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1、书山有路 高考数学大题 1 12分 已知向量a sin cos 2sin b 1 2 若a b 求tan 的值 若a b 且 为第 象限角 求sin 和cos 的值 2 12分 在如图所示的几何体中 EA 平面ABC DB 平面ABC AC BC 且AC BC BD 2AE M是AB的中点 I 求证 CM EM 求DE与平面EMC所成角的正切值 3 13分 某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训 以提高下岗人员的再就业能力 每名下岗人员可以选择参加一项培训 参加两项培训或不参加培训 已知参加过财会培训的有60 参加过计算机培训的有75 假设每个人对培训项目的选择是相互独立的 且各人的选择相互
2、之间没有影响 任选1名下岗人员 求该人参加过培训的概率 任选3名下岗人员 求这3人中至少有2人参加过培训的概率 4 12分 在 ABC中 A B C所对的边分别为a b c 若 cosBa cosAb 且sinC cosA 1 求角A B C的大小 2 C 2 设函数f x sin 2x A cos 2x 求函数f x 的单调递增区间 并指出它相邻两对称轴间的 距离 5 13分 已知函数f x x a的定义域为 0 且f 2 2 2 设点P是函数图象上的任意一点 x2过点P分别作直线y x和y轴的垂线 垂足分别为M N 求a的值 问 PM PN 是否为定值 若是 则求出该定值 若不是 则说明理
3、由 设O为坐标原点 求四边形OMPN面积的最小值 xx 6 13分 设函数f x p x 1 2lnx g x 2e p是实数 e为自然对数 的底数 若f x 在其定义域内为单调函数 求p的取值范围 若直线l与函数f x g x 的图象都相切 且与函数f x 的图象相切于点 1 0 求p的值 若在 1 e 上至少存在一点x0 使得f x0 g x0 成立 求p的取值范围 1 书山有路 7 12分 设P 函数y ax2 2x 1在 1 内单调递减 Q 曲线y x2 2ax 4a 5与x轴没有交点 如果 P或Q 为真 P且Q 为假 求a的取值范围 8 12分 从集合 1 2 3 4 5 的所有非
4、空 子 集 中 等可能地取出一个 记性质r 集合中的所有元素之和为10 求所取出的非空子集满足性质r的概率 记所取出的非空子集的元素个数为 求 的分布列和数学期望E 1 x 9 12分 已知函数f x ln ax 1 1 x x 0 其中a 0 若f x 在x 1处取得极值 求a的值 求f x 的单调区间 若f x 的最小值为1 求a的取值范围 10 12分 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x x万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他
5、因素 记余下工程的费用为y万元 试写出y关于x的函数关系式 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 11 12分 若f x 是二次函数 不等式f x 0的解集是 0 5 且f x 在区间 1 4 上的最大值是12 I 求f x 的解析式 II 是否存在实数m 使得方程f x 37 0在区间 m m 1 内有且只有两个不等的实数根 若存在 x求出m的取值范围 若不存在 说明理由 12 14分 已知函数f x x 1 2 数列 an 是公差为d的等差数列 bn 是公比为q q R q 1 的等比数列 若a1 f d 1 a3 f d 1 b1 f q 1 b3 f q 1 求数列 an b
6、n 的通项公式 n 若c对 12 123 n b2b3b nb n N 恒有 cc c3 n 11352n 1 cn a 求c c c c 的值 3bn 1 an 2 2 3b 1a 试比较n与n 1的大小 答案 书山有路 3 1 解 1 a b sin 2cos 4sin 0 tan 2 6分 2 a b 2sin cos 2sin 0 tan 1 sin 17 1717 4cos 417 6分 2 解析 本题主要考查空间线面关系 空间向量的概念与运算等基础知识 同时考查空间想象能力和推理能力 方法一 I 证明 因为AC BC M是AB的中点 所以CM AB 又EA 平面ABC 所以CM E
7、M 解 连结MD 设AE 则BD BC AC 2 在直角梯形EABD中 因此DM EM AB M是AB的中点 所以DE 3 EM MD 因为CM 平面EMD 所以CM DM 因此DM 平面EMC 故 DEM是直线DE和平面EMC所成的角 在Rt EMD中 MD EM tan DEM 方法二 轴 过点 分别为轴和轴 建立直角坐标系 如图 以点为坐标原点 以作与平面垂直的直线为设 则 因为所以y0 1 z0 2 即n 1 1 2 因为 3 书山有路 夹角的余角 cos n DE与平面EMC所成的角 是n与所以tan 3 解 任选1名下岗人员 记 该人参加过财会培训 为事件A 该人参加过计算机培训
8、为事件B 由题设知 事件A与B相互独立 且P A 0 6 P B 0 75 解法一任选1名下岗人员 该人没有参加培训的概率是P1 P P P 0 4 0 25 0 1 所以该人员参加过培训的概率是1 P1 1 0 1 0 9 解法二任选1名下岗人员 该人只参加过一项培训的概率是P2 P A P B 0 6 0 25 0 4 0 75 0 45 该人参加过两项培训的概率是P1 P A B 0 6 0 75 0 45 所以该人参加过培训的概率是P2 P1 0 45 0 45 0 9 解法一任选3名下岗人员 3人中只有2人参加过培训的概率是P24 0 9 0 1 0 243 3人都参加过培训的概率是
9、P 0 93 0 729 5所以3人中至少有2人参加过培训的概率是P4 P5 0 243 0 729 0 972 解法二任选3名下岗人员 3人中只有1人参加过培训的概率是 0 9 0 12 0 027 3人都没有参加过培训的概率是0 13 0 001 所以3人中至少有2人参加过培训的概率是1 0 027 0 001 0 972 4 解 1 由 cosAb cosBacosBsinA cosAsinB 结合正弦定理得 则sin2A sin2B 则在三角形中有A B 或 A B 2 2 1 当A B时 由sinC cosA得cosA sin2A 2sinAcosA得sinA 或cosA 0 舍 6
10、 A B C 2 3 2 当A B 时 由sinC cosA得cosA 1 舍 63 2 综上 A B C 6分 6 3 6 2 6 2 由 1 知f x sin 2x cos 2x sin 2x cos 2x 6 4 2sin 2x 书山有路 26236 由2k 2x 2k 得k x k k Z 36 所以函数f x 的单调递增区间为 k k k Z 6分 相邻两对称轴间的距离为 1分 2 5 解 1 f 2 2 a 2 2 a 2 3分 22 2 2 设点P的坐标为 x0 y0 则有y0 x0 x0 0 2 x0 x0 x y 1由点到直线的距离公式可知 PM 00 PN x0 故有 PM
11、 PN 1 即 PM PN 为定值 这个值为1 5分 3 由题意可设M t t 可知N 0 y0 PM与直线y x垂直 PM x0 t y t k 1 1 即0 1 解得t 12 x0 y0 又y0 x0 2x0 t x0 22x0 OPM 0 1 2x22 S 2 S OPN 12 2 0 x 22 MPN OPM OPN 2 1 S S S 20 x 0 1 x2 2 1 2 当且仅当x0 1时 等号成立 此时四边形OMPN面积有最小值1 2 5分 6 1 f x 2 x px2 2x p 要使f x 为单调增函数 须f x 0恒成立 即px2 2x p 0恒成立 即 2x p x2 1
12、2 xx 5 2 x x 恒成立 又 1 11 所以当p 1时 f x 在 0 为单调增函数 书山有路 要使f x 为单调减函数 须f x 0恒成立 即px2 2x 0 0恒成立 即p x2 1 2x2 x 1x 恒成立 又 2 x 1x 0 所以当p 0时 f x 在 0 为单调减函数 综上所述 f x 在 0 为单调函数 p的取值范围为p 1或p 0 4分 x x2 2 f x p p 2 f 1 2 p 1 设直线l y 2 p 1 x 1 y 2ex 当p 1时 方程无解 当p 1时由 p 1 2 4 p 1 e 0 得p 1 4e 综上 p 1 4e 4分 2e 3 因g x 在 1
13、 e 上为减函数 所以g x 2 2e x 当p 0时 由 1 知f x 在 1 e 上递减 f x max f 1 0 2 不合题意 当p 1时 由 1 知f x 在 1 e 上递增 f 1 2 又g x 在 1 e 上为减函数 故只需f x max g x min x 1 e 即 f e p e 2lnee 2 p e2 1 14e x 1 当0 p 1时 因x 0 x 1 e 11 xxe 1 所以f x p x 2lnx x 2lnx e 2lne 2不合题意 4e 综上 p的取值范围为 5分 e2 1 a 0 7 解 由P知 a 0或 1 1 解得a 0 a由Q知 2a 2 4 4a
14、 5 0 解得 1 a 5 P或Q 为真 P且Q 为假 P与Q一真一假 若P正确 Q不正确 则有 a 0 a 1或a 5 a 1 若P不正确 Q正确 则有 1 a 5 a 0 0 a 5 综上可知 a的取值范围为a 1或0 a 5 8 6 y 2 p 1 x 1 l与g x 图象相切 x 得 p 1 x 1 e 即 p 1 x2 p 1 x e 0 书山有路 a2 ax2 a 2 9 解 f x ax 1 1 x 2 ax 1 1 x 2 f x 在x 1处取得极值 f 1 0 即a12 a 2 0 解得a 1 ax2 a 2 f x ax 1 1 x 2 x 0 a 0 ax 1 0 当a
15、2时 在区间 0 上 f x 0 f x 的单调增区间为 0 a a 当0 a 2时 由f x 0解得x 2 a 由f x 0解得x 2 a f x 的单调减区间为 0 2 a 单调增区间为 2 a aa 当a 2时 由 知 f x 的最小值为f 0 1 min a 当0 a 2时 由 知 f x f 2 a f 0 1 矛盾 mm x x 综上可知 若f x 得最小值为1 则a的取值范围是 2 10 解 设需要新建n个桥墩 n 1 x m 即n m 1x所以y f x 256n n 1 2 x x 256 1 2 x x x 256m mx 2m 256 由 知 f x 13 22x2 m
16、mx2 x2 512 x2 256m1 3令f x 0 得x2 512 所以x 64高考资源网当00 f x 在区间 64 640 内为增函数 x64 7 所以f x 在x 64处取得最小值 此时 n m 1 640 1 9 故需新建9个桥墩才能使y最小 11 解 I f x 是二次函数 且f x 0的解集是 0 5 可设f x ax x 5 a 0 f x 在区间 1 4 上的最大值是f 1 6a 书山有路 由已知 得6a 12 a 2 f x 2x x 5 2x2 10 x x R II 方程f x 37 0等价于方程2x3 10 x2 37 0 x设h x 2x3 10 x2 37 则h x 6x2 20 x 2x 3x 10 3 3 10当x 0 10 时 h x 0 h x 是减函数 当x 时 h x 0 h x 是增函数 327 h 3 1 0 h 10 1 0 h 4 5 0 10 方程h x 0在区间 3 10 4 33 内分别有惟一实数根 而在区间 0 3 4 内没有实数根 所以 存在惟一的自然数m 3 使得方程f x 37 0在区间 m m 1 内有且只有两个不同的
