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1、书山有路2016年高考数学专题复习 导数目录一 有关切线的相关问题二 导数单调性 极值 最值的直接应用三 交点与根的分布1 判断零点个数2 已知零点个数求解参数范围四 不等式证明1 作差证明不等式2 变形构造函数证明不等式3 替换构造不等式证明不等式五 不等式恒成立求参数范围1 恒成立之最值的直接应用2 恒成立之分离常数3 恒成立之讨论参数范围六 函数与导数性质的综合运用 1 书山有路导数运用中常见结论 2 书山有路 13 证题中常用的不等式 lnx x 1 x 0 ex 1 x e x 1 x lnx x 1 x 1 x 12 x2 22x2 lnx 1 1 x 0 sinx x 0 x l
2、nx0 3 x x 1 ln x 1 x x 1 书山有路一 有关切线的相关问题 4 例题 2015高考新课标1 理21 已知函数f x x3 ax 1 g x lnx 当a为何值时 x轴为曲线y f x 的切线 3 4 答案 a 跟踪练习 x 1x 1 2011高考新课标1 理21 已知函数f x alnx b 曲线y f x 在点 1 f 1 x2 处的切线方程为x 2y 3 0 求a b的值 x 1 lnx x 1 2 解 f x x b 1 2 f 1 1 由于直线x 2y 3 0的斜率为 且过点 1 1 故 2 f 1 1 即 b 1 a b 1 22 解得a 1 b 1 x x 2
3、 2013课标全国 理21 设函数f x x2 ax b g x ex cx d 若曲线y f x 和曲线y g x 都过点P 0 2 且在点P处有相同的切线y 4x 2 1 求a b c d的值 解 1 由已知得f 0 2 g 0 2 f 0 4 g 0 4 而f x 2x a g x ex cx d c 故b 2 d 2 a 4 d c 4 从而a 4 b 2 c 2 d 2 bex 1 3 2014课标全国 理21 设函数f x0 aelnx 曲线y f x 在点 1 f 1 处的切线为y e x 1 2 求a b x2 xx 解析 函数f x 的定义域为 0 f x aexlnx ae
4、x bex 1 bex 1 6分 4 由题意可得f 1 2 f 1 e 故a 1 b 2 书山有路二 导数单调性 极值 最值的直接应用 一 单调性1 根据导数极值点的相对大小进行讨论例题 2015高考江苏 19 已知函数f x x3 ax2 b a b R 1 试讨论f x 的单调性 答案 1 当a 0时 f x 在 上单调递增 fx 当a 0时 在 2a 3 0 上单调递增 在 3 2a 0 上单调递减 当a 0时 在 3 2a fx 0 上单调递增 在 2a 0 3 上单调递减 2a 当a 0时 x 0 3 时 f x 0 2a x 0 3 时 f x 0 fx 0 所以函数 在 2a 3
5、 上单调递增 在 2a 0 3 上单调递减 练习 1 已知函数f x lnx ax 1 a 1 a R x 当a 1时 讨论f x 的单调性 2 a 1 ax2 x a 1x2x2 5 x 0 答案 f x lnx ax 1 a 1 x 0 f x l axx令h x ax2 x 1 a x 0 书山有路 当a 0时 h x x 1 x 0 当x 0 1 h x 0 f x 0 函数f x 单调递减 当x 1 h x 0 f x 0 函数f x 单调递增 2 12 1 a 当a 0时 由f x 0 即ax x 1 a 0 解得x 1 x 1 2 12 当a 1时x x h x 0恒成立 此时f
6、 x 0 函数f x 单调递减 当0 a 1时 1 1 1 0 x 0 1 时h x 0 f x 0 函数f x 单调递减 2a a x 1 1 1 时 h x 0 f x 0 函数f x 单调递增 a x 1 1 时 h x 0 f x 0 函数f x 单调递减 当a 0时1 1 0 当x 0 1 h x 0 f x 0 函数f x 单调递减 a当x 1 h x 0 f x 0 函数f x 单调递增 综上所述 当a 0时 函数f x 在 0 1 单调递减 1 单调递增 2 12 当a 1时x x h x 0恒成立 此时f x 0 函数f x 在 0 单调递减 当0 a 1时 函数f x 在
7、0 1 递减 1 1 1 递增 1 1 递减 2aa 1 2 已知a为实数 函数f x 1 ax ex 函数g x 1 ax 令函数F x f x g x 当a 0时 求函数F x 的单调区间 x 1 ax 1 ax 解 函数F x e 定义域为xx 1 a 22 x x a2 a2 x2 2a 1 ax 2a 1 当a 0时 F x e 1 ax 2 1 ax 2 e a2 令F x 0 得x2 2a 1 9分 2 当2a 1 0 即a 1时 F x 0 当a 1时 函数F x 的单调减区间为 1 1 11分2aa a2 1 2 aa 当 1 a 0时 解x2 2a 1得x 2a 1 x 2
8、a 1 a 6 2 1 a 2a 1 书山有路 12 令F x 0 得x 1 x 1 x x x aa令F x 0 得x x1 x2 13分 当 1 a 0时 函数F x 的单调减区间为 1 1 aaa 2a 1 2 2a 1 函数F x 单调增区间为 aaa 2a 1 2a 1 15分 2 当2a 1 0 即a 1时 由 2 知 函数F x 的单调减区间为 2 及 2 2 根据判别式进行讨论例题 2015高考四川 理21 已知函数f x 2 x a lnx x2 2ax 2a2 a 其中a 0 1 设g x 是f x 的导函数 评论g x 的单调性 4 22 答案 1 当0 a 1时 g x
9、 在区间 0 1 1 4a 1 1 4a 上单调递增 2 1 4a 上单调递减 当a 1时 g x 在区间 0 上单调递24 1 1 4a1 在区间 增 解析 1 由已知 函数f x 的定义域为 0 x g x f x 2x 2a 2lnx 2 1 a 24 x x2 x2 2 x 1 2 2 a 1 所以g x 2 2 2a 4 2 2 当0 a 1时 g x 在区间 0 1 1 4a 1 1 4a 上单调递增 在区间 22 1 1 4a1 1 4a 上单调递减 4 当a 1时 g x 在区间 0 上单调递增 x 7 练习 已知函数f x lnx x a a R 1 求函数f x 的单调区间
10、 书山有路解 函数f x 的定义域为 0 x x2x2 1a x2 x a f x 1 令f x 0 得 x2 x a 0 记 1 4a 4 当a 1时 f x 0 所以f x 单调减区间为 0 5分 4 1 2 22 当a 1时 由f x 0得x 1 1 4a x 1 1 4a 4 12 若 1 a 0 则x x 0 由f x 0 得0 x x2 x x1 由f x 0 得x2 x x1 所以 f x 的单调减区间为 0 1 22 1 4a 1 1 4a 单调增区间为 1 1 4a 1 1 4a 22 7分 若a 0 由 1 知f x 单调增区间为 0 1 单调减区间为 1 若a 0 则x1
11、 0 x2 由f x 0 得x x1 由f x 0 得0 x x1 f x 的单调减区间为1 1 4a 单调增区间为 0 1 1 4a 9分 22 4 综上所述 当a 1时 f x 的单调减区间为 0 4 2 当 1 a 0时 f x 的单调减区间为 0 1 2 1 4a 1 1 4a 单调增区间为1 1 4a 1 1 4a 22 当a 0时 f x 单调减区间为 2 1 1 4a 单调增区间为 2 0 1 1 4a 10分 2 已知函数f x a x 1 2lnx a R x求函数f x 的单调区间 x2 12ax2 2x ax2 解 函数的定义域为 0 f x a 1 x 1分 1 当a
12、0时 h x ax2 2x a 0在 0 上恒成立 8 书山有路则f x 0在 0 上恒成立 此时f x 在 0 上单调递减 4分 2 当a 0时 4 4a2 若0 a 1 a 1 1 a2 由f x 0 即h x 0 得x a 1 1 a2 或x 5分 由f x 0 即h x 0 得 a a 1 1 a2 1 1 a2 x 6分 所以函数f x 的单调递增区间为 0 a 1 1 a2 和 a 1 1 a2 单调递减区间为 aa 1 1 a21 1 a2 7分 若a 1 h x 0在 0 上恒成立 则f x 0在 0 上恒成立 此时f x 在 0 上单调递增 3 含绝对值的函数单调性讨论例题
13、已知函数f x xx a lnx 若a 1 求函数f x 在区间 1 e 的最大值 求函数f x 的单调区间 若f x 0恒成立 求a的取值范围解 1 若a 1 则f x xx 1 lnx xx 12x2 x 1 当x 1 e 时 f x x2 x lnx f x 2x 1 0 所以f x 在 1 e 上单调增 f x max f e e e 1 2 2分 2 由于f x xx a lnx x 0 xx 12x2 ax 1 当a 0时 则f x x2 ax lnx f x 2x a 0 9 4 a a2 8 令f x 0 得x 0 负根舍去 书山有路且当x 0 x 时 f x 0 当x x 时
14、 f x 0 00 所以f x 在 0 上单调减 在 44 a a2 8a a2 8 上单调增 4分 当a 0时 xx 12x2 ax 1 当x a时 f x 2x a 1 令f x 0 得x 44 a a2 8a a2 8 x a舍 若 4 a a2 8 a 即a 1 则f x 0 所以f x 在 a 上单调增 若 4 a a2 8 1 a 即0 a 1 则当x 0 x 1 时 f x 0 当x x 时 f x 0 所以f x 在区间 0 a a2 8 上是单调减 在 44 a a2 8 上单调 增 6分 xx 1 2x2 ax 1 当0 x a时 f x 2x a 令f x 0 得 2x2
15、 ax 1 0 记 a2 8 若 a2 8 0 即0 a 22 则f x 0 故f x 在 0 a 上单调减 若 a2 8 0 即a 22 3 a a2 8 则由f x 0得x 44 a a2 8 x4 且0 x3 x4 a 当x 0 x 时 f x 0 当x x x 时 f x 0 当x x 时 3344 f x 0 所以f x 在区间 0 上是单调减 在 444 a a2 8a a2 8a a2 8 上单调增 在 10 4 a a2 8 上单调减 8分 书山有路 综上所述 当a 1时 f x 单调递减区间是 0 4 a a2 8 f x 单调递增区间 是 4 a a2 8 当1 a 22时
16、 f x 单调递减区间是 0 a f x 单调的递增区间是 a 当a 22时 f x 单调递减区间是 0 4 a a2 8 和 4 a a2 8 a f x 单调的递增区间是 44 a a2 8a a2 8 和 a 10分 3 函数f x 的定义域为x 0 由f x 0 得x a lnx x x 当x 0 1 时 x a 0 lnx 0 不等式 恒成立 所以a R x 当x 1时 1 a 0 lnx 0 所以a 1 12分 当x 1时 不等式 恒成立等价于a x lnx恒成立或a x lnx恒成立 xx x2 lnxx2 1 lnx 令h x x 则h x x 因为x 1 所以h x 0 从而h x 1 x min 因为a x lnx恒成立等价于a h x 所以a 1 lnx x2 x2 1 lnx 令g x x 则g x x x 11 再令e x x2 1 lnx 则e x 2x 1 0在x 1 上恒成立 e x 在x 1 上 无最大值 综上所述 满足条件的a的取值范围是 1 16分 2 设a为实数 函数f x x x2 a 2 求函数f x 的单调区间 书山有路 4 分奇数还是偶数
