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1、儿童是怎样学习“20以内数的认识”一、案例分析 引发思考 提出问题（一）案例简述 案例一：5+8=？5+7=？为什么1-6年级学生都会出现同样的错误“12”和“13”？而且这种错误带有固定的循环性。学生的解释是：没算就直接写出来了！580+300算成58+3=61，仅仅是疏忽了数末尾的“0”吗？案例二：12名幼儿园大班的儿童，都能拿对“5块橡皮”，但有6人没有拿对指定的“第5块橡皮”，拿对的6人中，只有1人能说清楚“第五块”和“5块”是不一样的。还是这12名儿童面对“散放”的16颗珠子，要求“看着数”，结果4人正确，8人数错了。改变要求为“动手点数”时，结果10人正确，2人数错。案例三：计算8
2、+4，12名儿童中2名“数手指”算，5名“摆手指”算，还有5名能流利地说出“凑十法”的计算过程。（二）引发思考儿童在数数和算数的起始阶段都要借助“手”作为计数器，这种司空见惯的现象有没有更深层次的原因？如何帮助儿童从“数手指”、“摆手指”过渡到抽象的计数和计算呢？儿童“基数”的经验多余“序数”。怎样利用学生已有的“序数”经验，挖掘教材中存在的“序数”因素，寻找生活中的“序数”情景，促进学生的理解和掌握？（三）提出问题问题一：儿童在数数和算数的起始阶段都要借助“手”作为计数器，如何帮助儿童从“数手指”、“摆手指”过渡到抽象的计数和计算呢？问题二：要提高学生从“记忆库”中输出信息的准确性，就要找到
3、与他们认知规律和数学学科体系相一致的“路线图”，即学生是怎样学习“20以内数的认识”的？问题三:依据国家数学课程标准编写的实验版教材，在内容的选择、呈现的方式、模型的建立上是否真正符合学生的认知发展规律？二、研究的方法和结果（一）理论研究的结果1、数学发展史的启示（1）人们认为数学史的发展过程就是学生学习的过程，数学史上的难关都是学生学习的难关。首先研究数的发展史，从周髀一书和对甲骨文的考古中得到了上面观点的证据，即数发展的过程也是儿童认识数的必然过程。儿童“数手指”、“摆手指”的计数和计算策略，恰好是遵循了自然和人的本能。如何合理、有效的引导儿童由自然、直观的手指策略，向高层次的、抽象的手指
4、策略过渡呢？（2）“十进位值制计数法”是数发展史的基础和重大突破。这一点不仅在新石器时代的彩陶和半坡文化中有据可考，而且中国古代对圆周率的计算比欧洲早了一千多年，也是证据之一。所以在儿童的学习“路线图”中，要选择形象、直观、贴近他们生活的模型，帮助他们理解“十进位位值制计数法”。2数学教育理论的启示“模型”在小学“20以内数的认识”的教学中，有着广泛的运用。对“模型”与儿童数学认知发展有深入研究的，当推J.Piaget和Z.Dienes等。他们强调儿童数学推理的整体结构,提出了一系列利用模型，帮助学生从“具体-抽象”的概念发展过程。（1）学习过程就是儿童主动构建认知结构的过程。数学模型是儿童数
5、学学习的工具。那么在儿童“20以内数的认识”的学习路线图中，要广泛运用各种模型，给学生创设能够操作“模型”的情境活动，活动情境的核心就应该是“模型”的选择与呈现。（2）借助豪敦对数感的描述，获得了“数数的程序”是关键的概念化思想的启发。所以“数数的程序”要纳入“20以内数的认识”学习路线图，要重视它背后的深层次意义，即作为与数有关的数学思想的发展基础。特别数感、符号感等数学思想和能力的培养，也是以“数数的程序”为基础的。3心理学研究的启示儿童数学学习是以直观行动思维、具体形象思维为主，并与抽象逻辑思维相互促进的过程。林崇德在关于儿童数概念和运算能力发展的研究中得出：7-8岁儿童的概括水平和幼儿
6、的概括水平差不多，属于形象直观的概括水平。“20以内数的认识”是面对6-7岁儿童的学习，他们的概括水平与学前儿童的差异不大，所以在学习中就应该依据“形象直观”的特性，来引导他们建立数的概念。4国家数学课程标准与教材的启示国家数学课程标准中对“数的认识”的具体目标是：通过观察、操作、解决问题等丰富的活动，感受数的意义，体会用数来表达和交流，初步建立“数感”。重视口算，加强估算，提倡算法多样化。依据国家数学课程标准编写的现行教材，对“20以内数的认识”的编写思路是：先集中认识15各数，之后单独安排学习第几、几和几、加减法。在学习610的认识和加减法时，把6、7、8、9合在一起认识，10单独认识。蕴
7、含了位置值的思想。把20以内进位加法放在一年级上册，退位减法放在一年级下册。（二）实际调研和结果1对学前儿童的访谈结果某幼儿园，从两个大班随意选择了12位小朋友。进行一对一的测试和访谈。（1）测试和访谈的题目物体的个数：数一数一共有多少个珠子？第一次用眼睛看着数，不要动手；第二次可以动手点数。数数：从1数到20。29后面是几？39前面的数是谁？后面的数是谁？基数和序数：按顺序数一数有几块橡皮？从左边数起，拿出5块。从左边数起，拿出第5块。“5块”和“第5块”的意思一样吗？位置值的理解：读出卡片上的数：11、14、22、45，在计数器上表示出来。14中的1和4分别表示多少？22中的两个2一样吗？
8、分别表示多少？计算：20以内加减法：4+3=9+7=8+7=9-6=12-8=（2）测试和访谈的结果访谈内容结果分类百分比数物体的个数看着数：有4人数对。33%点数：10人数对。其余2人数了2次也没有数对。83%抽象数数数：12人都能从1数到20。100%拐弯数：有10人知道。83%基数、序数基数：12人数对。并都能说出表示的意义。100%序数：按要求取：12人取对“5块”，6人会取“第5块”50%意义：1人知道“5块”和“第5块”表示的意思不一样。8%位置值表示数：11人会在计数器上表示数，1人不会。91%位置值：只有1人理解。8%计算数手指：2人17%摆手指：5人41%凑十法：5人会说“凑
9、十法”的过程。41%（3）对测试和访谈结果的分析从数物体的个数看学前儿童已经具备了初步的数概念从12名儿童“数数”的过程中发现，一类是按物“点数”，一类是“群数”。表明儿童在入学前,大多数已经学会了简单的数数,有了初步的数概念,但“群数”计数的能力还比较弱。从基数和序数看学前儿童数概念的经验积累有差异。儿童对于基数的经验积累比较丰富，不仅能数对橡皮的块数，当问到“5能表示什么”的时候，他们都用基数的意义来回答，如：5块橡皮、5个小朋友等，没有人用序数的意义来说明。看来需要在学习中提供丰富的“序数”资源，让儿童充分感知。从计算看学前儿童“数概念”的理解程度有差异。在计算20以内加减法时，7名用手
10、指算的儿童“点数”和“摆数”的水平是不一样的，“摆数”的儿童脑海中已经形成了与某个加数对应的手指图式,如“5”对应一只手的5指,“7”对应一只手的5指和另一只手的2指,而不需要借助逐一点数来得出与加数对应的手指个数。在这里也不排除个别儿童是从记忆中直接提取答案的。2小学生计算错误的归因分析对学前儿童需要了解他们知道了什么？那么对于“学后儿童”就需要了解他们知道的怎么样？为此对学后儿童进行了计算错误的归因分析。调研的对象:学校1-5年级的学生。调研的时间:一学年的期末考试结束后。调研的问题：期末考试试卷中的计算错题。调研的方式：选择试卷中出现的错例，与出现错误的学生本人逐一访谈。调研的结果如下：
11、错例学生的阐述错误归因一年级：68-30=32把30中的0看成10，10减68个位上的8，68中十位上的6再去减30十位上的3，最后就得32了。机械使用“破十法”，没有理解减法的意义。一年级：55+7=6335764943把5+7算成13了，应该得12。计算357时，个位5712，想成了5713，与5813混了。凭记忆和感觉直接来提取答案。记忆的偏差集中在7加几、6加几、8加几，特别是5+8和5+7尤为易错。二年级：380+290=5703+2=5，8+9=17,0+0=0,所以380+290=570。受不进位加法可以从十位算起的影响，从百位开始计算了。说明“数感”“位值制”的感悟需要继续培养
12、。三年级：4.3-1.7=3.6十分位13-7=6，个位直接4-1了，就得3.6。“十分位”上不够减向个位借1，但是“个位”上没退位。说明学生对“十进位为位值制”的理解和运用还比较模糊。三年级：估算4072=280407=280学生把72看成整数70，计算时提取的是407=280。五年级：85.7+4.03-929=89.73-9.29=80.45口算末位13-9想成5了。学生提取20以内退位减法的记忆出现错误。（1）找到了凭借记忆提取计算信息频繁出错的原因。学生在考试时，注意力与平时比较要集中，态度也要认真。但从以上错题可以看到，与“20以内进位加退位减”相关的错误带有普遍性和共性。特别是“
13、5+8”和“5+7”以及相应的减法最为集中。皮亚杰的数学认识论曾指出：任何学习和任何记忆必须以某些早先存在的结构为基础形成。所以“学后儿童”对“计算的提取”错误必然与他们先前的学习结构有关，可以把原因定位在“20以内数的认识”的学习过程中。（2）找到了退位减法比进位加法更易出错的原因之一。学生的错误主要集中在20以内退位减法上，原因肯定是多方面的。但是前面谈到实验版教材将“20以内进位加和退位减”分在一年级上、下两册教材中。其主要目的是降低计算教学给新入学儿童带来的压力和难度。从数学本身的联系上看，加法与减法有着密不可分的关系，“以加算减”是一种比较有效的方法。由于学习退位减法与进位加法相隔的
14、时间长了，学生在学习的过程中要先提取记忆，然后在记忆的基础上进行新的学习，这样的结构不清晰不牢固。也是造成存储信息模糊，增大提取错误率的原因之一。（3）明确了十进位位值制计数法是儿童计数和计算的基础。从“错例”中可以看到，学生单纯用“算法”来解决计算，常常出现“错位加、错位减”，“不进位，忘退位”等错误。究其原因应该是对十进位位值制的理解、掌握和运用不到位。所以，在“20以内数的认识”学习路线图中，要让儿童逐步理解十进位位值制计数系统是以“十”为基础的,同时理解计数单位。要重视数的组成，让儿童看到较大的数是通过合并较小的数而产生的，让儿童依靠数的“十进制”的基础结构，自己构造新的数。三、对“2
15、0以内数的认识”路线图的描绘通过上述研究，对“20以内数的认识”学习路线图进行了如下的描绘。（一）基本理念：儿童掌握“数概念”以具体形象概括为主要形式，逐步对“数概念”进行一些抽象概括,但不能脱离生活领域的基础。（二）结构及说明 第一部分：10以内数的认识（第一单元：1-5的认识，第二单元：6-10的认识，第三单元：10以内数的加减法）第二部分：11-20的认识（第四单元：11-20各数认识和不进位加法、不退位减法，第五单元：20以内进位加法和退位减法）（三）突出的数学思想：对应思想、集合思想、符号化思想、比较思想、位值制、计数单位、统计思想、同化思想等等。（四）主要的数学模型：生活中的实物（实景）、图片、主题图、对应关系图、珠子图、点子图、学习用具（小棒、计数器、数位桶、尺子等等），手指计算器。（五）对路线图的几点说明1为什么先“认数”再学“组成”和计算?华东师大的孔企平教授在小学数学课堂学习理论及其应
