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1、书山有路 2018学年高三上期第二次周练数学 理科 第 卷 选择题 共60分 一 选择题 本大题共12个小题 每小题5分 共60分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 设集合A 0 1 2 3 B xx 2a 1 a A 则A B A 1 2 B 1 3 C 0 1 D 1 3 2 已知i是虚数单位 复数z满足 1 i z 2i 则z的虚部是 A iB iC 1 D 1 3 在等比数列 an 中 a1 a3 a5 21 a2 a4 a6 42 则数列 an 的前9项的和S9 A 255B 256C 511D 5124 如图所示的阴影部分是由x轴 直线x 1以及曲线y ex
2、1围成 现向矩形区域OABC内随机投掷一点 则该点落在阴影区域的概率是 A B e 2 e 1 C 1e1 e 1 D 1 1e 在 x2 x y 5的展开式中 含x5y2的项的系数是 A 10B 20C 30D 60已知一个简单几何体的三视图如右图所示 则该几何体的 体积为 A 3 6 B 6 6 C 3 12 D 12 1 书山有路 1 上单调递减 则a的取值范围是 7 已知函数f x log 2 ax 在A 1 a 1 B 0 a 1或1 a 2 C 0 a 1D 0 a 1或a 28 执行如图所示的程序框图 若输出的结果为2 则输入的正整数的可能取值的集合是 A 2 3 4 5 C 1
3、 2 3 4 5 B 1 2 3 4 5 6 D 2 3 4 5 6 9 R上的偶函数f x 满足f x 1 f x 1 当0 x 1时 f x x2 则 4 y f x log5x的零点个数为 A 4B 8C 5D 1010 如图 已知抛物线y2 4x的焦点为F 直线l过F且依次交抛物线及圆 x 1 2 y2 1于点A B C D四点 则AB 4CD 的最小值为 A 17 B 15 C 13 D 11 2222 24 2 3 11 已知函数f x 4sin x sin2 x 2sin2 x 0 在区间 2 上是增函数 且在区间 0 上恰好取得一次最大值 则 的取值范围是 B 0 3 4 A
4、0 1 C 1 D 1 3 24 12 已知数列 a 中 a 1 且对任意的m n N 都有an1 m nmn i 1i a 2018 a a mn 则 1 2 书山有路 A 2018 B 2017 2019C 2 2019 2018D 4036 第II卷 非选择题 二 填空题 本大题共4小题 每小题5分 满分20分 13 已知平面向量a 2 1 b 2 x 且 a 2b a b 则x x y 214 若变量x y满足 2x 3y 6 且x 2y a恒成立 则a的最大值为 x 0 a2b2 2215 若双曲线x y 1 a 0 b 0 上存在一点P满足以OP为边长的正方形的面积等于2ab 其中
5、O为坐标原点 则双曲线的离心率的取值范围是 16 若曲线C y ax2 a 0 与曲线C y ex存在公共切线 则a的取值范围为 12 三 解答题 本大题共6小题 共70分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 已知向量a sin x 2 2 3sin 3 x b sinx cosx f x a b 1 求f x 的最大值及f x 取最大值时x的取值集合M 24 3 2 在 ABC中 a b c是角A B C的对边 若C M且c 1 求 ABC的周长的取值范围 18 如图 已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形 AB DC DAB 90 PA 底面ABCD 书山有路 且PA AD DC
6、 1 AB 1 M是PB的中点 2 求证 平面PAD 平面PCD 求二面角A CM B的余弦值 19 从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计 得到如图所示频率分布直方图 估计从该市高一学生中随机抽取一人 体重超过60kg的概率 假设该市高一学生的体重X服从正态分布N 57 a2 估计该高一某个学生体重介于54 57kg之间的概率 从该市高一学生中随机抽取3人 记体重介于54 57kg之间的人数为Y 利用 的结论 求Y的分布列及EY x2y2 3 20 已知右焦点为F的椭圆M 1 a 3 与直线y 相交于P Q两点 a237 4 书山有路且PF QF 1 求椭圆M的方程 2 O为坐
7、标原点 A B C是椭圆E上不同的三点 并且O为 ABC的重心 试探究 ABC的面积是否为定值 若是 求出这个定值 若不是 说明理由 21 已知函数f x x2 2x alnx a 0 当a 2时 试求函数图像过点 1 f 1 的切线方程 若函数f x 有两个极值点x1 x2 x1 x2 且不等式f x1 mx2恒成立 试求实数m的取值范围 请考生在22 23两题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 1 22 选修4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中 曲线C的参数方程为 x 2 cos y 2 sin 为参数 直线C2的方程为y 3x 以O为极点 以x轴正半轴为极轴 建立极
8、坐标系 1 求曲线C1和直线C2的极坐标方程 2 若直线C2与曲线C1交于A B两点 求 11 OA OB 23 不等式选讲 已知f x x 3 x 1 g x x 1 x a a 解不等式f x 6 若不等式f x g x 恒成立 求实数a的取值范围 5 书山有路参考答案 1 B2 D3 C 4 B5 C 6 A 7 A8 A9 C10 C11 D12 D 15 13 或114 415 22 e2 16 4 17 1 a cosx 3cosx 2 1 3 3 22 2 2 3 f x a b sinxcosx 3 3cosx sin2x cos2x sin2x f x 的最大值为1 3 此时
9、2x 2k 232 12 12 即x k 5 k z M x x k 5 k z 24 2 C M C k 5 C 2k 24123 C 0 C 3 c 1由c2 b2 a2 2abcosc得c2 a2 b2 ab 44 3 a b 2 a b 2 a b 2 3ab a b 2 a b 2 又a b 1 故2 a b c 3 即周长的范围为 2 3 18 证明 以A为坐标原点AD长为单位长度 如图 建立空间直角 坐标系 则 2 各点为A 0 0 0 B 0 2 0 C 0 1 0 D 1 0 0 P 0 0 1 M 0 1 1 则AP 0 0 1 DC 0 1 0 故AP DC 0 所以AP
10、 DC 由题设知AD DC 且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线 由此得DC 平面PAD 又DC在平面PCD内 故平面PAD 平面PCD 在MC上取一点N x y z 则存在 R 使NC MC 连接AN BN NC 1 x 1 y z 2 22 MC 1 0 1 所以x 1 y 1 z 1 要使AN MC 只要AN MC 0 即x 1z 0 55 55 55 解得 4 可知当 4时 N点坐标为 1 1 2 能使AN MC 0 此时 AN 1 1 2 1 书山有路 55 30 5 BN 1 1 2 所以BN MC 0 由AN MC 0 AN 5 BN 30 所以 AN BN cosAN BN
11、 AN BN 2 故所求二面角的余弦值为 2 33 4 19 这400名学生中 体重超过60kg的频率为 0 04 0 01 5 1 4 由此估计从该市高一学生中随机抽取一人 体重超过60kg的概率为1 X N 57 2 P X 60 1 P X 54 1 42224 44 P 54 X 60 1 2 1 1 P 54 X 57 1 1 1 因为该市高一学生总体很大 所以从该市高一学生中随机抽取3人 可以视为独立重复实验 4 其中体重介于54 57kg之间的人数Y B3 44 i3 i 1 1 3 P Y i Ci 3 i 0 1 2 3 所以Y的分布列为 EY 3 1 3 44 3 7 20
12、 1 设F c 0 P t 3 7 则Q t t2 22 34 33 1 即t a PF QF 77a277t c t c 22 9 1 即c t 7 2 2 2 7743 2 22 由 得c2 4a2 9 又ac3 a4 椭圆M的方程为x y 1 2 设直线AB方程为 y kx m 书山有路 y2 x2 由 1 43 y kx m 22 2 得3 4kx 8kmx 4m 12 0 12 8km x x y 3 4k26m3 4k2 y 12 2 2 3 4k3 4k 6m O为重心 OC OA OB 8km 2 2 4 3 8km 2 6m 2 3 4k 3 4k C点在椭圆E上 故有 1
13、可得4m2 4k2 3 4m2 12 2 8km 2 而AB 1 k2 4 41 k23 4k2 3 4k2 3 4k2 12k2 9 3m2 3m 1 k2 点C到直线AB的距离d d是原点到AB距离的3倍得到 6m S 1ABd 23 4k2 ABC 12k2 9 3m2 6m12m2 3m2 9 4m22 ABC 22 当直线AB斜率不存在时 AB 3 d 3 S 9 ABC的面积为定值9 21 解析 1 当a 2时 有f x x2 2x 2lnx 2xx 2 x2 x 1 f x 2x 2 f 1 2 过点 1 f 1 的切线方程为 y 1 2 x 1 即2x y 3 0 xx a2x
14、2 2x a 2 f x 的定义域为 x x 0 f x 2x 2 1212 令f x 0 2x2 2x a 0 又 函数f x 有两个极值点x x x x 2 1212 2x 2x a 0有两个不等实数根x xx x 2 121112 1 22 0 0 a 1 且x x 1 a 2x 2x 从而0 x x 1 由不等式f x1 2 1 11 fx x2 x2 x 2x alnx mx2恒成立 m 1恒成立 2 3 2 11 1 11 1 1 11 2 2 1 1 f x x x x 2x 2x 2xlnx 1 x 1 x 2xlnx 书山有路 1 2 1 t 2 1 令h t 1 t 2tl
15、nt 0 t 1 h t 1 1 t 2 2lnt 0 当0 t 1时恒成立 2 2 2 函数h t 在 0 1 上单调递减 h t h 1 3 ln2 2 故实数m的取值范围是 m 3 ln2 1 22 1 曲线C的普通方程为 x 2 2 y 2 2 1 1 2 则C的极坐标方程为 4 cos 4 sin 7 0 2 33 由于直线C过原点 且倾斜角为 故其极坐标为 R 或tan 3 2 4 cos 4 sin 7 0 2 由 3 得 2 23 2 7 0 故 23 2 7 1212 OA OB OA OB 1 27 11 OA OB 1 2 23 2 2 23 1 解集为 xx 2或x 4 2 a 3 1 当x 3时 2x 2 6解得x 4 当 1 x 3时 4 6无解 当x 1时 2x 2 6解得x 2 f x 6的解集为 xx 2或x 4 2 由已知x 3 x 1 x 1 x a a恒成立 又x 3 x a x 3 x a 3 a a 3 x 3 x a a恒成立 a 3 a 解得a 3 2 2 4 a 3时 不等式f x g x 恒成立
