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1、第三章静力平衡问题 3 1平面力系的平衡问题 3 2含摩擦的平衡问题 3 3平面桁架 3 4空间力系的平衡问题 3 1平面力系的平衡问题 静力平衡问题 一般有二类 对于完全被约束的物体或系统 在已知外载荷的作用下 求约束力 例3 1求图示结构中铰链A B处的约束力 解 1 画整体受力图 注意BC为二力杆 验算 再写一个不独立平衡方程 看是否满足 如 MB F 0 5F Fq 2FAy 1 1 2 0结果正确 Fy FAy FCsin30 F Fq 0 MA F FCL 2 1 5F FqL 2 0 3 解方程得到 FC 4KN FAy 1KN FAx 2KN 矩心取在二未知力交点A处 力矩方程
2、中只有一个未知量FC 可直接求解 例3 3夹紧装置如图 设各处均为光滑接触 求P力作用下工件所受到的夹紧力 研究整体 受力如图 需要求的是FC 列平衡方程 Fy FB F 0 FB F 解 逐一讨论A B 可解 MA F FB ABcos FC ABsin 0 FC Fctga 越小 夹紧力越大 例3 4梁ACB如图 梁上起重小车重W 50kN 吊重P 10kN 求A B处的约束力 由 1 知 FAx 0 剩余二个方程中含三个未知约束反力 不足以求解 列平衡方程 Fx FAx 0 1 Fy FAy FBy P W 0 2 MA F MA 12FBy 4W 8P 0 3 解 1 取系统整体为研究
3、对象 画受力图 2 小车为研究对象 列平衡方程 MD F 2FE W 5P 0 FE 50 50 2 50kN Fy FD FE W P 0 FD 10kN 有时需要综合研究整体及部分的平衡 联立求解 补充例 已知AD BD CD a 求图示杆系A B及D处的约束力 解 研究整体有 Fy FAy F 0 FAy F MA F FB 2a Fa 0 FB F 2 Fx FAx FB 0 FAx FB F 2 研究CD杆 有 MC F FDya 0 YD 0 Fy FACsin45 F 0 FAC Fx FDx FACcos45 0 FDx 求解平面力系平衡问题的一般方法和步骤为 弄清题意 标出已
4、知量 问题1 不计杆重 求连杆机构在图示平衡位置时F1 F2之关系 问题1 不计杆重 求连杆机构在图示平衡位置时F1 F2之关系 问题2 三铰拱受力偶M作用 不计拱的重量 求A B处的约束力 解 BC为二力杆 外力只有力偶M 以AC为轴写投影方程可知 A处反力为FAy 0 整体受力如图所示 问题2再论 不计拱重 分析三铰拱的约束力 三力平衡 若有二力汇交 则第三力必过其交点 三力平衡 若有二力平行 则第三力与其平行 问题3 试求图示双跨梁A端的约束反力 先分离研究对象 再处理其上的分布载荷 解 1 研究整体 一般力系 3个方程 4个未知量 不足以求解 讨论 判断下述分析的正误 MA M Fa
5、2Pa 固定铰的约束力作用于销钉上 多杆用同一销钉连接 讨论某杆时 须考虑各杆与销钉间作用的不同 问题讨论 试求图示A B C处的约束力 分析BC和ABD杆受力 再考察AB杆 由 MA F 0可求得FBx 由ABD杆的平衡有 更简单方法 二 静不定问题的概念 1 静定问题 由平衡方程即可确定的静力平衡问题 未知量数 独立平衡方程数 本题作用于小车的是平行于Y轴的平行力系 系统 三个物体 8个平衡方程 约束 固定端3 中间铰2 活动铰 车轮接触处各1 共8个反力 是静定问题 如例3系统 三个物体 9个方程 反力只有8个 小车可能发生水平运动 未被完全约束住的物体及系统约束力未知量数少于独立的平衡
6、方程数 有运动的可能 2 静不定问题或超静定问题 完全约束的物体或系统 若约束力数 独立平衡方程数 问题的解答不能仅由平衡方程获得 称静不定问题 3n 3 m 4一次静不定 3n 3 m 6三次静不定 3n 3 m 4一次静不定 讨论 试判断下列问题的静定性 约束力数m 8物体数n 3m 3n未完全约束 m 6n 2m 3n静定结构 m 3n 1 2 2 4 9m 3n静定结构 第一次作业 思考题 3 1 习题 3 1 3 3 3 5 3 6 3 2含摩擦的平衡问题 摩擦给运动带来阻力 消耗能量 降低效率 利用摩擦可进行传动 驱动 制动 自锁 只要滑动未发生 物体仍静止 则F由平衡方程确定 F
7、T 0 静止 无运动趋势 F 00FTc 运动状态 一般有FT Fmax 二 含摩擦的平衡问题的分析方法 特点 A O M C F1min e a L 2 制动杆受力如图 有平衡方程 MA F FNa Fmaxe F1minL 0摩擦方程Fmax fFN FN M fr代入后求得F1min Ma fr Me r L M a fe frL 1 取轮O研究 画受力图 有平衡方程 MO F M Fmax r 0得到Fmax M r 解 讨论F1最小而制动 摩擦力最大的临界状态 例3 5刹车装置如图 块C与轮间摩擦系数为f 求F1min 例3 6图示悬臂可沿柱滑动 摩擦系数为f 为保证不卡住 试确定力
8、F0的作用位置 解 1 F0向下 悬臂下滑 临界状态x xmax 有 Fx FND FNA 0 Fy FA FD F0 0 MA F FNDh FDd F0 xmax d 2 0及FA f FNA FD f FND解得 FNA FND F0 2f xmax h 2f 悬臂不卡住 应有xmax h 2f而与F0无关 例3 6图示悬臂可沿柱滑动 摩擦系数为f 为保证不卡住 试确定力P的作用位置 解 2 F0向上 悬臂上滑 临界状态x xmax 有 Fx FNB FNC 0 Fy F0 FB FC 0 MB F FCd FNCh F0 xmax d 2 0及FB f FNB FC f FNC同样解得
9、 FNB FNC F0 2fxmax h 2f 悬臂不卡住 应有xmax h 2f 而与F0无关 与上下滑无关 含摩擦的平衡问题的分析方法 研究对象 受力分析 平衡方程 求解 先回忆静力平衡问题的一般方法 讨论一 摩擦角及自锁现象 设主动力之合力FA的作用线与法向夹角为a 若a r 则无论FA多大 总有全反力FR与之平衡 物体保持静止 这种现象称为自锁 全反力FR 支承面法向反力FN和摩擦力F之合力 若a r 则无论FA多小 物体都不能保持平衡 1 木楔打入墙内 摩擦角为 试问a为多大时木楔打入后才不致退出 利用自锁条件 研究下述问题 1 木楔打入墙内 摩擦角为 试问a为多大时木楔打入后才不致
10、退出 不计重力 木楔受全反力FR1 FR2二力作用而处于平衡 则FR1 FR2必共线且沿铅垂方向 对称性 临界状态有 a r 自锁条件为 a r 问题 2 夹紧装置如图 夹紧后OA水平 欲在P力除去后工件不松 求偏心距e 自锁条件 a tga e d 2 tg f得 e fd 2 讨论二 皮带传动的摩擦力 皮带在轮O上 包角 紧边FT2 松边FT1 轮O逆时针转动 Fy dFN FTsin d 2 FT dFT sin d 2 0 注意d 是小量 有sin d 2 d 2 cos d 2 1 略去二阶小量dFTd 得到 fdFN dFT和dFN FTd 再消去dFN 即得 dFT FT f d
11、 积分 注意 0时 FT FT1 时 FT FT2 有 3 3平面桁架 节点 杆件间的结合点 桁架 杆组成的几何形状不变的框架 平面桁架 杆轴线和外力在同一平面内 平面桁架的基本假设 2 载荷都在桁架平面内 且作用于桁架的节点处 或可作为集中载荷分配到节点处 故 力系是平面力系 杆都是在二端节点处受力的二力杆 杆内力是沿杆的拉 压力 1 杆均为无重直杆 节点均为铰接点 3 桁架只在节点处受到约束 无余杆桁架 除掉任一根杆便不能保持其形状的桁架 n个节点均为汇交力系 有2n个平衡方程 未知量有m根杆的内力和三个约束 m 3 2n 是静定问题 基本三角形有三根杆和三个节点 其余 n 3 个节点各对
12、应二根杆 故无余杆桁架中杆数m和节点数n应当满足 m 3 2 n 3 即m 2n 3 显然 无余杆桁架是静定桁架 有余杆桁架 m 2n 3 则是静不定的 保证桁架形状的必要条件 以基本三角形框架为基础 每增加一个节点就增加二根杆件 讨论下列桁架及问题的静定性 杆数m 7节点数n 5m 2n 3静定桁架约束力3静定问题 静定桁架 反力4一次静不定问题 杆数m 6节点数n 4m 2n 3 1静不定桁架约束力3一次静不定 m 2n 3 2静不定桁架 约束力4三次静不定问题 3 3 1节点法 用节点法求平面桁架中杆内力的步骤为 1 研究整体 求约束反力 求反力FAx FAy 由A节点平衡求F1 F2
13、由D节点求F3 F4 由C节点求F5 F6 3 从含已知力且只有二杆受力未知的节点开始 逐一列平衡方程求解 若求得的结果为负 则是压力 2 选取节点 画受力图 假定杆内力为拉力 3 3 2截面法 2 任取一截面 截取部分桁架作为研究对象 画受力图 杆内力假定为拉力 截面法求解桁架问题时 不需逐个节点分析 其分析方法可归纳为 3 列平衡方程求解 因为作用在研究对象上的是平面一般力系 可以求解三个未知量 1 研究整体 求约束反力 例3 11求图示桁架中各杆内力 解 1 由整体求得 FAx 0 FAy FE 3 FB 2FE 3 2 截取上部研究 受力如图 有 Fx 0 F2 0 MD F FE 2
14、a 3 F3a 0 F3 2FE 3 Fy FE F3 F1 0 F1 FE 3 综合应用截面法和截点法 可提高求解的效率 3 研究节点D 可求得F4 F6 4 研究节点C 可求得F5 F6 5 研究节点B 可求得F8 F9 6 研究节点A 可求得F7 F9 讨论1 求桁架指定截面内力 讨论2 广告牌由杆系支撑 风载作用如图 如何求各杆内力 思考 零杆是否可以不要 第二次作业 思考题 3 4习题 3 13 3 14 3 16 b 3 17 b 3 4空间力系的平衡问题 力F 为Fz Fxy Fxy Fx Fy 显然有 F Fx Fy Fz 且各分力为 由定义知后者正是力在各轴上的投影 故正交坐
15、标系中 投影和分力大小相等 1 力在空间坐标轴上的投影 一 空间中力的投影及力对轴之矩 物体绕轴转动效果的度量 以门绕Z轴的转动为例来讨论 显然有 Mz F1 0 Mz F2 0 2 力对轴之矩 将力F分解成Fz和Fxy 可见Mz Fz 0 Mz Fxy MO Fxy 力F对轴z之矩Mz F 等于力在垂直于z轴之平面内的分量Fxy对轴z与该平面交点O之矩 正负用右手螺旋法确定 图中为正 力与轴相交或平行 对轴之矩为零 故力F对轴z之矩可写为 Mz F MO Fxy Fxy h 例 试写出图中力F在轴上的投影及对力轴之矩 Fx 0Fy 4 5 F 40NFZ 3 5 F 30NMx F Fy z
16、 Fz y 40 36 4N mMy F FZ x 6N mMz F Fy x 8N m 利用合力矩定理 进一步有 Mz F Mz Fx Mz Fy Mz Fz Fx y Fy x 二 力偶矩的矢量表示 故 力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所确定 力偶矩矢是自由矢 可平行移动 空间力偶系的合成可按力偶矩矢量求和进行 力偶矩矢M 矢的长度 力偶矩的大小 矢的指向 力偶作用平面的法向 转向由右手螺旋规则确定 1 力偶矩矢 空间力偶对刚体的作用效果取决于力偶矩的大小 力偶作用平面 力偶的转动方向 2 空间中力对点之矩与力对轴之矩间的关系 如图 力F对O点之矩矢MO垂直于OAB平面且大小为 MO MO F F h 2 OAB 另一方面 力F对轴z之矩等于其在垂直于轴z之的平面内的分量F 对交点O之矩 即 故可知 力对某点之矩矢在过该点任一轴上的投影等于力对该轴之矩 Mz F M0 F 2 Oab 2 OAB cos MOcos 三 空间一般力系的简化和平衡 1 空间中力的平移 力F平移到A点 得到力F 和作用于Abc面以力偶矩矢表示的力偶M 空间一般力系 向某点O平移 主矢FR 主矩MO 若FR
