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1、第七讲 数学危机在科学史上，对于特别重大的知识更新和观念突破，一般称为科学革命（Science Revolution）。从“革命”的字面意义我们也不难看出，这种知识的变革具有颠覆性，是在否定原有知识体系的基础上重新建立知识的大厦。例如哥白尼革命以日心说挑战传统的地心说，取缔了人们赋予地球的神圣地位；牛顿革命建立了天体力学体系，统一了天上和人间的机械力学现象；达尔文革命通过自然选择和生存斗争学说，取消了人类与其它生物的本质区别；爱因斯坦建立的狭义和广义相对性原理，否定了长期以来关于绝对时间和绝对空间的基本假定。在这一点上，数学和自然科学不同。从知识体系上来讲，数学理论总是在原有的基础上进行扩充，
2、新增的部分与原来的体系总是融为一体。或者说，数学理论的重大发展，一般都不是对原有理论的根本否定，而是对原有理论体系的某种推广。所以，一般来说，并没有“数学革命”这种说法。但没有“数学革命”，并不等于数学在其发展过程中就是一帆风顺的。因为数学总是在一定的基础上发展起来的。随着人们处理问题的深度和广度发生变化，原来的基础假定往往会遇到根本性的困难。这时候就产生了所谓的“数学危机”。另一方面，数学危机和科学革命也有相同之处，二者都体现了人类直觉与理性的消长。我们知道，直觉是一种富有创造性的思维方式，人类一直相信自己的直觉；但是历史发展表明，直觉经常是和理性相对立的。科学革命的进程和数学危机的解决过程
3、，大体上都是理性战胜直觉的一个过程。科学中的理性主义正是通过对直觉的怀疑与否定才得以确立其至高无上的地位。从这一点上来看，数学危机和科学革命又是一致的。现在公认的数学危机共有3次，即无理数的发现、微积分的基础问题和集合论悖论。本讲只介绍前两次数学危机。1. 第一次数学危机1.1 无理数的发现我们已经知道，古希腊的毕达哥拉斯（Pythagoras, ca.560-ca.480.BC）学派从毕达哥拉斯开始，一直延续到公元前四世纪中叶。这个学派是一种宗教式的秘密结社，致力于哲学和数学的研究。相传，“哲学”和“数学”这两个词就是它创造的，原意分别指“智力爱好”和“可学到的知识”。在这个学派兴盛的时期，
4、学派内部的各种发现往往秘而不宣，并且大家习惯于把各这些发现都归结在领袖毕达哥拉斯的名下。毕达哥拉斯学派对数学最重要的贡献之一是证明了毕达哥拉斯定理（在中国被称为勾股定理），即：直角三角形斜边长度的平方等于二直角边长度的平方和。据说当时的人们为了庆祝发现这个定理，曾经宰了100头牛来拜祭天神。这一定理我们在小学的时候就已经知道，因此大家可能觉得当年毕达哥拉斯学派没有必要那么大动干戈，但这也可能是因为大家对于这个定理的重要性并不是特别关注。之所以说它特别重要，是因为在平面几何学中，直角三角形的地位很类似于素数在数系中的地位。我们知道，复数系、实数系、有理数系和整数系都可以归结为自然数系，而根据素因
5、子唯一分解定理，自然数又可以最终归结为素数。可见素数在“数”中的核心地位。同理，任意规则的平面多边形都可以被分割成多个三角形，而每个三角形又可以被分割成两个直角三角形。而任意不规则的多边形或者说曲多边形，我们总是可以通过把它看作边数无限多的规则多边形来处理。从这一点可以看出，关于直角三角形的毕达哥拉斯定理是多么重要。所附的这张图片载于欧几里得（Euclid, ca.325-ca.270.BC）的巨著几何原本，相传毕达哥拉斯学派曾经使用过这个图形来证明毕达哥拉斯定理。毕达哥拉斯学派认为“万物皆数”（Everything is number），这个学派的一位晚期成员菲洛劳斯（Philolaus,
6、ca.390.BC）曾经说过：“人们所知道的一切事物都包含数；因此，没有数就既不可能表达、也不可能理解任何事物。”在当时，数学分为算术、音乐、几何和天文四个部分，而毕达哥拉斯学派认为它们都可以归结为数的理论（他们所指的数是整数），因此，他们认为，一切事物都可以归结为整数和整数之比。不难看出，毕达哥拉斯学派所承认的数仅限于有理数。同时，毕达哥拉斯学派认为点是位置的单位元素，这样，在几何学上的一个自然结论就是，任意两条线段都是可公度的，也就是说，对任意给定的两条线段，都可以找到第三条线段，以它为单位线段能将给定的那两条线段划分为整数份。但是，当毕达哥拉斯学派研究等腰直角三角形的时候，矛盾出现了。如
7、图，在等腰直角三角形中，。是一个实实在在的线段长，但它能不能表示成整数的比呢？若它可表示为两个整数的比，不妨设(，是互素的整数)，则有，。即，为偶数。不妨设，于是，即。于是，也是偶数。所以，均为偶数，这与它们互素的最初假设矛盾。也就是说，不能表示成两个整数的比，或者说是不可公度的。按照今天的说法，毕达哥拉斯学派发现是无理数。相传毕达哥拉斯学派的一个成员希帕苏斯（Hippasus, ca.470.BC）在该学派的一次海上泛舟集会中首先做出了这一发现。当他把自己的发现公之于众的时候，惊恐不已的其它成员把他抛进了大海。由于我们所接受教育的方式，今天的我们已经很难体会到当时那些人的恐惧感。要知道，毕达
8、哥拉斯学派把抽象的数作为万物的本原，他们研究数的目的并不是为了应用，而是试图通过揭示数的奥秘来探索宇宙的永恒真理。“万物皆数”是整个毕达哥拉斯学派的一种信念，是这个学派的宗教、哲学和数学的基础。而不可公度的无理数的发现彻底粉碎了他们的基本信念，使整个学派失去了赖以存在的基础。从另一个角度来讲，毕达哥拉斯学派的观点类似于原子论（这里的原子和今天我们所熟知的原子不同，在那个时代，原子是构成实体的基本的不可分割的元素）。对于毕达哥拉斯学派来说，整数是一切的基础，这样，它就构成了数的“原子”。也就是说，他们认为任何事物都可以由整数表示出来。但无理数的发现使整数的原子地位受到了质疑，因为上述的无理数显然
9、不能表示为整数的比。如果数的原子都不存在了，那么整个原子论也就失去了根基，这也许正是毕达哥拉斯学派乃至整个希腊数学所最为恐惧的事实。继之后，人们又陆续发现了许多其它的无理数。这些无理数被毕达哥拉斯学派隐瞒了将近一百年，最后终于被菲洛劳斯等人公布于世。1.2 芝诺悖论对毕达哥拉斯学派的哲学和数学的另一个致命打击来自古希腊伊利亚（Elea）学派的代表人物芝诺（Zeno, ca.495-430.BC）。芝诺提出过四个著名的悖论，其中的一个悖论常被称为“阿基利斯追龟说”。阿基利斯（Achilles）是希腊神话中的神行太保，跑得非常快，但是芝诺论证说阿基利斯如果和乌龟赛跑，它将永远也追不上乌龟。他论证到
10、，如果设乌龟先于阿基利斯一段距离，那么当阿基利斯到达乌龟的起跑点时，乌龟也爬过了一段距离；当阿基利斯又追完这段距离时，乌龟又向前跑了一段；如此以至无穷。虽然这一连串的距离越来越小，但它们的数目是无穷的，所以阿基利斯永远也追不上乌龟。容易看出，在这里，芝诺并没有采用毕达哥拉斯学派的“点是位置的单位元素”的观点，而是认为一条线段是可以无限分割的。芝诺采取这种立场是有他的道理的。因为他在另一个常被称为“飞箭静止说”的悖论中否定了空间是由点（单位元素）所组成的观点。芝诺认为，飞行的箭在运动的任何瞬间（即单位元素）必定处于一个确定的位置，这个位置和箭的大小是相同的，箭既不能落后于它，也不会超过它；所以，
11、在任何这样的瞬间里，箭是静止不动的。这样，芝诺在空间是点的总和的假设下证明了运动是不可能的。而这显然不符合常识，所以毕达哥拉斯学派的基本假设即“点是位置的单位元素”至少在几何学和运动学上是不成立的。后来，伽利略（Galileo Galilei，1564-1642）在芝诺悖论的基础上提出了这样一种模型：如图，过作一直线和、分别交于、，容易看出，和是一一对应的，这样，如果承认直线（或线段）是由点组成的，将有。这显然是荒谬的。我们知道，毕达哥拉斯学派坚持“点是位置的单位元素”是和他们“万物皆数”的信念一脉相承的。否定了“点是位置的单位元素”，也就间接地否定了“万物皆数”。同时，芝诺悖论也说明了这样一
12、个事实，即涉及无穷的问题往往超出了人们的直观；人们对它的感觉经常含糊不清，也很难用一个适当的概念来说明它。只有在数学中正确地引入无限的观点以后，这一困难才能够被完全解决。作为一个直接结果，希腊数学中从此排除了无限的观念。1.3 数与量的分离第一次数学危机的消解依赖于比例理论的建立。这一工作是由欧多克斯（Eudoxus，408-347.BC）完成的，其主要内容被欧几里得收录在其著名的几何原本的第5卷。欧多克斯是柏拉图（Plato, 427-347.BC）的学生，他对数学的另一个重大贡献是发展并完善了穷竭法（简单地说，是一种通过无限增加圆内接或外切正多边形的边数来求圆的面积的方法），使这一方法获得
13、了精确的严格性。我们已经知道，毕达哥拉斯学派证明了和1不可公度，或者说发现了是无理数，但他们并没有指出无理数到底是什么。这个问题成为当时希腊数学关注的焦点。柏拉图在其规律一书中就曾呼吁人们重视关于不可公度的无理数的知识。欧多克斯区分了量和数，认为量是线段、角、面积、体积、时间等等这样一些连续变动的东西；而数则是离散的，是从一个跳到一个。对于数和量的区分，也体现在欧多克斯同一时代的亚里士多德（Aristotle, 384-322.BC）的范畴篇中。欧多克斯显然深知无理数的困难，因此他把所有的量从几何角度而不是从算术角度加以考虑，通过建立起比例理论而把可处理的问题由可公度量推广到了不可公度量。他的
14、比例的定义如下：设、；、是两对同类的几何量。如果对于任意的自然数、，满足关系：若，则；若，则；若，则，则称。可以看出，在这个定义中并没有必要区分可公度量和不可公度量，当和1都被看作是同一类的量（比如长度，面积等等）时，它们之间在比例的运算中就没有什么区别了。第一次数学危机促使人们对于数学的严密性给予了更多的关注，即把数学建立在什么样的基础上才是牢靠的。对此，欧几里得曾经说过“必须承认，直觉是不可靠的。”因为从直觉上来看，有理数（或者说整数的比）在数轴上是稠密的，但是在它们之间居然还存在着很多空隙，这显然有悖于人们的直觉。希腊数学家开始借助于严格的证明来保证数学的正确性和严密性。他们从经过精心选
15、择的少数几条明显的公理和公设（公理对所有学科都成立，公设仅针对数学学科，现在的数学家对此已经不做区分了）出发，借助于逻辑方法，把数学上各种零碎的、片断的成果组织成一个比较严密的知识体系，揭示出它们之间的深层关系，并进而得到许多新的结果，这就是演绎数学。欧几里得是希腊演绎数学的集大成者，其巨著几何原本是用公理化方法建立起演绎体系的最早典范，在历史上成为影响仅次于圣经的一部数学名著。可以这样说，正是第一次数学危机导致了演绎数学的兴起。应该注意的是，关于连续量的比例理论的建立并没有最终消除无理数所造成的数学危机。或者可以这样说，比例理论的建立只是掩盖了这次危机。“连续”这个基本概念仍然依赖于直觉，这
16、一点可能会带来新的困难，对此，我们将在第二次数学危机中仔细论述。另外，虽然无理数被发现了，但是它并没有被吸收到演绎数学的体系中来。而且，更重要的是，很多数学家并没有停止对这种当时并没有逻辑基础的“数”的研究和使用。像阿基米得（Achimedes, 287-212.BC），托勒密（Ptolemy, ca.100-170.AD），丢番图（Diuphantus，ca.250.AD）等伟大的数学家并不排斥使用无理数。而东方的印度和阿拉伯的数学家则更进了一步，他们为无理数建立了运算法则，而丝毫不去关心其逻辑上的困难。但是，不管怎样，比例理论被采纳之后，数学的基本问题由“什么是数”转变成了“什么是量”，毕达哥拉斯学派“万物皆数”的信念也就自然地转化为“万物皆量”。巴罗（Issac Barrow, 1630-1677）曾经这样评价过无理数：“无理数不过是一些记号，脱离了几何量这个载体，便不
