关函数 可变换到频率空间的 脉动速度频谱 其逆变换为 当 0时 Suu 表示湍动能在频带中的分布 它在所有 频段上的积分等于湍动能的系综平均或时间平均值 时间相关函数与频谱是一一对应的 它们是统计量在时域和频域之间的转换 1 3 2均匀团流场中的波谱定义 空间相关函数的傅里叶变换称为对应相关变量的波数谱 简称波谱或谱 脉动速度的2阶相关函数 的波谱为 其逆变换为 当 0时 波谱Suu k 表示脉动
9、动能在波数段 k k dk 中的分布 是波数向量 是单位向量 空间相关函数与波谱函数是一一对应的 它是统计量在物理空间和波数空间之间的变换 小结 1 频谱表示湍流脉动量在时间尺度上的分布频谱中高频成分表示快变的脉动 时间尺度小的脉动 低频成分表示慢变的脉动 时间尺度大的脉动 2 波谱表示湍流脉动量在空间尺度上的分布波谱中高波数成分表示长度尺度小的湍流脉动低波数成分表示长度尺度大的湍流脉动总之 湍流脉动的谱 频谱和波谱 可以表示湍流脉动强度在各种尺度上的分布 1 5湍流脉动的测量原理 湍流脉动的时间序列具有宽频带 测量仪器准确 响应特性好 测量点的脉动速度的时间序列测量方法 热丝风速计法 激光多
10、普勒测速法脉动场的脉动速度的时间序列测量方法 统称为粒子图像测速法 PIV paticleimagevelocimetry 数据采集的要求测量精度 仪器精度 电子系统的高信噪比和宽频带的频率响应特性采样频率 假如湍流脉动的最高频率为fh 则采样频率至少为2fh假如需要测量脉动量的n阶矩 则采样频率至少需要2nfh 条件采样和统计方法 思路 根据一定的准则检测湍流信号 当湍流信号满足条件准则时 开始记录一组或几组信号 然后对记录的数据进行统计分析 例如 湍流边界层外层 速度脉动并非始终具有很高的强度 而是间歇性地出现高强度脉动 最简单的条件采样时湍流间歇因子的测量 示性函数 间歇因子 湍流状态平
11、均值和非湍流状态平均值 2 0Navier Stokesequations推导取一质量为m的极小的运动流体单元为研究对象 对其运用牛顿第二定律 F ma首先 分析其x方向的分量方程 Fx max 第二章湍流运动的基本方程 充分小的运动流体单元x方向受力示意图 称为随体导数或全导数 称为局部导数或当地导数 标量型N S方程 FrenchmanM NavierandEnglishmanG Stokes 1845年 Stokes假设 连续方程 对于不可压流动 满足 为常量 N S方程的张量形式 不可压 不考虑体积力 N S方程的张量形式 不可压 考虑体积力 为便于使用笛卡尔张量标记 记 则可以把矢量
12、a改写成 矢量a用张量表示成ai i 1 2 3 即为指标表示法 此简化表示法即为 求和约定 自由指标 哑指标 将方程化为量纲数为1的方程 引入特征速度v0 特征长度L0 特征时间t0 特征压力p0 定义量纲数为1的量 代入得 即 两边同除以 得 斯特劳哈尔 Strouhal 数 非定常项与惯性项之比 弗劳德 Froude 数 惯性力和重力之比 欧拉 Euler 数 压力与惯性力之比 雷诺 Reynolds 数 惯性力和粘性力之比 克努森 Knudsen 数 Kn l L0 l是气体分子平均自由程 L0是流场特征长度 Kn是气体稀薄程度的度量 大Kn数有两种可能 一是气体稀薄 分子平均自由程大
13、 如几千米高空 而是微流场 此时流场的特征尺度小于或相当于分子的平均自由程 马赫 Mach 数 Ma v c v是流场中某点速度 c是当地声速 Ma数是流场可压缩程度的量度 c无穷大对应不可压缩流动 Ma 0 3时 一般要考虑压缩性影响 普朗特 Prandtl 数 Pr cp k cp是比定压热容 k是导热系数 Pr数是动量交换和热交换之比 大多数气体Pr小于但是接近1 韦伯 Weber 数 We v2L 是表面张力 We数是惯性力与表面张力之比 在大液面曲率如毛细流动 空化起始等过程中很重要 湍流运动的基本方程 2 1Navier Stokes方程和湍流 层流向湍流过渡现象是N S方程初边值
14、问题解的性质在变化 层流是小雷诺数下N S方程初边值问题的唯一解 过渡流动 转捩 是N S方程的分岔解 高雷诺数的湍流是N S方程的渐近 t 不规则解 2 2雷诺方程和脉动运动方程 雷诺平均方程2 雷诺平均方程1 脉动运动方程 2 3雷诺应力和雷诺应力输运方程 湍流运动动量通量的平均值 平均运动的动量通量 脉动动量通量的平均值 不可压流动 密度恒定 雷诺应力与粘性应力有着量级上和本质上的区别 雷诺应力 粘性应力分子运动平均自由程 湍流脉动最小特征尺度产生机制不同 1 设想有一层厚度为 的湍流剪切层 流向脉动速度u1 是平均速度U的10 左右 横向脉动速度u2 较u1 小一个量级 所以典型雷诺应
15、力 平均分子粘性应力的量级可估计为 二者比值 在高雷诺数时 二者比值达到102的量级 2 3 计算NACA2412翼型绕流的以下参数 a 后缘处的边界层厚度 b 翼型的表面摩擦阻力系数 流动条件为 攻角为0度 翼型弦长为1 5米 基于弦长的雷诺数Rec 3 1 106 由右图的实验数据曲线中可知 0度攻角时翼型阻力系数为0 0068 4 边界层厚度及摩擦阻力系数计算 小于实验测量值0 0068 仅为22 因此 用全层流计算结果不准确 层流计算 全湍流计算 实验值0 0068为 摩擦阻力 压差阻力 之和 实际摩擦阻力小于0 0068 所以全湍流的计算预测值偏大较多 考虑转捩的计算 假设转捩临界雷
16、诺数Rex cr 5 105 考虑转捩的计算结果更加接近实验测量值0 0068 比实验测量值偏大 注意 如果按照公式直接计算x2段的湍流摩擦系数 有较大偏差 转捩雷诺数扩大一倍后 摩擦阻力系数减小16 2 如果转捩临界雷诺数增大为1 106 则有 对于流线型翼型 摩擦阻力与压差阻力的比值 Cd Cf Cp 估算 文献CFD计算结果 NACA0012翼型 Re 3 106 加入转捩模型 Cd 0 00623 Cf 0 00534Cf Cd 85 7 Cp Cd 14 3 上例近似计算结果 NACA2412翼型 Re 3 1 106 加入转捩模型 Cd 0 0068 Cf 0 0063Cf Cd 92 6 Cp Cd 7 4 Lombardi G Salvetti M V andPinelli D NumericalEvaluationofAirfoilFrictionDrag JournalofAircraft 2000 37 2 354 356 2 3 2雷诺应力输运方程 2 3 3湍动能输运过程 2 3 4雷诺应力输运过程 假定二维平均流的速度分布为 其雷诺输运方程为 2 3 5脉动
